2024辽宁中考数学二轮复习 4.5 锐角三角函数及其应用 (课件)

第五节锐角三角函数及其应用

辽宁近年中考真题精选1

考点精讲2辽宁近年中考真题精选直角三角形的边角关系A.B.4C.D.1命题点1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(

)D第1题图2.今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即锐角三角函数的实际应用(抚本铁辽葫近5年连续考查)2命题点

类型一“母子型”及拓展第2题图从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截住可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．(1)求B点到直线CA的距离；解：(1)如解图，过点B

作BH⊥CA交CA的延长线于点H，第2题图H∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°，∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×＝75海里．答：B点到直线CA的距离为75海里；第2题图H(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)(2)∵BD＝75，BH＝75，∴DH＝＝75.∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝＝，∴AH＝25.∴AD＝DH－AH＝(75－25)海里．答：执法船从A到D航行了(75－25)海里．第2题图H3.如图，学校教学楼上悬挂一块长为3米的标语牌，即CD＝3米，数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部D点到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2米，小明在E处测得标语牌底部D点的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部C点的仰角为45°，AB＝5米，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部D点到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由(图中A，B，C，D，E，F，H在同一平面内)．(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)第3题图解：能．如解图，延长EF交CH于点N，第3题图N∵∠CFN＝45°，∠DEN＝31°，∠CNF＝90°，∴∠FCN＝90°－45°＝45°.∴CN＝FN.设DN＝x，则FN＝CN＝x＋3，∴EN＝FN＋EF＝x＋3＋5＝x＋8.在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，第3题图N∴DN＝EN·tan31°≈0.6EN，∴x≈0.6(x＋8)，解得x≈12.∴DH＝DN＋NH≈12＋1.2＝13.2米．答：标语牌底部D点到地面的距离DH的长约为13.2米．第4题图4.如图为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B、A在C的正东方向，D在C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距1000m，E在BD的中点处．(1)求景点B、E之间的距离；解：(1)由题意知∠DCB＝90°，∠D＝30°，CD＝1000，∴BD＝＝2000.又∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝1000m.答：景点B、E之间的距离是1000m；第4题图(2)求景点B、A之间的距离．(结果保留根号)(2)如解图，过点E作EF⊥AC于点F，第4题图F∵E是BD的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴EF＝CD＝500.∵在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，∴AF＝EF＝500.∵在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，∴BF＝＝500，∴AB＝AF－BF＝(500－500)m.答：景点B、A之间的距离是(500－500)m.类型二“背对背型”及拓展类型(抚顺、辽阳3考；本溪2考；铁岭近5年连续考查，葫芦岛4考)5如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为______米．(参考数据：

≈1.73，结果精确到0.1米)第5题图54.66.景区A，B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A去景点B必须经过C才能到达．现测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C处的北偏东75°方向．(1)求景点B和C处之间的距离；(结果保留根号)第6题图解：(1)如解图，过点C作CD⊥AB于点D，D在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，∴CD＝AC＝300，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由题意知∠B＝75°－30°＝45°，∴BC＝米，答：景点B和C处之间的距离为

米；第6题图D(2)当地政府为了便捷游客游览，计划修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥，大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)(2)在Rt△ACD中，AC＝600，∠A＝30°，∴AD＝600×cos30°＝300，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝300，∴AB＝AD＋BD＝300＋300，第6题图D∴AC＋BC－AB＝600＋300－(300＋300)＝300＋300－300≈300＋424.2－519.6≈205米，答：从景点A到景点B比原来少走约205米．第6题图D第7题图7.如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．(点A，B，C，M在同一平面内)(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；(结果保留根号)解：(1)∵AB垂直于桥面，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°，tan∠ACM＝，∴AM＝CM·tan30°＝60×＝20米．答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；第7题图(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)(参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73)(2)在Rt△BMC中，CM＝60米，∠BCM＝14°，tan∠BCM＝，∴MB＝CM·tan14°≈60×0.25＝15米，∵AB＝AM＋MB，∴AB＝20＋15≈50米．答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．第7题图8.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°.(1)求无人机的高度AC(结果保留根号)；第8题图

解：(1)根据题意得CD＝8×15＝120，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD·tan∠ADC＝120×tan60°＝120m.答：无人机的高度AC为120m；第8题图(2)求AB的长度(结果精确到1m)．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)(2)如解图，过点B作BF⊥CE于点F，第8题图F则四边形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝120，CF＝AB，∵在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝∵CE＝8×(15＋50)＝520m，∴AB＝CF＝CE－EF≈520－276.8≈243m.答：隧道AB的长度约为243m.F第8题图9.如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P处，也可以通过滑行索道到达景点Q处．在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上)(1)求∠CAP的度数及CP的长度；第9题图解：(1)∵CP∥AB，∠ACP＝75°，∴∠EAC＝∠ACP＝75°.∵∠PAB＝30°，∴∠CAP＝180°－∠EAC－∠PAB＝75°.如解图，过点A作AD⊥CP于点D，第9题图D∵CP∥AB，∴AD＝CE＝100，∠APD＝∠PAB＝30°，∴AP＝2AD＝200.∵∠PCA＝∠PAC＝75°，∴CP＝AP＝200米．答：∠CAP的度数为75°，CP的长度为200米；(2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号)(2)如解图，过点Q作QF⊥CP于点F，第9题图F∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ，PF＝PC＝100.∴PQ＝米．答：P，Q两点之间的距离为米．10.如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．测量项目测量数据测角仪到地面的距离CD＝1.6m点D到建筑物的距离BD＝4m从C处观测建筑物顶部A的仰角∠ACE＝67°从C处观测建筑物底部B的俯角∠BCE＝22°第10题图请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)(选择一种方法解答即可)

解：选择CD＝1.6m，BD＝4m，∠ACE＝67°，这3个测量数据．根据题意，四边形BDCE为矩形，∴CE＝BD＝4m，BE＝CD＝1.6m，第10题图在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE＝4×tan67°≈4×2.36＝9.44m，∴AB＝AE＋BE＝9.44＋1.6＝11.04≈11.0m，答：建筑物AB的高度约为11.0m.第10题图类型三实物模型(本溪2考)11.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE∶CD＝1∶3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题：(1)求AC的长度；(结果保留根号)第11题图解：(1)如解图，过点F作FG⊥DE于点G，第11题图G∴∠FGD＝∠FGC＝90°.在Rt△DGF中，∠CDF＝30°，∴FG＝FD·sin30°＝30×＝15，∴DG＝FD·cos30°＝30×＝15.在Rt△CGF中，∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15，∴CD＝CG＋DG＝15＋15.∵CE∶CD＝1∶3，∴CE＝CD＝×(15＋15)＝5＋5，∴DE＝EC＋CD＝5＋5＋15＋15＝20＋20.∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB＋BC＝2DE＝2(20＋20)＝(40＋40)cm.答：AC的长度是(40＋40)cm；第11题图G(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离．(结果保留根号)(2)如解图，过点A作AH⊥ED交ED延长线于点H，第11题图H在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，∴AH＝AC·sin45°＝(40＋40)×＝(20＋20)cm.答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离是(20＋20)cm.定义特殊角的三角函数值解直角三角形的常用关系三边关系面积关系两锐角关系边与角关系锐角三角函数的实际应用仰角、俯角近似数坡度(坡比)、坡角方向角锐角三角函数考点精讲【对接教材】北师：九下第一章P1～P27；人教：七上第一章P45～P48，九下第二十八章P60～P85.定义：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有：∠A的正弦：sinA＝

；∠A的余弦：cosA＝

；∠A的正切：tanA＝

,图1α30°45°60°

sinα

_____

cosα

_____

tanα

_____三角函数三角函数值特殊角的三角函数值α0°，45°，6