高中数学选择性必修2课件：习题课一 求数列的通项(人教A版)

习题课一求数列的通项题型一利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】

(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式；解

(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，【训练1】数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.(2)解由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时，b1＝1符合上式.∴bn＝2n－1.题型三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式【例3】

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an等于(

) A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2答案(1)A

(2)C规律方法已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：第一步利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；第三步若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是(

)解析由题意可得，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，……∴an－an－1＝n(n≥2)，答案B2.数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9＝(

) A.1024 B.1023 C.510 D.511

解析由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.

答案

D答案n＋14.已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a10

＝________.备用工具&资料4.已知数列{an}中，a1＝1，对于任意的n≥2，n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a10

＝________.2.数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋2n，则a9＝(

) A.1024 B.1023 C.510 D.511

解析由题意可得an＋1－an＝2n，则a9＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a9－a8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.

答案

D一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.答案(1)A

(2)C解

(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－