2023上海高考数学名师模拟卷（13）（学生版+解析版）

2023年上海高考数学名师模拟卷(13)

一.填空题(共12小题)

已知复数z满足：i+省=0(，・为虚数单位)，则|z|=

已知集合人={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则A0|B=

不等式，xT..0的解集为

—4x+4

已知tan（6一一）=2,则tan6=

5.设函数f(x)=」一的反函数为广(x),则尸(2)

6.已知(x-马)"的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64,则该展开式中常数项的值

X-

等于—.

7.若关于x,y的方程组F+有无穷多解，则实数机的值为.

〃优+16y=8

8.某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6(单位：加)，

且该区域的租金为每天4元/〃，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需一元(结

果保留整数).

9.秉辰“新时代、共享未来”的主题.第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海

召开.某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天

安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那

么符合条件的不同安排方案共有一种.

10.在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,点〃为边AB的中点，点P在边3C上，则版5•亨

的最小值为一.

2

11.已知《(玉，y),R5,%)两点均在双曲线「•一y?=1(。>0)的右支上，若石工2>

a

恒成立，则实数。的取值范围为.

12.已知函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于％=1对称，且当x£(0,1］时，

f(x)=Inx,若将方程/(%)=x+l的正实数根从小到大依次记为％,%,x3,...,工“，则

lim(x„+l-x„)=

选择题（共4小题）

13.函数/（工人了片-（x-3）°的定义域是（）

A.[2,+oo）B.（2,+oo）C.（2,3）D（3,+<»）D.[3,-HO）

14.已知a>0,b>Q,a+b=4,则下列各式中正确的是（）

A.-+-B.1+1>1C.4ab„2D.—..1

ab4abab

15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（

）

A.0B.2C.4D.12

16.已知等比数列仅“｝的前”项和为S“，前N项积为7；,则下列选项判断正确的是（）

A.若S2022As加,则数列｛4｝是递增数列

B.若玛22>（必，则数列｛““｝是递增数列

C.若数列｛S,,｝是递增数列，则%”・的）21

D.若数列｛7；｝是递增数列，则用值一生⑼

三.解答题（共5小题）

■JT

17.如图，在直三棱柱48C-ABG中，。为AC的中点.若AB=BC=BB、,ZABC=~,

求eg与平面所成角的正弦值.

H

18.等差数列｛〃"｝中，若％=3,4=9，

(1)求等差数列｛</„)的通项公式和前”项和S”.

(2)求lim竺^.

…S.

19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程

的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块AfiCD,AB=30m,AD^\5m.为保护。处

的一棵古树，有关部门划定了以。为圆心、D4为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭

区.若空线入线口为/W边上的点E,出线口为CD边上的点F,施工要求所与封闭区边

界相切，所右侧的四边形地块8CFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1加，计

算面积精确到0.01〃/)

(1)若NA£>£=20。，求的长；

(2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

2

20.已知椭圆「:=+V=l(a>l),A、8两点分别为「的左顶点、下顶点，C、O两点均

a

在直线/:X=〃上，且。在第一象限.

(1)设/是椭圆「的右焦点，且ZAF方=工，求「的标准方程；

6

(2)若C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线8c的交点是否在椭圆「上,

并说明理由：

(3)设直线4)、3C分别交椭圆「于点P、点。，若P、。关于原点对称，求|8|的最

小值.

21.已知函数f(x)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：s变换：/(x)-/(x-r)；

。变换：|/(x+f)-/(x)|,其中r为大于0的常数.

(1)设/(x)=2*,f=l,g(x)为/"(x)做e变换后的结果，解方程：g(x)=2：

(2)设f(x)=f,力(x)为f(x)做。变换后的结果，解不等式：/(x)..//(x)；

(3)设,f(x)在(70,0)上单调递增，/(x)先做e变换后得到“(X),“(X)再做。变换后得到

々(X)；/(X)先做0变换后得到v(x),v(x)再做上变换后得到丹(x).若％(x)=Q(x)恒成立,

证明：函数/（X）在R上单调递增.

2023年上海高考数学名师模拟卷(13)

—.填空题(共12小题)

1.已知复数z满足：i+丝1=0(，为虚数单位)，则

Z

【解答】解：•.[•+出=0,

Z

.__2+/_(2+0/_

••z----=-----=-]+2/»

T-r

z=-1—2，，

..|z|=J(-l)2+(-2)2=6.

故答案为：逐.

2.己知集合4={-1,0,1,2},8={x|0<x<3},贝UApp=—0—2}

【解答】解：•.•A={-1,0,1,2),8={x|0cx<3},

AQB={1,2},

故答案为：{1，2}.

3.不等式，xT—..0的解集为—[1-2)U(20+«)_.

x--4x+4

【解答】解：因为d-43+4=*-2)2..0

所以，1—..0可转化为X-1..0且XW2,

X-4x+4

故不等式的解集口，2)。(2,+00).

故答案为：[1,2)D(2,内).

4.己知tan(<9—四)=2,贝Utan6=_-3_.

【解答】解：tan(，-2)=2,

可得tan。一、？,解得tan”-3.

1+tan8

故答案为：-3.

5.设函数f(x)=」一的反函数为/T(X)‘贝1」尸,(2)

x+12

【解答】解：在/'(%)=」一中，

x+l

令y=2，得x=--,

所以尸|（2）=-g.

故答案为：-』.

2

6.已知（x-之）"的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64,则该展开式中常数项的值

等于60.

【解答】解：「（x-4"的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2"=64,则〃=6，

x

br2r63rr

故展开式的通项公式为=C6-x--（-2）'x-=x--（-2）,

令6-3「=0，求得r=2,

可得展开式中常数项等于优（-2尸=60.

故答案为：60.

7.若关于x,y的方程组=2有无穷多解，则实数〃，的值为4.

+16y=8

【解答】解：根据题意，若关于X,y的方程组卜+四有无穷多解，

[mx+16y=8

贝ij直线x+/wy=2和，nr+16y=8重合，则有l*16=»7x/n,即机？=16,解可得〃?=±4,

当机=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当机=T时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故机=4.

故答案为：4

8.某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m）,

且该区域的租金为每天4元/加，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需520元

（结果保留整数）.

【解答】解：在AABC中，设AB=6,AC=10,BC=14.

62+102-1422

利用cosA

2x6x102

由于Aw(0,%),

所以A=如.

3

所以5Mzic=gx6xl0x曰=15折

则花费用为4x5x15昌520(元).

故答案为：520元.

9.秉辰“新时代、共享未来”的主题.第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海

召开.某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天

安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那

么符合条件的不同安排方案共有48种.

【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，5人安排在5天进行志愿活动，有用=120种安

排方法，

其中2名男教师相邻的有6父=48种，2名女教师相邻的有=48种，

男教师和女教师都相邻的有=24种，

贝II有120-48-48+24=48种安排方法，

故答案为：48.

10.在A4BC中，/4=90。，AB=AC=2,点V为边A5的中点，点。在边上，则MkC户

的最小值为-2.

—8—

【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

则8(2,0),C(0,2),M(l,0),

直线BC的方程为H=l,即x+y=2,

点P在直线上,设P(x,2-力,

MP=(x-],2-x),CP=(x,-x),

MP-CP=x(x-1)-x(2-x)=2x2-3x=2(x--^)2»

”声,已户的最小值为一2.

8

故答案为：-2.

8

11.已知q(x，y),A(x>，%)两点均在双曲线「：，一>2=的右支上，若不乂>,必

a~

恒成立，则实数〃的取值范围为—口一+8)_.

【解答】解：设鸟的对称点鸟(/，-M)仍在双曲线右支，由玉”2>X%，

得-y}y2>0,即。片•OPy>0恒成立，

/.NRO吕恒为锐角，即/MON,,90°，

.••其中一条渐近线y=4x的斜率±,1,

aa

：.67..1,

所以实数。的取值范围为口，+«)).

12.已知函数y=/(x)为定义域为火的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,1］时，

/(x)=hix,若将方程/(x)=x+l的正实数根从小到大依次记为X1,x2,x},...,xn,则

lim(xn+l-x„)=2.

n->)»

【解答】解：•.■函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xe(0,

1］时,f(x)=Inx,

.•./0)是周期为4的周期函数，图象如图：

将方程/(x)=x+l的正实数根从小到大依次记为x2,玉，…，X,,

则lim(x”1-x”)的几何意义是两条渐近线之间的距离2,

n->oo

，lim(x”|-x“)=2・

n—KC

故答案为：2.

二.选择题(共4小题)

13.函数/(》)=了与一(x-3)°的定义域是()

A.[2,+oo)B.(2,-KO)C.(2,3)53，+<»)D.[3,内)

【解答】解：由题意得：产-2>0,

[x—3w0

解得：犬>2且xw3,

故函数的定义域是(2,3)U(3,4w),

故选：C.

14.已知。>0,。>0,a+b=4f则下列各式中正确的是()

A.1+1„-B.-+->1C.而,,2D.—

ab4abab

[^]^：-.■a+b=4,-+-=-(«+fr)(-+-)=-(2+-+-)...-(2+2.p^)=l,,-.A>

ab4ab4ba4\ba

B都错；

根据基本不等式可得：^,,—=2,当且仅当“。=匕”时“=”成立，.IC对；

2

vy[ab„2,;,必,4,,「.£)错.

ab4

故选：C.

15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面,

则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为(

)

A.0B.2C.4D.12

【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

,每天0点至12点（包含。点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B.

16.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.，前〃项积为7；,则下列选项判断正确的是（）

A.若包侬>S皿i，则数列伍“｝是递增数列

B.若%>加「则数列｛6,｝是递增数列

C.若数列｛£,｝是递增数列,则02M..020n

D.若数列｛7；｝是递增数列，则为）22.。2M

【解答】解：如果数列4=-1,公比为-2,满足S2。22>52以，但是数列｛4｝不是递增数列,

所以A不正确；

如果数列4=1,公比为-满足心位>（皿，但是数列｛可｝不是递增数列，所以3不正确;

1-（1）M

如果数列q=1,公比为;，S,,=―卷一=2（1-/），数列⑸｝是递增数列，但是嗫2<2021'

2

所以C不正确；

数列｛，｝是递增数列，可知Z,>%,可得4>1,所以%.1,可得的>22-4⑼正确，所以。正

确；

故选：D.

三.解答题（共5小题）

17.如图，在直三棱柱A8C-44C中，。为AC的中点.若AB=BC=BB],ZABC=-,

求CG与平面Bq。所成角的正弦值.

【解答】解：因为。为AC的中点，AB=BC，所以皮)J_AC，

因为ABC-4为直三棱柱，所以平面43C_L平面411clC,

乂因为平面43CC平面441GC=AC，所以8O_L平面44CC，

又因为比)u平面BDC、,所以平面BDCtL平面A\CXC,

所以eq在平面8QG内投影为。G,所以NQCC为cq与平面BCQ所成角，

Lyfia

设N£>C1C=。，AB=a,贝Utan。------,sin6=7颉"=且♦

C|Ca2>/1+tan~03

A

故CG与平面8Go所成角的正弦值为手.

18.等差数列｛《,｝中，若%=3，%=9,

(1)求等差数列他“｝的通项公式和前〃项和S,,.

(2)求lim外.

…S"

【解答】解：(1)设等差数列｛q｝的公差为d.

q=3,4=9,二./一％=3d=6,:.d=2,

a〃=%+5-3)d=2〃-3,

.皿3=”2_2〃.

"2

2

(2)由(1)知，4=2〃-3,Stt=n-2n,

2二

/.=lim^———=limg=2.

“TOOSn-XX>_2〃“T8]2

n

19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程

的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABC。，A8=30m,AD=15m.为保护。处

的一棵古树，有关部门划定了以。为圆心、94为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭

区.若空线入线口为45边上的点E,出线口为8边上的点尸，施工要求防与封闭区边

界相切，斯右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到0.1加，计

算面积精确到0.01疗)

(1)若Z4£)E=20。，求防的长;

(2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【解答】解：(1)作垂足为〃,

则EF=EW+〃尸=15tan200+15tan50°仪233W；

(2)设=则71£=15tan。，/77=15tan(90°—26),

2

「15/”八-415/”万\+tan0x225..八1,225G

S^EFD=—(30tan+15cot20)=一(30tan8+15x-------)=---(3tan0H-----)..：------,

222tan04tan。3

当且仅当3tan，=—,即tan0=走时取等号，此时AE=15tan0=5G,最大面积为

tan，3

450-225石,255.1.

20.已知椭圆r：=+V=](〃>1),A、4两点分别为「的左顶点、下顶点，。、。两点均

a~

在直线/:x=a上，且C在第一象限.

(1)设尸是椭圆「的右焦点，且ZAF8=工，求「的标准方程；

6

(2)若C、。两点纵坐标分别为2、1,请判断直线AD与直线8C的交点是否在椭圆「上,

并说明理由；

(3)设直线4)、3c分别交椭圆「于点P、点Q,若P、Q关于原点对称，求|C£)|的最

小值.

【解答】解：⑴由题可得8(0,T),F(c,0),

因为NAFB=工，所以tan44尸8=2=■=tan^,解得c=百，

6cc63

所以〃2=1+(6)2=4,故「的标准方程为土+y2=l；

4

(2)宜线AD与直线3c的交点在椭圆上，

由题可得此时A(-a,O),8(0,-1),C(a,2),£>(a,l),

(当2

则直线8C:y=』x-l,直线AO:y=-J-x+L交点为(如，-),满足-^+(3尸=1,

a2a255a5

故直线AD与直线BC的交点在椭圆上;

(3)B(0,-l),P(acosasin6),则直线外：y=吧"I》7,所以军"1一］),

acos8cos6^

A(-a,0)，。(一acos仇一sin6)，则直线AQ:y=——(x+a),所以D(a,2sin'),

*acQsO-acos0-l

2sin%°s°+s,/+e4人.e0

4sincos

所以|。|=加"+12sin，222222

COS0cos0-10

cos2--sin2-2s”—

222

nii

设tan-=t,贝IJ|CD|=2(——+-)-2,

2