陕西省富平县2024届高三第二次模拟理科 数学试题【含答案】

富平县2024年高三模拟考试数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效：4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值可以为（

）A． B． C． D．5．某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变化的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（

）A． B． C． D．8．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形9．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形10．已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．11．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．12．已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（

）A．14 B．16 C．21 D．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．展开式中的项是.14．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为.15．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为.16．已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答：（一）必考题：共60分.17．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点.(1)求证：∥平面PBC；(2)求平面MBC与平面PBC夹角的余弦值.19．乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100(1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？(2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828参考公式：．20．已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．21．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出直线和曲线的普通方程；(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.【选修4—5：不等式选讲】23．已知函数，．(1)当时，解不等式；(2)若对任意，都有成立，求a的取值范围．1．A【分析】根据复数的运算求出，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】，所以在复平面内的对应点为，在第一象限.故选：A2．C【分析】求出函数值域化简集合，再利用并集的定义求解即得.【详解】当时，，则，而，所以.故选：C3．A【分析】根据向量平行的坐标运算得到方程，求出或2，从而结合充分条件、必要条件判断出结论.【详解】若，则，解得或2，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．D【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得答案.【详解】由题意可知函数的图象关于原点对称，则，整理可得，当时，.故选：D.5．B【分析】根据题意结合中位数、平均数、极差、方差的概念分析求解.【详解】从17个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到15个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，但中间位置不变，即不变的数字特征数中位数，例如，故可能变化的有3个.故选：B.6．B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B7．C【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可.【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则，则故选：C8．D【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.【详解】，即，故，，因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D9．A【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状.【详解】连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，又四边形为正方形，所以⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，同理可证明⊥，因为，平面，故⊥平面，故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.

故选：A10．C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再结合斜率坐标公式建立方程并求出离心率.【详解】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限，由，解得，则，而，由，得，解得，，所以椭圆C的离心率.故选：C11．D【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围．【详解】由题意可得：，由可得，因为，，则，由题意可得，解得，所以的取值范围为．故选：D．【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．12．D【分析】构造函数，结合函数单调性可得，则有，即可得解.【详解】由，且，，故，即，令，，故当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，由，即，故，，又，故，即，若，则有，即，由，故.故最大正整数为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从而得到，则有，即可得解.13．【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解即可.【详解】依题意，展开式中的项是.故答案为：14．【分析】先求得点的坐标，再求得关于直线的对称点，借助三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，设，则，解得，显然，不妨设，关于直线的对称点为，则因此，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为.故答案为：15．【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论.【详解】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.16．##【分析】求出外接球半径，得到，，作出辅助线，求出⊥平面，由勾股定理求出各边长，由余弦定理得到，进而得到，求出，利用锥体体积公式求出答案.【详解】设外接球半径为，则，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱锥的体积为故答案为：【点睛】关键点点睛：取的中点，连接，证明出⊥平面，从而利用求出三棱锥的体积.17．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可.（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.【详解】（1）设等比数列的公比为，由及，得，解得，于是，即，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，所以.18．(1)证明见详解(2)【分析】（1）利用三角形的中位线，证明，可证得平面PBC；（2）建系标点，分别求平面MBC、平面PBC法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N．因为M，N分别为PD，BD的中点，则．且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）由题意可知：平面ABCD，且，如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面MBC的法向量，则，令，则，可得；设平面PBC的法向量，则，令，则，可得；则，所以平面MBC与平面PBC夹角的余弦值为.19．(1)列联表见解析；有(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.【详解】（1）依题意可得列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100，我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，则的可能取值为、、、，所以，，，，所以的分布列为：0123所以．20．(1)(2)【分析】（1）由已知条件结合双曲线的性质求得，再由离心率即可求出；（2）双曲线C和直线l的方程联立，求出原点O到直线l的距离，和，即可得出△OAB的面积【详解】（1）双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为．因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．（2）设，，联立，得，，所以，．由，解得t＝1（负值舍去），所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，，所以△OAB的面积为．21．(1)递减区间为，无递增区间；(2).【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.【详解】（1）依题意，函数的定义域为，求导得，当且仅当时取等号，即在上单调递减，所以函数的递减区间为，无递增区间.（2）当时，恒成立，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，则当时，，令，依题意，，恒成立，令，求导得，则函数在上单调递增，当时，，因此，所以实数m的取值范围.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.22．(1)直线l：；曲线C：(2)【分析】（1）根据参数方程、极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，结合二次函数的性质求