高中数学选择性必修2课件：4 3 1 第一课时 等比数列的概念与通项公式(人教A版)

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第一课时等比数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系.在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”问题1你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？提示构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.问题2根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？提示上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.1.等比数列的定义及通项公式等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数(1)等比数列的定义和通项公式2它的前一项同一个常数常数qA1qn-12.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成______数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝______.等比ab拓展深化[微判断]1.等比数列的公比可以为任意实数.()

提示

公比不可以为0.2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(

)

提示应为同一个常数.3.常数列既是等差数列又是等比数列.(

)

提示0数列除外.×××[微训练]1.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝(

) A.32 B.－48 C.48 D.96

解析

a5＝a1q4＝3×24＝48.

答案

C[微训练]1.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝(

) A.32 B.－48 C.48 D.96

解析

a5＝a1q4＝3×24＝48.

答案

C2.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(

) A.－24 B.0 C.12 D.24解析由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.故数列的第4项为－24.答案

A3.4与16的等比中项是________.

解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.

答案

±8[微思考]1.等比中项与等差中项有什么区别？

提示

(1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项. (2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相反数.2.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列，{an}是递减数列？题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{an}中：题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{an}中：解设等比数列{an}的公比为q.【训练1】

(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(

)答案(1)C

(2)C题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∴a5，a7的等比中项是±3.规律方法

(1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】

(1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________. (2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.答案(1)2，4，8或8，4，2

(2)9(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列.【迁移1】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*).(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式.(1)证明

∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解由(1)知，an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.【训练3】已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.证明

∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，一、素养落地1.通过学习等比数列的概念及判断方法提升数学抽象及逻辑推理素养，通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养.2.等比数列的证明二、素养训练1.(多选题)下列说法正确的有(

)A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42，62，82，…成等比数列答案AC2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(

) A.16 B.16或－16 C.32 D.32或－323.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(

) A.6 B.－6 C.±6 D.±12答案C4.45和80的等比中项为________.

解析设45和80的等比中项为G，则 G2＝45×80，∴G＝±60.

答案－60或605.已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－5，求证{an－5}是等比数列.

证明由an＋1＝2an－5得an＋1－5＝2(an－5).

又a1－5＝－1≠0，故数列{an－5}是首项为－1，公比为2的等比数列.备用工具&资料4.45和80的等比中项为________.

解析设45和80的等比中项为G，则 G2＝45×80，∴G＝±60.

答案－60或602.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(

) A.16 B.16或－16 C.32 D.32或－32[微思考]1.等比中项与等差中项有什么区别？

提示

(1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项. (2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相