高中数学选择性必修二课件：5 3 1 函数的单调性(人教A版)

5.3.1函数的单调性第五章§5.3导数在研究函数中的应用1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.学习目标同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系.导语随堂演练课时对点练一、函数的单调性与导数的关系二、利用导数求函数的单调区间三、由导数的信息画函数的大致图象内容索引一、函数的单调性与导数的关系问题1观察下面高台跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？提示通过观察图象，可以发现(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；(2)从最高点到入水，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.问题2观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.提示(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y′＝2x，当x<0时，其导数y′<0；当x>0时，其导数y′>0；当x＝0时，其导数y′＝0.(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数.而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；从以上四个函数的单调性及其导数符号的关系上说明，在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减.知识梳理函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递___增减注意点：(1)当f′(x)＝0时，f(x)是常函数；(2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化.例1

利用导数判断下列函数的单调性：所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，(3)f(x)＝x－ex(x>0).解因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.反思感悟利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.反思感悟利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.解因为f(x)＝x2－2x＋alnx，x∈(0，＋∞)，所以f(x)＝x2－2x＋alnx在x∈(0，＋∞)上单调递增.二、利用导数求函数的单调区间例2

求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝3x2－2lnx；解易知函数的定义域为(0，＋∞).用x1分割定义域，得下表：(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.解f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)<0得6x2＋6x－36<0，解得

－3<x<2.故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－3,2).反思感悟利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.或(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(2)求导数y＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上单调递增.(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减.跟踪训练2

求下列函数的单调区间.(1)f(x)＝x2·e－x；解易知函数的定义域为(－∞，＋∞).f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减f(0)单调递增f(2)单调递减∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2).解易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增f(－1)单调递减单调

递减f(1)单调递增三、由导数的信息画函数的大致图象例3

已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0<x<7时，f′(x)<0；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，试画出函数f(x)的大致图象.解当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减；当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.故如图，反思感悟由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.跟踪训练3

(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的√解析由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，导函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D.(2)若函数y＝f′(x)图象如图所示，则y＝f(x)图象可能是√解析由y＝f′(x)图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)<0，根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.1.知识清单：(1)函数的单调性与其导数的关系.(2)利用导数判断函数的单调性.(3)利用导数求函数的单调区间.(4)由导数的信息画函数的大致图象.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：忽略定义域的限制.课堂小结随堂演练12341.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为√1234解析∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1,4)上单调递增，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.12342.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是A.(－∞，2) B.(0,3)C.(3,4) D.(2，＋∞)√解析∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，CD符合.√1234√解析f′(x)＝lnx＋1(x>0)，令f′(x)>0，12344.函数f(x)＝x＋2cosx，x∈(0，π)的单调递减区间是________.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为A.(－2,0)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－2，－1)∪(1,2)√解析因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.123456789101112131415162.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增B.在(1,2)上，f(x)单调递增C.在(4,5)上，f(x)单调递增D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增√√解析由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减.123456789101112131415163.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为A.(2，＋∞) B.(－∞，2)C.(－∞，0) D.(0,2)解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2).√12345678910111213141516√123456789101112131415165.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是√12345678910111213141516解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B.12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析由题中图象可知，f(x)的大致图象如图所示.123456789101112131415167.函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的单调递减区间为____________.(－2，－1)解析f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0，解得－2<x<－1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1).123456789101112131415168.函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式

<0的解集为_________________.(－3，－1)∪(0,1)解析由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，123456789101112131415169.判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性.解函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1).当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝

的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；12345678910111213141516解因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.由①②得a＝2，b＝3.(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)12345678910111213141516(2)求函数f(x)的单调区间.12345678910111213141516123456789101112131415综合运用1611.函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是√12345678910111213141516解析因为f(x)＝xcosx，所以f′(x)＝cosx－xsinx.因为f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.由f′(0)＝1可排除C，D.而f′(1)＝cos1－sin1<0，排除B.1234567891011121314151612.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A.f(a)＞f(b)＞f(0) B.f(0)＜f(c)＜f(d)C.f(b)＜f(0)＜f(c) D.f(c)＜f(d)＜f(e)√12345678910111213141516解析由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)<f(b)，A错误；f(b)>f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)<f(d)<f(e)，D正确.1234567891011121314151613.若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0)C.f(a)＝eaf(0) D.不能确定√12345678910111213141516即f(a)>eaf(0).1234567891011121314151614.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.(－∞，－1)∪(0,1)解析因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).拓广探究1234567891011121314151615.(多选)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cosx√√12345678910111213141516解析设g(x)＝ex·f(x)，对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)