高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题11.2二项式定理（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．【知识点展示】1.二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，4.二项式定理的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.【常考题型剖析】题型一：形如的展开式问题例1.(2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．45例2.（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．例3．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.例4．(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．题型二：形如的展开式问题例5.(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．例6.(2023·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．【总结提升】1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．2.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．题型三：形如的展开式问题例7.(2023·全国·高考真题（理））的展开式中，的系数为（）A．10 B．20C．30 D．60例8．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．200【规律方法】1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法2.逐层展开法的求解步骤：题型四二项式系数的和与各项的系数和问题例9.(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理）），则（）A．16

B．27

C．43

D．70例10.(2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．-2 B．-1 C．0 D．2例11.(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90【总结提升】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.题型五二项式系数的性质例12.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10例13.已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为．【总结提升】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．题型六二项式定理应用例14．（2023·山西·三模（理））分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，且，其中为静电常量，分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且的绝对值远小于．当x的值接近于0时，在近似计算中，则U的近似值为（

）A． B．C． D．例15．(2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022例16.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第行所有数之和为”猜想：D．由“，，”猜想例17．(2023·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【总结提升】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3）近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.2.特别提醒:（1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．=5\*GB3⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．专题11.2二项式定理（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．【知识点展示】1.二项式定理，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.(4)二项式的系数从，，一直到，.3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，4.二项式定理的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①；②；（5）证明不等式.【常考题型剖析】题型一：形如的展开式问题例1.(2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（

）A． B． C．10 D．45答案：D分析：由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.【详解】的通项为，令，解得，所以项的系数为：.故选：D例2.（2023·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．答案：分析：写出二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.例3．（2023·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.答案：

分析：本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.【详解】的通项为可得常数项为，因系数为有理数，，有共5个项例4．(2023·山西·高三阶段练习）二项式的展开式中含项的系数为24，则______．答案：分析：写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数a即可.【详解】由二项式展开式通项为，且项的系数为24，所以，可得.故答案为：【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．题型二：形如的展开式问题例5.(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．答案：-28分析：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-28例6.(2023·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．答案：

分析：第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．【详解】含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为：；．【总结提升】1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．2.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．题型三：形如的展开式问题例7.(2023·全国·高考真题（理））的展开式中，的系数为（）A．10 B．20C．30 D．60答案：C【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选C.例8．(2023·云南师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-120 B．-40 C．-30 D．200答案：C分析：将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.【详解】，其展开式为：根据题意可得：当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为综上所述：含的项的系数为故选：C．【规律方法】1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法2.逐层展开法的求解步骤：题型四二项式系数的和与各项的系数和问题例9.(2023·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理）），则（）A．16

B．27

C．43

D．70答案：C分析：利用赋值法求得正确答案.【详解】依题意，令，得.故选：C例10.(2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．-2 B．-1 C．0 D．2答案：B分析：根据题意，分别令和，代入计算即可求解.【详解】根据题意，令，得，令，得，因此.故选：B.例11.(2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．90答案：A分析：由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可求出常数项.【详解】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A【总结提升】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.题型五二项式系数的性质例12.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：D分析：由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，即第四项和第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，即第五项和第六项的二项式系数最大.当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.故选：D．例13.已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为．答案：－8064－15360x4【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))eq\s\up12(10)的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝Ceq\o\al(5,10)(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(5)＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·(2x)10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)kCeq\o\al(k,10)·210－k·x10－2k，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k－1,10)·210－k＋1，,C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k＋1,10)·210－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)≥2C\o\al(k－1,10)，,2C\o\al(k,10)≥C\o\al(k＋1,10)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－k≥2k，,2k＋1≥10－k))解得eq\f(8,3)≤k≤eq\f(11,3).∵k∈Z，∴k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－Ceq\o\al(3,10)·27·x4＝－15360x4.【总结提升】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．题型六二项式定理应用例14．（2023·山西·三模（理））分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，且，其中为静电常量，分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且的绝对值远小于．当x的值接近于0时，在近似计算中，则U的近似值为（

）A． B．C． D．答案：A分析：根据题意，由题目中所给的公式变形分析可得答案．【详解】根据题意，；故选：A．例15．(2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022答案：A分析：利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余9，由此可得答案.【详解】,所以被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故选：A.例16.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A．由“与首末两