山西省阳泉市2024届高三下学期第三次模拟测试 数学试题【含答案】

2024年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．4．考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，则集合与集合的关系是（

）A． B． C． D．2．已知是实系数方程的一个复数根，则（

）A． B． C．1 D．93．已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．6．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．510．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（

）A． B．C． D．若，则B与C互斥11．已知定义在上的函数满足，则（

）A．是奇函数 B．在上单调递减C．是偶函数 D．在在上单调递增三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，则.13．已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和．14．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是.四、解答题：（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；(2)求的值．16．全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场4045未上场3合计42(1)完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817．在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．

(1)证明：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．18．设函数.（1）当时恒成立，求k的最大值；（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立.19．已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．(1)求点的轨迹的方程；(2)设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点．1．C【分析】求出集合中函数的值域，集合中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数值域为，函数定义域为，即，，所以有.故选：C.2．A【分析】根据虚根成对原理也是实系数方程的一个复数根，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是实系数方程的一个复数根，则也是实系数方程的一个复数根，所以，解得，所以.故选：A3．A【分析】利用绝对值不等式的解法化简，再由充分条件与必要条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】因为：，所以，记；，记为．因为是的必要不充分条件，所以A，所以，解得．故选:A．4．D【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得.【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值，则，由等差数列性质，得，所以.故选：D5．B【分析】设，的夹角为，由题意可得，，解方程即可得出答案.【详解】设，的夹角为，由可得：，，所以，在上的投影向量为，则，所以，即，则.故选：B.6．C【分析】根据条件得是等边三角形，设的边长为，结合双曲线定义得，在中，由余弦定理求得离心率.【详解】因为是线段的中点，且，所以，又，所以是等边三角形，设的边长为，由双曲线的定义知，，，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，

，所以即，所以离心率.故选：C7．A【分析】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余9，由此可得答案.【详解】,所以被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故选：A.8．C【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与的外接圆半径的关系式；设，在中根据面积关系和正弦定理，得到是关于的函数；利用导数求出范围，进而得到范围.【详解】如图，连接，交于点，易得为的外心．连接．交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上．设的外接圆圆心为平面，由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点，所以．

设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．则，设，，，又，．设，则，设，则，在单调递增，又，所以在单调递减，在单调递增，又，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题第一个突破口是找出外接球半径与的外接圆半径的关系，第二步是根据面积关系和正弦定理，得到是关于的函数.9．BD【分析】由题意可得以为直径的圆与圆相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即可得.【详解】若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆相内切或外切，由，则以为直径的圆的圆心为，半径为，则有或，分别解得或，故或，故B、D正确，A、C错误.故选：BD.10．BCD【分析】A与B相互独立，则,又因为可判断A选项；由条件概率的运算判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；，即B与C互斥判断D.【详解】对于A，A与B相互独立，则,，A错误；对于B，因为A与C互斥，所以,所以,,所以,B正确；对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，所以,所以，C正确；对于D，显然，即，由，得，解得，所以B与C互斥，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查了互斥事件、独立事件的概念和条件概率的公式化简运算，关键在于理解和事件与积事件的求法，并于条件概率运算公式中的项相结合，进行化简，进而向各选项表达式靠拢判断正误.11．AB【分析】令，求出，令，求出，再分别令和，即可求出函数的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在上的函数满足，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减.故选：AB.12．【分析】将角度拆分成，再结合诱导公式转化即可得所求.【详解】因为，所以.故答案为：.13．【分析】由与的关系求得，用裂项求和法求得.【详解】因为，所以，故时，两式相减得，即，因为，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，

故答案为:.14．【分析】将函数零点问题转化为与的交点问题，数形结合即可求解范围.【详解】令，得或.作出的大致图象，如图所示，这两个函数图象的交点为，因为，，所以由图可知的取值范围是.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；（2）设，利用正弦定理可得，展开化简即可得其正切值.【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，所以，则为等腰直角三角形，所以，则．在中，由余弦定理得，故．故A，C两点间距离为．（2）设，则由题意可知，，．在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，所以，解得，所以．16．(1)列联表见解析；有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解；（2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解；（ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，可得的列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场40545未上场235合计42850零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关此时，所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关.（2）解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.（i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，则,所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：.（ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据四边形是菱形，可得；在中，根据题意可证，又是的中点，得，即可得到结论.（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角公式即可.【详解】（1）设与交点为，连接．

四边形是菱形，是的中点．在中，是等边三角形，．在中，是的中点，．又平面，平面．（2）连接，是等边三角形，是线段的中点，又平面平面，平面平面，平面，平面．以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，于是，设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.18．（1）k的最大值为2（2）证明见解析【解析】(1）由知,设,求出的导数，讨论得出的单调性，求出的最小值，从而得出答案.（2）当时，，当且仅当时，等号成立，这个不等式等价于,由此能够证明不等式.【详解】解（1）由知，设，则令，得.当时，有成立，在单调递增，，满足题意.当时，有，，所以，，于是有时，.所以在单调递减，结合，知时，舍去.综上，k的最大值为2.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，于是有：，，，累加可得：.证毕！【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，属于难题.19．(1)(2)证明