八年级数学下册第2章四边形26菱形26

一、选择题（本大题共8小题）

1.如图，要使勿腼成为菱形，则需添加的一个条件是（）

A.AC=ADB.BA=BCC.N4陷90°D.A（=BD

2.如图，将aABC沿BC方向平移得到ADCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱

形的是（）

A.AB=BCB.AC=BCC.ZB=60°D.ZACB=60°

3.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周

长为（）

A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm

4.如图，点4B,C,〃在同一条直线上，点反尸分别在直线42的两侧，且

AB=CC.若血口0,屐3,ZW=60°,则旗为（）时，四边形勿造是菱形.

A.5B.4C.3D.6

5.如图在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平

行四边形CDEB,当AD的值为（）时，平行四边形CDEB为菱形.

A.14B.16C.18D.10

6.如图，己知矩形/及力的对角线长为8cm,E、F、G、〃分别是18、BC、CD、加的中点，则

四边形仔型的周长是（）cm.

A.14B.16C.18D.10

7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,CE〃BD,DE〃AC,若AC=4,则四边形CODE

的周长（）

A.4B.6C.8D.10

8.过矩形ABCD的对角线AC的中点。作EF_LAC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接

AE、CF.若AB=y,ZDCF=30°,则EF的长为（）

BF.C

A.2B.3C.2^1D.J3

2

二、填空题（本大题共6小题）

9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,请你添加一个适当的条件

使其成为菱形（只填一个即可）.

10.如图,四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若NC=100°,则/BAD的大

小是o

11.如图，已知菱形ABCD的一个内角/BAD=80°,对角线AC,BD相交于点。，点E在AB上,

且BE=B0,则NE0A=______.

12.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E,F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF,

给出下列条件：①BELEC；②BF〃CE；③AB=AC,从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，

你认为这个条件是（填序号）.

BC

13.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB〃CD,则下列结论：①AC,

BD；②AD〃BC：③四边形ABCD是菱形；④4ABD安4CDB.其中正确的是（只填写序号）

14.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC,做AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,0,N,连接AN,CM,则四边

形ANCM是菱形.

乙：分别作NA,/B的平分线AE,BE,分别交BC,AI）于E,F,连接EF,则四边形ABEF是

菱形.

根据两人的作法可判断正确的是。

三、计算题（本大题共4小题）

15.如图，在aABC中，ZACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点，BF〃CE交DE的延长线于

点F.

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当/A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形.

16.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，且AE〃CD,CE〃AB.

(1)证明：四边形ADCE是菱形；

(2)若NB=60°,BC=6,求菱形ADCE的高.(计算结果保留根号)

17.如图，△ABCgAABD,点E在边AB上，CE〃BD,连接DE.求证:

(1)ZCEB=ZCBE；

(2)四边形BCED是菱形.

18.如图，AE〃BF,AC平分NBAE,且交BF于点C,BD平分NABF,且交AE于点D,AC与BD

相交于点0,连接CD

(1)求NAOD的度数;

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

19.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线.

(1)求证：△ADEg/\CBF；

(2)若/ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论.

参考答案：

一、选择题（本大题共8小题）

1.B

分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证.

解：如图，要使。ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC,

故选B

分析：首先根据平移的性质得出AB幺CD,得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形

的判定得出答案.

解：•.•将aABC沿BC方向平移得到ADCE,

AABZ.CD,

...四边形ABCD为平行四边形，

当AC=BC时,

平行四边形ACED是菱形.

故选：B.

3.A

分析：可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点0,则可求得BD的长，在RtZ\A0B中,

利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长.

解：如图，连接AC、BD相交于点0,

•.•四边形ABCD的四边相等,

四边形ABCD为菱形，

AAC1BD,S四边形ABCD二*AC-BD,

：.—X24BD=120,解得BD=10cm,

2

.'.0A=12cm,0B=5cm,

在RtZXAOB中，由勾股定理可得AB=qiz2+S2=13(cm),

二四边形ABCD的周长=4X13=52(cm),故选A.

4.B

分析：(1)由4斤OF,N4=/〃，AB=DC,易证得△/£四△%,即可得游EC,NACE=ZDBF,

皂.EC"BF,即可判定四边形跖翳是平行四边形；

(2)当四边形孙"是菱形时，B方CE,根据菱形的性质即可得到结果.

解：(1)证明：•:AFDC,

：.AC=DF,

在△45Z7和△加以中

rAC=DB

<NA=ND，

AERF

：./\AEC^/\DFB(%S),

:.B六EC,4ACR乙DBF

:.EC〃BF,

四边形8/7四是平行四边形；

(2)当四边形用还是菱形时，B1CE,

・.,力氏10,喊3,A%CD=3,

・・・除10-3-3=4,

•・・/£6庐60°,

:・BE=BC=4,

・・・当应M时，四边形质筌是菱形，

故答案为：4.故选B.

5.C

分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知

OD=OB,CD=CB；最后Rt^BOC中,根据勾股定理得，0B的值,则AD=AB-20B.

解：如图，连接CE交AB于点0.

YRtZkABC中,ZACB=90",AC=4,BC=3,

，22=5

AB=v.,_4f4-BC（勾股定理）•

若平行四边形CDEB为菱形时，CE_LBD,且0D=0B,CD=CB.

V|AB«OC=1AC«BC,

.".0C=U.

.•.在Rt^BOC中，根据勾股定理得,0B<BC2一oc2y32一（詈）2*

.\AD=AB-20B=^.

A

故答案是：

6.B

分析：利用三角形的中位线定理；矩形的性质；菱形的判定及性质解答即可。

解：根据三角形的中位线定理和矩形对角线相等的性质可证得四边形EFGH是菱形，且EF二

-AC=4,所以菱形的周长等于16cm,故选B。

2

7.C

分析：首先由CE〃BD,DE〃AC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形,

根据矩形的性质，易得0C=0D=2,即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.

解：VCE/7BD,DE〃AC,

...四边形CODE是平行四边形，

••,四边形ABCD是矩形，

，AC=BD=4,OA=OC,OB=OD,

.\OD=OC=1AC=2,

2

，四边形CODE是菱形,

...四边形CODE的周长为:40C=4X2=8.

故选C.

8.A

分析：求出/ACB=/DAC,然后利用“角角边”证明aAOF和ACOE全等，根据全等三角形对

应边相等可得OE=OF,再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，

再求出/ECF=60°,然后判断出4CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得

EF=CF,根据矩形的对边相等可得CD=AB,然后求出CF,从而得解.

解答：解：..,矩形对边AD〃BC,

.,.ZACB=ZDAC,

是AC的中点，

.\AO=CO,

在aAOE和△，()£中，

，ZACB=ZDAC

"AO=CO>

ZA0F=ZC0E

.".△AOF^ACOE(ASA),

；.OE=OF,

又YEFLAC,

...四边形AECF是菱形，

VZDCF=30°,

.,.ZECF=90°-30°=60°,

ACEF是等边三角形，

.\EF=CF,

VAB=V3，

.\CD=AB=V3，

VZDCF=30°,

，CF=«+近=2,

2

AEF=2.

故选A.

二、填空题（本大题共6小题）

9.分析：利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可.

解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,添加一个适当的条件为：AC1BI）

或NA0B=90°或AB=BC使其成为菱形.

故答案为：ACJ_BD或/A0B=90°或AB=BC

10.分析:由题干BE=DE=BC=DC,可知四边形BECD为菱形,又NC=100°,所以NBED=100°,

ZCBE=ZCDE=80°.连接BD,易知AE、BE、DE是△ABD的角平分线.再根据菱形的性质即可

得出答案.

解：连接BD,并延长AE交BD于点0,

VAE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,二四边形BCDE是菱形，

.\AE、BE、DE是4ABD的角平分线.

...A、E、0、C四点共线，

VZC=100°,AZBED=50°,

/.ZBEO=|ZBED=5O°,

；.NABE=25°,

.*.ZBAD=50o,

11.分析：因为AB=AD,ZBAD=80°,可求NABD=50°；又BE=B0,所以NBE0=NB0E,根据

三角形内角和定理求解.

解：：ABCD是菱形，/.AB=AD.ZABD=ZADB.

VZBAD=80",/.ZABD=-X(180°-80°)=50°.

2

又；BE=B0,

/.ZBEO=ZBOE=-X(180°-50°)=65°.

2

故答案为：65.

12.分析：根据菱形的判定方法进行验证得到答案。

解：VBD=CD,DE=DF,

二四边形BECF是平行四边形，

①BEJ_EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；

②四边形BECF是平行四边形，则BF〃EC一定成立，故不一定是菱形；

③AB=AC时，；D是BC的中点，

AAF是BC的中垂线，

.♦.BE=CE,

•••平行四边形BECF是菱形.

13.分析：根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得

出答案.

解：因为1是四边形ABCD的对称轴，AB〃CD,

则AD=AB,Z1=Z2,Z1=Z4,

则/2=N4,

.\AD=DC,

同理可得：AB=AD=BC=DC,

所以四边形ABCD是菱形.

根据菱形的性质，可以得出以下结论：

所以①AC_LBD,正确；

②AD〃BC,正确;

③四边形ABCD是菱形，正确；

④在4ABD和aCDB中

rAB=BC

<AD=DC

,/BD=BD

.,.△ABD^ACDB(SSS),正确.

故答案为：①②③④.

14.分析：首先证明△AOMg^CON(ASA),可得MO=NO,再根据对角线互相平分的四边形是平

行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC±MN,可根据对角线互相垂直的四

边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行

线的定义，求得AB=AF,所以四边形ABEF是菱形.

解：甲的作法正确；

•..四边形ABCD是平行四边形,

；.AD〃BC,

ZDAC=ZACN,

「MN是AC的垂直平分线,

.\AO=CO,

'NMAO=NNCO

<AO=CO

在aAOM和△CON中ZAOM=ZCON,

.,.△AOM^ACON(ASA),

.\MO=NO,

四边形ANCM是平行四边形，

VAC±MN,

四边形ANCM是菱形；

乙的作法正确；

；AD〃BC,

.\Z1=Z2,Z6=Z7,

；BF平分/ABC,AE平分/BAD,

；.N2=/3,/5=N6,

.*.Z1=Z3,Z5=Z7,

.♦.AB=AF,AB=BE,

.\AF=BE

：AF〃BE,且AF=BE,

...四边形ABEF是平行四边形,

VAB=AF,

平行四边形ABEF是菱形；

15.分析：(1)利用平行四边形的判定证明即可；

(2)利用菱形的判定证明即可.

证明：(1)VD,E分别为边AC,AB的中点，

，DE〃BC,即EF〃BC.

又；BF〃CE,

四边形ECBF是平行四边形.

(2)VZACB=90°,ZA=30°,E为AB的中点,

ACB=—AB,CE=—AB.

22

.\CB=CE.

又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，

四边形ECBF是菱形.

16.分析：(1)先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；

(2)过点D作DFLCE,垂足为点F；先证明aBCD是等边三角形，得出NBDC=NBCD=60°,

CD=BC=6,再由平行线的性质得出NDCE=/BDC=60°,在RtaCDF中，由直角三角形的性质求

出DF即可.

解答：(1)证明:；AE〃CD,CE/7AB,

四边形ADCE是平行四边形，

又•.•NACB=90°,D是AB的中点,

.-.CD=1AB=BD=AD,

2

...平行四边形ADCE是菱形；

(2)解：过点D作DFLCE,垂足为点F,如图所示:

DF即为菱形ADCE的高，

VZB=60°,CD=BD,

:•△BCD是等边三角形，

•••NBDONBCD=60°,CD=BC二6,

VCE//AB,

AZDCE=ZBDC=60°,

又〈CD二BC二6,

・•・在RtACDF中,DF=6X逗3y.

17.分析：(1)欲证明NCEB=NCBE,只要证明NCEB二NABD,NCBE=NABD即可.

(2)先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BOBD即可判定.

证明；(1)VAABC^AABD,

:.ZABC=ZABD,

VCE/7BD,

AZCEB=ZDBE,

・・・NCEBtNCBE.

(2))VAABC^AABD,

ABC=BD,

VZCEB=ZCBE,

・・・CE二CB,

ACE=BD

：CE〃BD,

四边形CEDB是平行四边形,

VBC=BD,

四边形CEDB是菱形.

18.分析：(1)首先根据角平分线的性质得到/DAC=NBAC,ZABD=ZDBC,然后根据平行线

的性质得到/DAB+NCBA=180°,从而得到NBAC+NABD=S(NDAB+NABC)=LX

22

180°=90°,得到答案NA0D=90。；

(2)根据平行线的性质得出/ADB=NDBC,/DAC=/BCA,根据角平分线定义得出/DAC=/BAC,

ZABD=ZDBC,求出NBAC=/ACB,ZABD=ZADB,根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD,根

据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案.

解：(1)VAC.BD分别是NBAD、NABC的平分线,

.".ZDAC-ZBAC,ZABD=ZDBC,

VAE/7BF,

/.ZDAB+ZCBA,=180°,

AZBAC+ZABD=—(ZDAB+ZABC)=—X180°=90°,

2