高中数学选择性必修2课件第五章 一元函数的导数及其应用章末检测卷(二)(人教A版)

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)A2.函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为(

)AA.(－∞，－1)和(0，1)B.(－1，0)和(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)和(1，＋∞)解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.D3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(

) A.2 B.3 C.4 D.5解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，经检验a＝5合题意.B则当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，DCACC二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)BD函数y＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点，故C错误；10.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(

)ADA.在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值B.在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值C.y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零D.函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增解析由题图可知，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(x)>0，选项C错误；当x∈(－2，2)时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)单调递增，选项D正确.故选AD.11.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(

) A.y＝cosx B.y＝lnx C.y＝ex D.y＝x2AD对于选项C；因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；CDCD因为(x＋1)f′(x)－f(x)<x2＋2x，所以g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而g(1)>g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，f(3)－2f(1)<7，故A错误，C正确.即结论正确的是CD，故选CD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)114.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km处时，两项费用之和最小，最小费用为________万元.(本题第一空3分，第二空2分)58令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0，因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值，其值为8.15.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________.(2，＋∞)解析记f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.所以当x∈[－1，2]时，f(x)max＝2，所以m＞2.16.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y＝f(x)满足条件： (1)在闭区间[a，b]上是连续不断的； (2)在区间(a，b)上都有导数.

则在区间(a，b)上至少存在一个实数t，使得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)＝x2在区间[0，1]上的“拉格朗日中值”t＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数. (1)求b，c的值；解因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.因为g(x)是一个奇函数，且x∈R，所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函数的定义，得b＝3.(2)求g(x)的单调区间.解由(1)，知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6.因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.证明

当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6). (1)求a的值；解

∵f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(x>0)，令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1).∵切线与y轴相交于点(0，6)，(2)求函数f(x)的单调区间与极值.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，f(x)在区间(2，3)上为减函数.所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2，3).在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－x－ax2.f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).令f′(x)＝0，则x＝－1或0，当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1，0).(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.解

f(x)＝x(ex－1－ax).令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意.综上，实数a的取值范围为(－∞，1].21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；解

当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2(x>0).显然，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴f(x)没有最大值.备用工具&资料22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；解

当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2(x>0).显然，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴f(x)没有最大值.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)110.如图是函数y＝