人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题17三角函数的性质(原卷版+解析)

专题17三角函数的性质【考点预测】1、正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数的图象．=1\*GB3①画点在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．=2\*GB3②画（）的图象把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象．=3\*GB3③（）的图象由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线．=4\*GB3④五点作图法在函数，的图象上，有以下五个关键点：，，，，．画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”．（2）余弦函数的图象因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象．余弦函数，的图象叫做余弦曲线．余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，．2、正弦函数、余弦函数的性质（1）周期性一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．（3）单调性正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．（4）最大值与最小值正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．3、正切函数的图象正切函数的图象叫做正切曲线．4、正切函数的性质（1）定义域正切函数的定义域为（2）周期性正切函数是周期函数，最小正周期是．（3）奇偶性正切函数是奇函数．（4）单调性正切函数在每一个开区间（）上都单调递增．（5）值域正切函数的值域是实数集．【典型例题】例1．(2023·江西省万载中学高一期中）已知函数，，(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.例2．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)有零点，求的范围.例3．(2023·北京·高一期末）已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像；(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.例4．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：000(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.例5．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．条件①：的最小正周期为；条件②：为奇函数；条件③：图象的一条对称轴为．(1)求的解析式；(2)设函数，求在区间上的最大值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．例6．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．②函数的一条对称轴为且；(1)求函数的解析式；(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·上海市控江中学高一期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·上海·格致中学高一期中）函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．3．(2023·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称5．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．(2023·北京·高一期末）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（

）A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值10．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（）在上单调，则的可能值为（

）A．2 B．3 C．4 D．511．(2023·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是12．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点三、填空题13．(2023·上海市曹杨中学高一期末）已知函数，若存在，有，则的最小值为______．14．(2023·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．（注：不是常函数）①；②．15．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．16．(2023·全国·高一课时练习）设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．四、解答题17．(2023·上海市金汇高级中学高一期末）函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中、的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．18．(2023·江苏盐城·高一期末）设.(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.19．(2023·全国·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．已知函数，______．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间．20．(2023·山东东营·高一期中）函数的最小值为，(1)当时，求；(2)若，求实数21．(2023·甘肃兰州·高一期中）已知点、是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，当时，的最小值为．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间．22．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．专题17三角函数的性质【考点预测】1、正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数的图象．=1\*GB3①画点在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．=2\*GB3②画（）的图象把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周等份，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点．然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得（）的图象．=3\*GB3③（）的图象由诱导公式一可知，函数，，且的图象，与函数，的图象形状完全一样．因此将函数，的图象不断向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（如下图）．正弦函数的图象叫做正弦曲线．=4\*GB3④五点作图法在函数，的图象上，有以下五个关键点：，，，，．画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图．这种作图的方法称为”五点作图法”．（2）余弦函数的图象因为，所以可将正弦函数，的图象向左平移个单位长度即得余弦函数，的图象．余弦函数，的图象叫做余弦曲线．余弦函数，的图象上五个关键点是：，，，，．2、正弦函数、余弦函数的性质（1）周期性一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．（3）单调性正弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．余弦函数，在每一个闭区间（）上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间（）上都单调递减，其值从减小到．（4）最大值与最小值正弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．余弦函数当且仅当（）时取得最大值，当且仅当（）时取得最小值．3、正切函数的图象正切函数的图象叫做正切曲线．4、正切函数的性质（1）定义域正切函数的定义域为（2）周期性正切函数是周期函数，最小正周期是．（3）奇偶性正切函数是奇函数．（4）单调性正切函数在每一个开区间（）上都单调递增．（5）值域正切函数的值域是实数集．【典型例题】例1．(2023·江西省万载中学高一期中）已知函数，，(1)求函数的单调递减区间；(2)求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；(3)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.【解析】（1），解不等式得：，所以函数的单调递减区间为.（2），即时，

，，即时，；（3）时，，，时，，，要使得，只需，.例2．(2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.(1)求的最小正周期；(2)有零点，求的范围.【解析】（1）由于，故其最小正周期为；（2）因为有零点，故有解，即有解，因为，所以，故.例3．(2023·北京·高一期末）已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像；(2)若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.【解析】（1）列表00100（2）的取值范围是.例4．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：000(1)根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调递减区间.(2)求在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）根据五点法的表格，所以所以的最小正周期令，解之得又，所以或即在上的单调递减区间为，（2）由于所以所以所以当即时，函数的最小值为;当即时，函数的最大值为.例5．(2023·西藏拉萨·高一期末）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．条件①：的最小正周期为；条件②：为奇函数；条件③：图象的一条对称轴为．(1)求的解析式；(2)设函数，求在区间上的最大值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）选择①②：由条件①即已知，可得，所以，由条件②得，所以，即，解得，因为，所以，所以，经验证，符合题意；选择条件①③：由条件①即已知，可得，所以，由条件③得，解得，因为，所以，所以，选择条件：②③：由条件②得，所以，即，解得，因为，所以，所以，由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.（2）由函数，因为，所以，所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.例6．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．②函数的一条对称轴为且；(1)求函数的解析式；(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】(1)由题意可知，函数的最小正周期为，∴．选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，，符合题意；若，则，，不符合题意．所以，；选②：因为函数的一条对称轴，则（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，则，符合题意；若，则，则，不符合题意．所以，；(2)令，由得，，所以．其中满足，时为增函数，满足时为减函数解方程得：，要使方程存在4个不相等的实数根，当，即在上存在两解，故取值范围应在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范围是【过关测试】一、单选题1．(2023·上海市控江中学高一期末）已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，由于且在区间上是严格增函数，所以，即的取值范围是.故选：B2．(2023·上海·格致中学高一期中）函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】令，解得，所以函数图象的对称中心是，令,得函数图像的一个对称中心是，故选：C.3．(2023·浙江·高一期末）函数为增函数的区间是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，，，令可的的递增区间为.故选：C4．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所高一期末）关于函数图象的对称性，下列说法正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称答案：D【解析】对A，，，故A错误；对B，，，故B错误；对C，，，故C错误；对D，，此时，故D正确，故选：D5．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得.若在开区间内存在最小值，则，解得，故选:B.6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为答案：C【解析】因为函数，设，，则，所以，，当时，；当时，.故选：C7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意，函数，因为，可得，又函数的图象在区间上恰有3个最高点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：C．8．(2023·北京·高一期末）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时，所以的最大值为，故选：B二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（

）A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值答案：AC【解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，又，所以，所以．，是偶函数，故A正确；令，解得:，所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；当时，，此时函数单调递减，故C正确；显然函数的最小值为，当时，，故D错误．故选：AC．10．(2023·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（）在上单调，则的可能值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：AB【解析】因为，故可得，又的单调增区间为，故，解得且又，故，.故选：AB.11．(2023·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是答案：AC【解析】因为，所以，故A正确；由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；当时，，当时，，，所以函数的值域为，故C正确；由可得，则函数与有四个交点，作出函数与的大致图象，由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.故选：AC.12．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点答案：AB【解析】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．故选:AB．三、填空题13．(2023·上海市曹杨中学高一期末）已知函数，若存在，有，则的最小值为______．答案：【解析】∵的周期，由得.故答案为：.14．(2023·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．（注：不是常函数）①；②．答案：（答案不唯一）【解析】由知函数的一个周期是，则满足条件②．∵，∴满足条件①．故答案为：（答案不唯一）15．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．答案：【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.16．(2023·全国·高一课时练习）设函数若在区间上单调，且，则的最小正周期为____．答案：【解析】函数，，，若在区间上单调，则，．，为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，只有当时，解得，，故答案为:四、解答题17．(2023·上海市金汇高级中学高一期末）函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中、的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）,令，，解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值；（