浙江省稽阳联谊学校2024届高三下学期4月联考 数学试题【含答案】

2024年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z可能是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．的展开式中的常数项是（

）A．224 B．448 C．560 D．4．“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件5．已知P，，则的最大值是（

）A．2 B． C．4 D．6．如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量.九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两铢，1斤两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2.若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（

）A．2枚 B．3枚 C．4枚 D．5枚7．设，，…，是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称为样本k阶中心矩，其中为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度来刻画偏离方向与程度.若将样本数据，，…，绘制柱形图如图所示，则（

）A． B．C． D．与0的大小关系不能确定8．已知定义在R上的函数恒大于0，对，，都有，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C．是奇数 D．有最小值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数，下列说法正确的是（

）A．B．方程有3个解C．当，D．过点作的切线，有且仅有一条10．已知数列的前n项和，且向量，，对于任意，都有，则下列说法正确的是（

）A．存在实数，使得数列成等比数列B．存在实数，使得数列成等差数列C．若，则D．若，则11．已知正四棱台，，球O内切于棱台，点P为侧面上一点（含边界），则（

）A．球O的表面积为B．三棱锥的外接球球心可能为OC．若直线面，则D．平面与球O的截面面积最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量，，若，则k的值可以是.（写出一个值即可）13．若，，则的最大值是.（其中表示a，b中的较小值）14．已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①；②；③(1)求角C；(2)若，D是AB上的点，CD平分，的面积为，求角平分线的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，五面体ABCDEF中，已知面面，，，.(1)求证：.(2)若，，点P为线段中点，求直线与平面夹角的正弦值.17．盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入个同k（）色球.(1)若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值；(2)若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球.（ⅰ）分别求，，；（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率.18．已知抛物线：（）的焦点为F，A，B是抛物线上两点（A，B互异）.(1)若，且，求抛物线的方程.(2)O为坐标原点，G为线段中点，且.（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）x轴上的定点E满足为的角平分线，连接、，延长交于点P，延长交于点Q，求的最大值（用含p的代数式表示）.19．已知函数，(1)当时，求的最小值；(2)若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(3)当时，设为函数的极大值点，求证：.1．A【详解】解：，对应的点为，在第二象限，A正确；，对应的点为，不在第二象限，B错误；，对应的点为，不在第二象限，C错误；，对应的点为，不在第二象限，D错误．故选：A.根据复数的乘法运算，逐一核对选项即可．本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．D【详解】解：集合，或，故.故选：D.先求出集合A，B，再结合交集的运算，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．B【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，…，7，令，则，所以多项式的展开式的常数项为.故选：B.求出二项式的展开式的通项公式，然后令x的指数为–2，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．4．C【详解】解：由，得，即充分性成立；反之，，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件．故选：C.利用充分条件与必要条件的概念判断即可．本题考查正弦函数的图象与性质及充分条件与必要条件的应用，属于中档题．5．C【详解】解：P，，如图，故P，Q在两圆及其内部的范围内，所以得最大值为4.故选：C.先求出P，Q两点的轨迹，再结合图形，即可求解．本题主要考查两点之间的距离，属于基础题．6．B【详解】解：设数列，，，由，，…，成等比数列，公比为2，则，，故由，，成等差数列，得，，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铁的环权，故需要3枚．故选：B.根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．本题主要考查数列的应用，属于基础题．7．C【详解】解：样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，，而样本方差，则.故选：C.由图可知，右拖尾时，而样本方差，从而判断的符号．本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．8．D【详解】解：，取，则，故，选项A正确；取，则，则，选项B正确．取，，则，则，取，，，则是奇数，选项C正确；取函数，符合题目条件，但此时无最小值，故选项D错误．故选：D.根据已知条件，结合赋值法，即可求解．本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．9．AC【详解】解：对于A，，则，所以，由，得，所以关于中心对称，所以，故A正确；对于B，因为，所以，令，得，或，令，得，所以在，单调递增，在单调递减，在处有极大值，极大值为，又因为，所以方程有唯一解，故B错误；对于C，由B可知，在，上单调递增，在上单调递减，又因为，，，，所以的最大值为3，最小值为1，即，故C正确；对于D，若点为切点，由，可得切线方程为，即，若点不是切点，设切点坐标为，且，则切线的斜率，所以切线方程为，又因为切线方程过点，所以，解得或0（舍去），所以切线方程为，即.综上所述，过点作的切线有2条，故D错误．故选：AC.由可求出的对称中心，进而可判断A，求导得到的单调性和最值，进而可判断BC，分点是切点和不是切点两种情况讨论，结合导数的几何意义可判断D.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．10．BCD【详解】解：由，向量，，对于任意，都有，可得，若，则，可得是等差数列，故B正确；若，可得，可得，则，故A错误；若，则，，故C正确；若，则，，故D正确．故选：BCD.由向量共线的坐标表示推得，讨论的值，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，可得结论．本题考查数列的递推式和向量共线的坐标表示、等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．11．ACD【详解】解：已知正四棱台，，球O内切于棱台，点P为侧面上一点（含边界），对于A选项，取，，，的中点分别为M，N，X，Y，再取，的中点为S，R，则，，球O内切于棱台，则O点即为梯形内切圆心，易知O为中点，且，均为角平分线，故，则，故球O的表面积，故A选项正确；对于B选项，由上述分析可得，，则正四棱台的侧棱，作，垂足为E，则E为三等分点（靠近N）.设，由勾股定理得，则，的外接圆心为三等分点（靠近X），则三棱锥的外接球球心满足平面，显然平面，故三棱锥的外接球球心不可能为O，故B选项错误；对于C选项，若直线平面，作，垂足为H，则P的轨迹为以为直径的圆，圆所在的平面与垂直，又点P为侧面上一点（含边界），取，的中点，，作，垂足为P，此时，故C选项正确；对于D选项，平面与球O的截面为圆，半径满足，故只需找离O最远的平面即可，显然观察四个顶点即可，其中P取A，时为同一平面，此时显然离O较近，当P取时，作，垂足为F，则平面，；当P取D时，作，垂足为G，则平面，，故，故圆的截面面积为，故D选项正确．故选：ACD.对于A：取，，，的中点分别为M，N，X，Y，再取，的中点为S，R，证出，进而求得r即可；对于B：利用条件得出三棱锥的外接球球心满足平面，显然平面，即可判断；对于C：若直线平面，则P的轨迹为以DH为直径的圆，求解即可；对于D：当P取D时，作，垂足为G，则平面，，即可得解．本题考查的知识点：棱台的性质，棱台和球的关系，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于中档题．12．或【详解】解：平面向量，，∴，∴，，∵，∴，解得.故答案为：或.利用平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质求解．本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．【详解】解：设，则，，所以，即，当且仅当时取等号．故答案为：.设，则，，即，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14．【详解】解：设：与x轴的交点为P，Q，不妨设，，，根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，又，则，因为，，代入，得到，在中，，，由余弦定理得，解得.故答案为：.根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，再得到，最后利用余弦定理求出e.本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．(1)；(2).【详解】解：（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得，可得，又因为，所以；若选②，由正弦定理可得：，因为，所以，，可得，再由，可得，即；若选③，由正弦定理可得：，，可得，，可得，解得；（Ⅱ）因为，D是上的点，平分，的面积为，所以，可得，，由余弦定理可得，即，解得.即角平分线的长为.（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；选②，由正弦定理及半角公式可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角C的大小；（Ⅱ）由等面积法及余弦定理可得角平分线的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．16．(1)证明见解析；(2).【详解】解：（Ⅰ）证明：取中点M，连接，因为，所以，又因为面面面，且面面，所以面，面，所以，又因为，且，所以面，所以，又，所以；（Ⅱ）因为在直角梯形中，，，，易求得，又，，所以三角形为等边三角形，如图，以M为原点建立直角坐标系，，，，，，因为P是中点，所以点P坐标为，所以，，，设面的法向量为，则，则可取，所以.（Ⅰ）由已知证出面，则，进而得出面，再根据以及线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查线线垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．17．(1)；(2)（ⅰ），，；（ⅱ）【详解】解：（Ⅰ）若，设抽取n次中抽中黑球的次数为X，则，故，由，…，故最大值为或，即的最大值；（Ⅱ）（ⅰ），，；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，则.（Ⅰ）利用独立事件的概率乘法公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）利用条件概率公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，再结合独立事件的概率乘法公式求解．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．18．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【详解】解：（Ⅰ）因为，则线段是抛物线的通径，所以，得到，抛物线方程为.（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为，所以O在以为直径的圆上，所以，所以，设，，则，所以直线方程为，又，所以，方程为，直线过定点.（ⅱ）设，为的角平分线，则，，整理得，因为，解得，即，，不妨设，因为，则，同理，直线的方程为，与直线的交点横坐标，同理，所以，令，则，所以，当且仅当，取最大值.（Ⅰ）利用抛物线的性质即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）因为，则可推得，设，，求出，进一步可得直线的方程，然后由，可得，代入直线的方程即可得证；（ⅱ）设，为的角平分线，则，可得，即，，不妨设，因为，则，同理，直线的方程为，与直线的交点横坐标，同理，表示出，运用换元法求解即可．本题考查抛物线的方程与性质，考查联立直线与抛物线的方程解决综合问题，属于中档题．19．(1)最小值为1；(2)(3)证明见解析【详解】解：（Ⅰ）当时，，定义域为，则，由，可得在单调递增，且，故时，，单调递减；时，，单调递增，则的最小值为；（Ⅱ）若在定义域内单调递增，则在上恒成立，，令，则，且可知，下证时，，由关于单