北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(三)一元二次方程的七种解法(练方法)课件

一元二次方程的七种解法(练方法)专项素养巩固训练卷(三)类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法1.[2023山西太原小店三中期末,16(2),★☆☆]下面

是某同学解方程(x+3)2-4=0的过程.解:移项,得(x+3)2=4,……第一步两边开平方,得x+3=2,……第二步解得x=-1.……第三步该同学的解答从第

步开始出错,请写出正确的解答过程.考向过程性学习试题解析该同学的解答从第二步开始出错,正确的解答过程如下:∵(x+3)2-4=0,∴(x

+3)2=4,∴x+3=±2,∴x+3=2或x+3=-2,∴x1=-1,x2=-5.2.解方程:(1)(★☆☆)4(1-x)2-9=0.(2)(2023河北邢台广宗期末,18,★★☆)(y+2)2=(3y-1)2.解析

(1)方程变形得(1-x)2=

,两边开平方得1-x=±

,解得x1=-

,x2=

.(2)两边开平方,得y+2=±(3y-1),∴y+2=3y-1或y+2=-(3y-1),解得y1=

,y2=-

.类型二用配方法求解一元二次方程3.(2024四川宜宾期末,7,★☆☆)将一元二次方程x2-x-1=0配成(x+p)2=q的形式,则

p的值是

()A.-1

B.1

C.

D.-

D解析

D

x2-x-1=0,移项,得x2-x=1,配方,得x2-x+

=1+

,∴

=

,即p=-

.故选D.4.(2023广东惠州月考,22,★★☆)用配方法解一元二次方程:2x2+3x+1=0.小明同

学的解题过程如下:解:原方程可化为x2+

x+

=0,x2+

x+

-

+

=0,

=

,开平方,得x+

=±

,∴x1=-

,x2=-

.小明的解题过程是否正确?若正确,请回答“对”;若不正确,请写出你的解题过

程.解析小明的解题过程不正确,正确的解题过程如下:原方程可化为x2+

x+

=0,移项,得x2+

x=-

,配方,得x2+

x+

=-

+

,即

=

,两边开方,得x+

=±

,∴x+

=

或x+

=-

,∴x1=-

,x2=-1.5.[教材变式P39随堂练习]用配方法解方程:(1)(2024江西赣州信丰期末,15,★☆☆)x2-4x-5=0.(2)(2024上海浦东模范中学期末,22,★☆☆)2x2+4x-11=0.(3)(★★☆)-

x2+x+

=0.解析

(1)方程移项得x2-4x=5,配方得x2-4x+4=9,即(x-2)2=9,开方得x-2=3或x-2=-3,解得x1=5,x2=-1.(2)∵2x2+4x-11=0,∴x2+2x-

=0,∴x2+2x=

,∴x2+2x+1=

+1,∴(x+1)2=

,∴x+1=±

,∴x1=-1+

,x2=-1-

.(3)方程整理得x2-3x=

,配方得x2-3x+

=

,即

=

,两边开方得x-

=±

,解得x1=

,x2=

.类型三用公式法解一元二次方程6.(★★☆)用公式法解下列方程:(1)6x2-13x-5=0.(2)3x2+2x-1=0.(3)2x2=3

x-2.解析

(1)∵a=6,b=-13,c=-5,∴b2-4ac=169+120=289>0,∴方程有两个不相等的实

数根,∴x=

=

=

,∴x1=

,x2=-

.(2)∵a=3,b=2,c=-1,∴b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0,∴方程有两个不相等的实数根,∴x=

=

,∴x1=

,x2=-1.(3)原方程可变形为2x2-3

x+2=0,∵a=2,b=-3

,c=2,∴b2-4ac=(-3

)2-4×2×2=2>0,∴方程有两个不相等的实数根,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.类型四能化成(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解7.(2024河北保定清苑月考,14,★★☆)用因式分解法解方程,下列解法正确的是

()A.∵(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1B.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0C.∵(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2或x-3=3D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0B解析

B

A.由(x+3)(x-1)=1不能得到x+3=0或x-1=1,故该选项错误;B.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0,故该选项正确;C.由(x-2)(x-3)=2×3不能得到x-2=2或x-3=3,故该选项错误;D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0或x=0,故该选项错误.故选B.8.(★★☆)用因式分解法解下列方程:(1)x2-6x+9=0.

(2)(x+2)2=2x+4.(3)2(x-3)2=9-x2.

(4)(2x+1)2-4(2x+1)+4=0.解析

(1)原方程可变形为(x-3)2=0,∴x1=x2=3.(2)原方程可变形为(x+2)2-2(x+2)=0,∴(x+2)(x+2-2)=0,∴x(x+2)=0,∴x=0或x+2=0,∴x1=0,x2=-2.(3)∵2(x-3)2=9-x2,∴2(x-3)2-(3+x)(3-x)=0,∴(3-x)[2(3-x)-(3+x)]=0,∴(3-x)(3-3x)=0,∴3-x=0或3-3x=0,解得x1=3,x2=1.(4)∵(2x+1)2-4(2x+1)+4=0,∴[(2x+1)-2]2=0,∴(2x-1)2=0,∴x1=x2=

.类型五用换元法解一元二次方程9.(2024河南驻马店汝南期中,17,★★☆)换元是一种非常有趣的解题方法,请你

阅读材料,参照例子解答问题:已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值.解:设x+y=t,则原方程可变形为(t-3)(t+4)=-10,即t2+t-2=0.∴(t+2)(t-1)=0,∴t1=-2,t2=1,∴x+y=-2或x+y=1.已知(x2+y2-1)(x2+y2-3)=8,求x2+y2的值.解析设x2+y2=t,则原方程可变形为(t-1)(t-3)=8,即t2-4t-5=0,∴(t+1)(t-5)=0,解得t1=-1,t2=5,又∵x2+y2≥0,∴x2+y2=5.10.[学科素养创新意识](2024辽宁朝阳建平期末,16(2),★★☆)阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x-2)2+7(x-2)+4=0.解:设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0.∵a=3,b=7,c=4,∴b2-4ac=72-4×3×4=1.∴y=

=

.∴y1=-1,y2=-

.当y=-1时,x-2=-1,∴x=1;当y=-

时,x-2=-

,∴x=

.∴原方程的解为x1=1,x2=

.请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x-3)2-5(x-3)-7=0.解析设x-3=y,则原方程可化为2y2-5y-7=0.∵a=2,b=-5,c=-7,∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81.∴y=

=

.∴y1=-1,y2=

,当y=-1时,x-3=-1,∴x=2;当y=

时,x-3=

,∴x=

.∴原方程的解为x1=2,x2=

.11.(★★☆)阅读材料:为解方程(x2-2)2-11(x2-2)+18=0,我们可以将x2-2视为一个整体,然后可设x2-2=y,则

(x2-2)2=y2,于是原方程可转化为y2-11y+18=0,解此方程,得y=2或y=9.当y=2时,x2-2=2,∴x2=4,∴x=±2;当y=9时,x2-2=9,∴x2=11,∴x=±

.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=-

,x4=

.以上方法就是换元法解方程,从而达到了降次的目的,体现了转化的思想.解决问题:(1)运用上述换元法解方程x4-3x2-4=0.延伸拓展:(2)已知实数m,n满足(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,求4m+12n-3的值.解析

(1)设x2=y,则原方程可转化为y2-3y-4=0,解得y=4或y=-1,当y=4时,x2=4,∴x=±2;当y=-1时,x2=-1,此方程无解.∴原方程的解为x1=2,x2=-2.(2)∵(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,∴(m+3n)(m+3n-2)=2(m+3n)-4,设m+3n=t,则t(t-2)=2t-4,整理得t2-4t+4=0,即(t-2)2=0,解得t1=t2=2,∴m+3n=2,∴4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5.类型六十字相乘法12.[学科素养运算能力](★★☆)阅读下列材料:(1)将x2+2x-35分解因式,我们可以按下面的方法解答:解:①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7).②交叉相乘,验中项:

⇒7x+(-5x)=2x.③横向写出两因式:x2+2x-35=(x+7)(x-5).我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.考向阅读理解试题(2)根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0.试用上述方法和原理解下列方程:①x2-10x+21=0.②x2-5x-6=0.③3x2-2x-1=0.④2x2+x-6=0.解析①∵x2-10x+21=0,∴(x-7)(x-3)=0,∴x-7=0或x-3=0,∴x1=7,x2=3.②∵x2-5x-6=0,∴(x-6)(x+1)=0,∴x-6=0或x+1=0,∴x1=6,x2=-1.③∵3x2-2x-1=0,∴(x-1)(3x+1)=0,∴x