甘肃省兰州市2024届高三下学期三模 数学试题【含答案】

甘肃省兰州市2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（

）A． B．2 C． D．2．设集合，若，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，设与的夹角为，则（

）A． B． C． D．4．在的展开式中，含的项的系数为（

）A．-280 B．280 C．560 D．-5605．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．6．已知a，b均为正实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，年英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将至这个整数中能被除余且被除余的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列.设，则（

）A．8 B．16 C．32 D．648．已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分-在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求-全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在圆O的内接四边形中，，，，则（

）A． B．四边形的面积为C． D．10．已知函数（，）的部分图象如图，则（

）A． B．函数的图象关于轴对称C．函数在上单调递减 D．函数在有4个极值点11．已知正方体的棱长为1，，分别为棱，上的动点，则（

）A．四面体的体积为定值 B．四面体的体积为定值C．四面体的体积最大值为 D．四面体的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是．13．已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为，的面积为（为坐标原点）．14．已知函数，当时的最大值与最小值的和为．四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

(1)求证：平面；(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.10.050.012.7063.8416.63517．已知各项均不为0的数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．18．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

(1)若直线与轴的交点为，求证：；(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；(2)已知函数，其中．①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．1．D【分析】利用复数乘法法则得到，利用模长公式求出答案.【详解】，故.故选：D2．A【分析】根据集合交集、并集概念计算即可.【详解】因为集合，若，则，即集合，所以.故选：A3．D【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.【详解】因为，所以，，所以，因为为与的夹角，所以.故选：D4．B【分析】利用二项式展开式通项公式求解即可.【详解】的二项式展开式通项公式为，,令，可得，所以，故含的项的系数为.故选：B.5．C【分析】先得到方程，求出，得到双曲线方程和渐近线方程.【详解】由题意得，解得，，故渐近线方程为.故选：C6．A【分析】解不等式得到，，充分性成立，举出反例，故必要性不成立.【详解】a，b均为正实数，，故，，充分性，，，故，充分性成立，必要性，，不妨设，满足，但不满足，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．A【分析】由题中的条件可得数列是一个以5为首项，以6为公差的等差数列，进而求出的通项公式，进而求出结果.【详解】被除余且被除余的数，按从小到大的顺序排成一列，把这列数记为数列，则数列是一个以5为首项，以6为公差的等差数列；所以，故；.故选：A.8．C【分析】由题意可得，在上单调递减，所以不等式恒成立，等价于在恒成立，即恒成立，设，，利用导数求出函数在的最值即可得答案．【详解】解：因为，，易知在上单调递减，所以，所以，所以，又因为对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的，不等式恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．由，知，，所以当，上式等价于恒成立．设，，，开口向上，对称轴为，当时，，所以在内单调递减，而，所以，所以，即．故选：C.【点睛】本题考查构造函数、函数中心对称、函数与不等式综合，恒成立问题.借助导数研究单调性和最值，考查学生转化能力，属于难题.9．ABD【分析】选项A，在，分别使用余弦定理，求解即可；选项B，结合面积公式，即得解；选项C，转化利用数量积的定义求解即可；选项D，转化，，利用数量积的定义求解即可.【详解】由题意，，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正确；，B正确；在中，，在中，，，C错误；，又，故，D正确.故选：ABD10．BD【分析】由“五点法”求得，根据正弦函数的性质和极值点的概念依次判断选项即可.【详解】A:由图可知的周期为：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A错误；B：由A的分析知，所以因为为偶函数，故B正确；C：由，得，故在上单调递增，故C错误；D：因为，，，，故D正确.故选：BD.11．BCD【分析】根据到平面的距离不是定值即可判断A；根据为定值与到平面的距离即可判断B；确定当Q与、与重合时四面体的体积取得最大值，即可判断判断C；如图，确定四面体的体积为，即可判断D.【详解】A：因为的面积为，到平面的距离不是定值，所以四面体的体积不是定值，故A错误；B：因为的面积为，P到矩形的距离为定值，所以到平面的距离为，则四面体的体积为，故B正确；C：当Q与重合时，取得最大值，为，当与重合时，到平面的距离d取得最大值，在正中，其外接圆的半径为，则，故四面体的体积最大值为，故C正确；D：过点作，，，设，，则，，，，，，故四面体的体积为，其最大值为，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题主要考查正方体的性质，三棱锥体积有关问题.明确当体积达到最值时动点的位置是解题的关键.12．37.5##【分析】根据百分位数的求法求解即可.【详解】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位数是．故答案为：37.513．##【分析】由题意求出抛物线方程，进而求出直线的方程，联立抛物线方程，求得，，结合计算即可求解.【详解】因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为，则，得直线的方程为，与联立整理得，设，故，，故的面积为．故答案为：；14．【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.【详解】，当时，，递增；当时，，递减；，，，故最大值与最小值的和为：．故答案为：15．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解.【详解】（1）因为为正三角形，是中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面内且相交，故平面（2）分别为的中点，，又平面过且不过，平面．又平面交平面于，故，进而，因为是中点，所以是的中点．以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，

设平面法向量为，则，即，取，得，则，因为，所以.16．(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系(2)，(3)分布列见解析；期望为【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值为；且服从超几何分布：故所求分布列为0123可得17．(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，即，当时，可得，两式相减得，因为，故，所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，解得，所以，，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得，因为对于任意成立，所以恒成立，设，则，当，即时，当，即时，所以，故，所以，即实数的取值范围为.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.【详解】（1）易知抛物线焦点，准线方程为；设直线的方程为联立得，可得，所以；不妨设在第一象限，在第四象限，对于；可得的斜率为所以的方程为，即为令得直线的方程为，令得．又，所以即得证．（2）方法1：由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，所以过点的的垂线的方程为，即，如下图所示：联立，解得的纵坐标为要证明，因为四点共线，只需证明（*）．，．所以（*）成立，得证.方法2：由知与轴平行，①又的斜率为的斜率也为，所以与平行，②，由①②得，即得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到，解出点的坐标，从而转化为证明即可.19．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；②根据题意，转化为时，在恒成立，设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）解：在曲线取一点．过点作的切线分别交于，因为，可得，即．（2）解：①由函数，可得，不妨设，曲线在处的切线方程为，即同理曲线在处的切线方程为，假设与重合，则，代入化简可得，两式消去，可得，整理得，由（1）的结论知，与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．②当时，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下证：当时，恒成立．因为，所以设（i）当时，由知恒成立，