黑龙江省部分学校2023-2024学年高三第三次模拟 数学试题【含答案】

2023～2024学年度高三年级第三次模拟数学注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合，则满足的集合C的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（

）A．2 B．1 C．1 D．23．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．4．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.6575．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为（

）A．4 B．5 C．6 D．86．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（

）A． B． C． D．7．已知函数，把的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．在上的最大值为0D．不等式的解集为8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50,100]内，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．成绩在[70,80)的考生中，甲班人数多于乙班人数B．甲班成绩在[80,90)内人数最多C．乙班成绩在[70,80)内人数最多D．甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小10．如图，三棱锥C中，PA，PB，PC两两垂直，，则（

）A．B．三棱锥的体积为C．点P到平面ABC的距离为D．三棱锥的外接球的表面积为11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象在点处的切线在y轴上的截距为B．在上为增函数C．在上的最大值为D．若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有种排法.(用数字作答)13．已知圆C：，，若C上存在点P，使得，则r的取值范围为.14．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为，此时点到直线的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．16．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本平均数，近似为样本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为，试求E().附：参考数据：，若随机变量X服从正态分布N(，)，则，，.17．在如图所示的多面体中，四边形是边长为的正方形，其对角线的交点为平面，点是棱的中点.(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值.18．记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.(1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.1．C【分析】利用子集求解即可.【详解】由题知因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，即集合的子集个数为个.故选：C.2．D【分析】令，根据可得答案.【详解】令，则，，，因为，所以，所以.故选：D.3．B【分析】将依次代入选项中，根据周期性、过的点以及诱导公式可判断每个选项的正误，进而选出答案.【详解】题目中图象对应函数的最小正周期，对于A，，最小正周期为，不符合题意，错误；对于B，，最小正周期为，且和都在图象上，符合题意，正确；对于C，，最小正周期为，但函数过点，不符合题意，错误；对于D，，最小正周期为，不符合题意，错误.故选：B4．B【分析】根据所给数据求出的估计值，再根据对数的运算法则求出，即可得解；【详解】解：依题意所以，又所以估算出的与实际的的误差绝对值近似为；故选：B5．D【分析】求出焦点的坐标，设出A，B坐标，利用的，结合抛物线的定义即可得解.【详解】由抛物线，可知，准线的方程为，设，因为，所以，所以，由抛物线定义知，点到准线的距离为.故选：D6．A【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4种情况，所以一个人摸球，能够获奖的概率为，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.故选：A.7．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的奇偶性、对称性、单调性依次判断选项即可.【详解】由题知.A：由于的定义域为，且，故为奇函数，故A错误；B：又，故的图象不关于直线对称，故B错误；C：因为时，，所以在上的最大值为0，最小值为-2，故C正确；D：，则，则，故，故D错误.故选：C8．A【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合余弦定理列式计算即得.【详解】设，则，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，解得，因此，令双曲线的半焦距为c，在中，由余弦定理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A9．ACD【分析】根据折线统计图逐个分析判断即可.【详解】对于A，由图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；对于BC，由图可知甲班成绩主要集中在[80,90)，乙班成绩主要集中在[60,70)，B正确，C错误；对于D，由图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.故选：ACD10．AC【分析】对于A，根据线面垂直即可得到；对于B，C，用等体积法解题；对于D，补形成长方体，求长方体外接球即可．【详解】对于A，由已知P平面PBC，得平面PBC，又平面PBC，故，A正确；对于B，因为PA，PB，PC两两垂直，则，故B错误；对于C，设Р到平面ABC的距离为h，BC的中点为E，连接AE，易知，所以，所以，解得.所以点Р到平面ABC的距离为，故C正确；对于D，因PA，PB，PC两两垂直，故三棱锥的外接球即是以2，1，1为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为，故D错误.故选：AC．11．ACD【分析】对于A：当时，，求导，结合导数的几何意义求切线方程，即可得结果；对于B：当时，，求导，利用导数判断原函数的单调性即可；对于C：可知为偶函数，根据对称性结合选项B中的对称性分析判断；对于D：根据偶函数的对称性可知在内恰有5个极值点，结合选项A分析极值点分布即可.【详解】对于选项A：当时，，则，可得，，则函数的图象在点处的切线方程为，所以切线在y轴上的截距为，故A正确；对于选项B：当时，，则，因为时，则，可知，则；当时，则，可知，则；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于选项C：由选项B可知：在的最大值为，因为的定义域为，且，可知函数为偶函数，所以在上的最大值为，故C正确；对于选项D：若在内恰有11个极值点，由选项C可知：为定义在上的偶函数，可知为的极值点，则在内恰有5个极值点，由选项A可知：当时，，令得，且的零点均为变号零点，可知：的极值点即为的零点，令，解得，即在内的极值点为，由题意可得：，即，所以实数m的取值范围为，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值的方法（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号．（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数．（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解．12．252【分析】由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种即可求解.【详解】由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共有种.故答案为：.13．[4，6]【分析】把转化为圆上的点，进而得出两圆位置关系求参即可.【详解】因为点，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除点A，B外)，圆M：(y≠0)，半径=1，又点Р在圆C：(r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r，，依题意，圆M与圆C有公共点，因此，即，解得.故答案为：.14．##【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可.【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则，因为平面平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，要使得平面，则平面，因为平面平面，故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点，则.以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系，易知，取，则，所以点到直线的距离为.故答案为：；【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力.15．(1)(2)【分析】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；（2）化简得到，根据题意得到方程有两个不为2实数根，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，得出不等式，即可求解.【详解】（1）解：当时，函数，可得，所以，且，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为，可得是的一个零点，因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，令，所以，令，可得，令，可得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，且当时，，所以，当时，的值域为；当时，的值域为，所以，且，所以且．所以a的取值范围是．【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.16．(1)69.5(2)①0.819；②24570【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算可得；（2）①根据正态分布的性质求解即可；②根据二项分布的期望公式计算即可.【详解】（1）由题意得，平均数=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，依题意，服从二项分布，即～B(30000,0.819)，则E()=np=24570.17．(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据线面垂直的性质证明四边形为矩形，求出，结合勾股定理和线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【详解】（1）连接.因为平面平面，所以.因为是中点，所以四边形为矩形，则.因为是正方形的对角线交点，所以为中点，，所以.因为为中点，所以.又平面，所以平面.（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，所以由，得，令，可得，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)【分析】