高中数学选择性必修二课件：§4 1 第1课时 数列的概念及通项公式(人教A版)

第四章

§4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式学习目标XUEXIMUBIAO1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE1.一般地，我们把按照

排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的

.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第

项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第

项，用a2表示……，第

个位置上的数叫做这个数列的第

项，用an表示.其中第1项也叫做

.2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为

.思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？知识点一数列及其有关概念答案不是.顺序不一样.确定的顺序项12nn首项{an}知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数

的数列无穷数列项数

的数列有限无限数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号

，对应的函数值是数列的第n项

，记为an＝f(n).知识点三函数与数列的关系nan知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都

它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都

它的前一项的数列常数列各项都

的数列大于小于相等1.如果数列{an}的第n项an与它的

之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的

.2.通项公式就是数列的

，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？知识点五通项公式答案还可以用列表法、图象法.序号n通项公式函数解析式1.如果数列{an}的第n项an与它的

之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的

.2.通项公式就是数列的

，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？知识点五通项公式答案还可以用列表法、图象法.序号n通项公式函数解析式1.1,1,1,1是一个数列.(

)2.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.(

)3.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(

)4.an与{an}表达不同的含义.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PARTTWO例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；一、数列的有关概念和分类(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列.反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.跟踪训练1下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2017,2018,2019,2020,2021；(6)9,9,9,9,9,9.解(1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列.例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式解这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，解数列中的项，有的是分数，有的是整数，(3)0,1,0,1；解这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，(4)9,99,999,9999.解各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.跟踪训练2

写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：解各项分母分别为21,22,23,24，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，解这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，(3)7,77,777,7777.例3

已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；三、数列通项公式的简单应用解在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.故45是数列{an}中的第5项.令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；解由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)判断－81是否为此数列中的项.解当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项.延伸探究已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值.∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG数列单调性的应用当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an.则a1<a2<a3<…<a9＝a10且a10>a11>a12>…，又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，素养提升(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件.(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.3随堂演练PARTTHREED.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}1.下列说法正确的是A.数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列12345√解析数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；12345在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.√解析把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，123453.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是12345√√解析选项C，D既是无穷数列又是递增数列.1234519123455.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________.an＝2n＋1，n∈N*1.知识清单：(1)数列及其有关概念.(2)数列的分类.(3)函数与数列的关系.(4)数列的单调性.(5)数列的通项公式.2.方法归纳：观察、归纳、猜想.3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列说法正确的是A.数列可以用图象来表示

B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等

D.数列可以用一群孤立的点表示基础巩固12345678910111213141516解析数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.√√√2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*

B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*

D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*12345678910111213141516√解析数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.12345678910111213141516√12345678910111213141516√5.数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的通项公式为√123456789101112131415166.323是数列{n(n＋2)}的第____项.12345678910111213141516解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.17123456789101112131415167.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*则a2n＝_______；

＝____.3－4n解析因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，123456789101112131415168.已知数列{an}的通项公式为an＝2020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为_____.673又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为673.123456789101112131415169.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；解各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.12345678910111213141516解每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，解通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.123456789101112131415161234567891011121314151610.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式；解得k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2，n∈N*.12345678910111213141516(2)求a2020；解a2020＝4×2020－2＝8078.(3)2020是否为数列{an}中的项？∴2020不是数列{an}中的项.综合运用12345678910111213141516√解析经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式.√√12345678910111213141516所以相等的连续两项是第10项和第11项.A.第9项，第10项

B.第10项，第11项C.第11项，第12项

D.第12项，第13项√√解析结合函数的单调性，要使数列{an}递增，123456789101112131415161234567891011121314151614.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝____.61解析f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1.当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.1234567891011121314151615.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2