高中数学选择性必修二课件：5 3 2 第2课时 函数的最大(小)值(人教A版)

第2课时函数的最大(小)值第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.学习目标同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值.导语随堂演练课时对点练一、极值与最值的关系二、求函数的最值三、利用最值证明不等式内容索引一、极值与最值的关系问题1如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？提示最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在.问题2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图.容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件.例1

如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.解由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b).例1

如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.解由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b).反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.跟踪训练1

设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点√解析根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确.二、求函数的最值例2

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；例2

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12令f′(x)＝0，因为f(－2)＝8，f(3)＝18，当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)＝

x＋sinx，x∈[0,2π].又x∈[0,2π]，所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练2

求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.当f′(x)＝0时，x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，三、利用最值证明不等式例3

已知函数f(x)＝ex－e(lnx＋1)，求证f(x)≥0恒成立.设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立.反思感悟证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果.∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)，1.知识清单：(1)函数最值的定义.(2)求函数最值.(3)函数最值的应用.2.方法归纳：转化化归、分类讨论.3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.课堂小结随堂演练12341.下列结论正确的是A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值√解析函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.1234√所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π.12343.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但无极值B.有最值，也有极值C.既无最值，也无极值D.无最值，但有极值√解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值.12344.函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是______.解析f(x)＝(x＋1)ex⇒f′(x)＝(x＋2)ex，当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定解析因为M＝m，所以f(x)为常函数，故f′(x)＝0，故选A.√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析f′(x)＝1－2sinx，所以sinx∈[－1,0]，所以－2sinx∈[0,2].123456789101112131415163.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19解析f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0].所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.√123456789101112131415164.当0<x<1时，f(x)＝

，则下列大小关系正确的是A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)√12345678910111213141516所以根据对数函数的单调性可知，当0<x<1时，1－lnx>0，从而可得f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x2)<f(x)<f(1)＝0，所以有f(x2)<f(x)<f2(x).12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设h(x)＝f(x)－g(x)则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增.当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值.因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞).12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析由f(x)>0得0<x<2，故A正确.f′(x)＝(2－x2)ex，当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，12345678910111213141516结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.123456789101112131415167.若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝______.16解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16.123456789101112131415168.设0<x<π，则函数y＝

的最小值是_____.因为0<x<π，123456789101112131415169.求下列函数的最值：(1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈；12345678910111213141516解f′(x)＝cosx－sinx.令f′(x)＝0，即tanx＝1，12345678910111213141516(2)f(x)＝ln(1＋x)－

x2，x∈[0,2].12345678910111213141516化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x≤2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2).123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－

相切.(1)求a，b的值；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求f(x)在

上的最大值.12345678910111213141516令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，123456789101112131415综合运用1611.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b)C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a)√12345678910111213141516解析令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).1234567891011121314151612.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A.20 B.18 C.3 D.0√12345678910111213141516解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.12345678910111213141516√12345678910111213141516当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0；故选C.1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝－

x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是______________.15x－3y－2＝012345678910111213141516解析∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.即15x－3y－2＝0.拓广探究1234567891011121314151615.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是___________.(－4，－2)1234567891011121314151616.已知函数f(x)＝ex－x2－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解f′(x)＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e，切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1.12345678910111213141516(2)当x>0时，f(x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围.123