高中数学选择性必修2课件：4 2 1 第二课时 等差数列的性质及实际应用(人教A版)

第二课时等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列{an}为1，3，5，7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？提示因为等差数列的通项为an＝2n－1，则an＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，2an＝2(2n－1)＝4n－2，可判断数列{an＋2}，{2an}都是等差数列，一般地，若{an}为等差数列，则{an＋c}，{can}也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广2.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)3.等差数列的项的对称性

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….4.下标性质

在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则________________.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有______________.am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap拓展深化[微判断]1.等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.()

提示反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.()3.若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(

)

提示

反例：设两数列为1，3，5，…，4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.4.若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(

)×√×√[微训练]1.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(

) A.－1 B.2 C.4 D.6

解析由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.

答案

B2.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(

) A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51

解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，

又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.

答案C3.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.

解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.

答案－13.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.

解析由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.

答案－1[微思考]1.在等差数列{an}中，ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？若是，公差是多少？

提示是.若{an}的公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…的公差为md.2.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，那么am，an，ap，aq，…也成等差数列吗？若成等差数列，公差是什么？

提示成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为(n－m)d.

题型一an＝am＋(n－m)d的应用【例1】在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.解因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.规律方法灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.【训练1】已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.解析

法一

∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.答案8题型二等差数列性质的应用【例2】已知数列{an}为等差数列，且公差为d.(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.题型二等差数列性质的应用【例2】已知数列{an}为等差数列，且公差为d.(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.法三

∵{an}为等差数列，∴a15，a60，a105也成等差数列，则2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.规律方法等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.【训练2】

(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.解析

(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)法一由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.答案

(1)20

(2)27题型三等差数列的设法与求解【例3】已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.又因为是递增数列，所以d>0，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移】已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.由于数列{an}为单调递增数列，规律方法等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.【训练3】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.解

法一设此等差数列的首项为a1，公差为d.所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为(

)A.105.6寸 B.48寸

C.57.6寸 D.67.2寸节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.115.1105.295.385.475.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至

晷影长/寸65.555.645.735.825.916.0

答案C规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.答案20293.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.二、素养训练1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(

) A.3 B.－6 C.4 D.－3答案B2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(

) A.5 B.8 C.10 D.14

解析法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.

法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.

答案

B3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.答案324.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.

解析由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.

答案

105.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数.∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.备用工具&资料4.在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.

解析由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝