高中数学选择性必修二课件：再练一课(范围：§5 3)(人教A版)

第五章一元函数的导数及其应用再练一课(范围：§5.3)基础巩固123456789101112131415161.已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516解析根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立.故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.123456789101112131415162.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为√解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：123456789101112131415163.设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的增函数，则m的取值范围是A.[－6，＋∞) B.{6}C.{－6} D.(－∞，6]√12345678910111213141516解析由题意得，f′(x)＝12x2＋2mx＋(m－3)≥0在R上恒成立，所以Δ＝(2m)2－4×12×(m－3)≤0，即(m－6)2≤0，解得m＝6.4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是A.f(b)>f(c)>f(d)

B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)

D.f(c)>f(e)>f(d)12345678910111213141516√解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，由于a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a).5.(多选)已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2处有极值，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调区间为A.(－∞，0) B.(0,2)C.(2，＋∞) D.(－∞，＋∞)12345678910111213141516√√√解析∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，12345678910111213141516令f′(x)＝3x2－6x<0，则0<x<2，函数f(x)的单调递减区间为(0,2).令f′(x)＝3x2－6x>0，则x<0或x>2，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞).解析∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，12345678910111213141516令f′(x)＝3x2－6x<0，则0<x<2，函数f(x)的单调递减区间为(0,2).令f′(x)＝3x2－6x>0，则x<0或x>2，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞).2解析f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1).由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.1234567891011121314151612345678910111213141516所以f(x)在R上单调递增，因为f(a－1)＋f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.则下列说法中正确的是_____(填序号).③④12345678910111213141516解析由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2,4)，单调递增区间为(－2,2)，(4，＋∞)，故③④正确.12345678910111213141516解析由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2,4)，单调递增区间为(－2,2)，(4，＋∞)，故③④正确.123456789101112131415169.今年某公司计划按200元/担的价格收购某种农产品，同时按要求以10%的税率纳税.现计划收购a万担，若将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；12345678910111213141516解降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意，得y＝200a(1＋2x%)·(10－x)%12345678910111213141516(2)将税率作怎样的调整，才能使税收取得最大值(要求应用导数知识完成)?令y′＝0，解得x＝－20.当x＝－20时，y取最大值.因此，只有将税率增加20个百分点，才能使税收取得最大值.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x∈[1，e]时，有f′(x)>0，∴f(x)在区间[1，e]上单调递增，(1)当a＝1时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求f(x)的极值.12345678910111213141516f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)无极值.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1234567891011121314151611.若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是综合运用12345678910111213141516√12345678910111213141516解析令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增.12.已知函数f(x)＝x2－2lnx，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是A.(－∞，e2－2) B.(－∞，e2－2]C.(－∞，1) D.(－∞，1]12345678910111213141516√解析由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，12345678910111213141516当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.1234567891011121314151613.若不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为____.e解析不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为f(x)＝ex－kx≥0恒成立，即有f(x)min≥0.f′(x)＝ex－k，当k≤0时，可得f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，无最小值.当k>0时，x>lnk时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x<lnk时，f′(x)<0，f(x)单调递减.即当x＝lnk时f(x)取得最小值，即为k－klnk，由k－klnk≥0，解得0<k≤e，即k的最大值为e.1234567891011121314151614.已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为__________.[1，＋∞)解析由f(x)>1，得ax－lnx>1，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)<g(1)＝1，12345678910111213141516拓广探究12345678910111213141516(－1,0)∪(1，＋∞)12345678910111213141516∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)>0的解集为(1，＋∞).∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上，g(x)>0的解集为(－∞，－1).g(x)<0的解集为(－1,0).12345678910111213141516由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0).又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).12345678910111213141516(1)求函数f(x)的极大值；当x<－3时，f′(x)<0，当－3<x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，在(0，＋∞)上为单调递减，因此函数f(x)在x＝0处有极大值f(0)＝5.12345678910111213141516(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；解由(1)得，函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，所以当x∈(－∞，0]时，函数f(x)在x＝－3处有最小值f(－3)＝－e3.12345678910111213141516(3)若x2＋5x＋5－aex≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围.由(2)得，函数f(x)在区间(－∞，0]上有最小值－e3.又当x>0时，f(x)>0，所以函数f(x)在定义域内的最小值为－e3，所以a≤－e3，即a的取值范围为(－∞，－e3].备用工具&资料12345678910111213141516(2)求f(x)在区间(－∞，0]上的最小值；解由(1)得，函数f(x)在(－∞，－3)上为单调递减，在(－3,0)上为单调递增，所以当x∈(－∞，0]时，函数f(x)在x＝－3处有最小值f(－3)＝－e3.12345678910111213141516由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0).又f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).12345678910111213141516