高中数学选择性必修二课件：4 3 2 第1课时 等比数列的前n项和公式(人教A版)

第1课时等比数列的前n项和公式第四章4.3.2等比数列的前n项和公式1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.学习目标在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱.导语随堂演练课时对点练一、等比数列前n项和公式的推导二、等比数列中与前n项和有关的基本运算三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列内容索引一、等比数列前n项和公式的推导问题1

若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？提示思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化.思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决.问题2

同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？＝18446744073709551615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.问题2

同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？＝18446744073709551615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5800亿年.同学们，看来学好数学是多么的重要.知识梳理等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式公式一Sn＝________________公式二Sn＝________________例1

求下列等比数列前8项的和：反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.反思感悟求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.解设此数列的公比为q(易知q≠1)，二、等比数列中与前n项和有关的基本运算例2在等比数列{an}中.(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝

，求S5；方法二

由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.解因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，

都可看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.∴q＝－2，(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，三、利用等比数列前n项和公式判断等比数列问题3

你能发现等比数列前n项和公式Sn＝

(q≠1)的函数特征吗？知识梳理1.当公比q≠1时，设A＝

，等比数列的前n项和公式是Sn＝

.即Sn是n的指数型函数.2.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝

，Sn是n的正比例函数.注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.A(qn－1)na1例3

数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.方法一由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.方法二由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列.延伸探究

1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____.解析∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，跟踪训练3

若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝____.解析显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式的推导.(2)等比数列前n项和公式的基本运算.(3)等比数列前n项和公式的结构特点.2.方法归纳：公式法、错位相减法.3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.课堂小结随堂演练12341.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于A.－25 B.25 C.－31 D.31√解析因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，1234√解析当x＝1时，Sn＝n；1234√123412341234所以a1＋a2＝3，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于A.4－2100 B.4＋2100C.4－2－98 D.4－2－100√＝4(1－2－100)＝4－2－98.12345678910111213141516√123456789101112131415163.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于A.4 B.8 C.16 D.32解析等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，化简得an＝2n－2.则a3a5＝2×23＝16.√123456789101112131415164.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则

等于A.10 B.9 C.－8 D.－5√解析设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0，因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设数列{an}的公比为q，显然q≠1，解得q＝2，12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析设等比数列{an}的公比为q，则q>0，12345678910111213141516故选BD.123456789101112131415167.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝_____.－2解析Sn＝2×3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.123456789101112131415168.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝____，a1＝_____.5解析由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，3123456789101112131415169.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.解当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件.因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，1234567891011121314151610.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求数列{an}的公比q；解依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.12345678910111213141516(2)若a1－a3＝3，求Sn.故a1＝4.12345678910111213141516综合运用11.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5等于A.12 B.20 C.11 D.21解析an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.√12345678910111213141516√12345678910111213141516∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析易知1,3,5,7，…是首项为1，公差为2的等差数列，设该数列为{am}，则am＝2m－1，设an＝2n＋7，令2m－1＝2n＋7，∴m＝n＋4，∴f(n)是以2为首项，22＝4为公比的等比数列的前n＋4项的和，1234567891011121314151614.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝______.12345678910111213141516解析当n＝1时，则有2S1＝a2－1，∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－an，∴an＋1＝3an，∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，拓广探究1234567891011121314151612345678910111213141516当n≥2时，an＝Sn－Sn－1则bn＝

＝32n，12345678910111213141516可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，16.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列.(1)求{an}的通项公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解依题意，得2Sn＝an＋1－a1.两式相减，得an＋1＝3an(n≥2).又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列.因此，an＝a1·3n－1(n∈N*).(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516备用工具&资料12345678910111213141516解依题意，得2Sn＝an＋1－a1.两式相减，得an＋1＝3