2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 5.3 菱形 (课件)

第三节菱形

辽宁近年中考真题精选1

考点精讲2

重难点分层练3辽宁近年中考真题精选命题点与菱形有关的证明与计算类型一菱形性质的计算(沈阳、本溪、辽阳、葫芦岛3考；抚顺、铁岭2考)1.(2022铁岭9题3分·源自北师九上P9习题1.3第3题改编)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是(

)A.4 B.

C.5 D.

第1题图B2.(2020抚顺本溪辽阳9题3分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是(

)A.2 B. C.3 D.4第2题图B3.(2022葫芦岛14题3分)如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为________．4.(2023本溪17题3分)菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC边上的高，AE＝4，则对角线BD的长为____________．第3题图(2，－3)4或25.(2021沈阳18题8分)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝

BC，DN＝

DC.连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E.(1)求证：△ABM≌△ADN；第5题图(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.∵BM＝

BC，DN＝

DC，∴BM＝

DN.∴△ABM≌△ADN(SAS)；(2)若AD＝4，则ME的长是________．【解法提示】∵四边形ABCD是菱形，AD＝4，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝4.∴△CNE∽△BAE.∴

＝

.∴BM＝

BC＝3，DN＝

CD＝3.∴MC＝NC＝1.∴＝

.∴CE＝

.∴ME＝MC＋CE＝1＋

＝

.第5题图6.(2022沈阳18题8分·源自人教八下P67复习题18第5题改编)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；第6题图(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是______．4第6题图【解法提示】由(1)知四边形OCED是矩形，∴OD＝CE＝1，OC＝DE＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝

AC·BD＝

×4×2＝4.7.(2023沈阳18题8分·源自北师九上P9习题1.3第1题改编)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；第7题图证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE.第7题图辽宁其他地市真题8.(2021朝阳9题3分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则

的值为(

)A. B.

C.

D.

第8题图A9.(2020营口16题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为________．第10题图10.(2023丹东13题3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN，若MN＝1，BD＝2，则菱形的周长为________．第9题图48类型二菱形判定的证明与计算第11题图11.(2023沈阳14题3分·源自北师九上P9习题1.3第4题改编)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2，则四边形EGFH的周长是________．412.(2023抚顺20题12分)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.(1)求∠AOD的度数；(1)解：∵AE∥BF，∴∠BAE＋∠ABF＝180°，∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，∴∠BAO＝

∠BAE，∠ABO＝

∠ABF，∴∠AOD＝∠BAO＋∠ABO＝

∠BAE＋

∠ABF＝

×180°＝90°；第12题图(2)求证：四边形ABCD是菱形．第12题图(2)证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，同理可证：AB＝AD，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．13.(2022本溪21题12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；第13题图(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，第13题图又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．(2)解：∵在菱形ABCD中，DA＝AB＝BC＝CD＝5，∴∠DBC＝∠BDC，∵DE⊥BD，∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°，∴∠E＝∠CDE，∴CE＝CD＝5，∴BE＝10，第13题图第13题图又∵在Rt△BDE中，BD＝8，∴由勾股定理得DE＝＝＝6，∴四边形ABED的周长为AB＋AD＋DE＋BE＝5＋5＋6＋10＝26.判定面积性质边角对角线对称性菱形考点精讲【对接教材】北师：九上第一章P2～P10；

人教：八下第十八章P55～P58.性质1.边四条边相等对边平行2.角：对角相等3．对角线对角线互相__________每一条对角线平分一组对角(人教独有)4．对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有______条对称轴(不包括正方形)判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．四条边相等的四边形是菱形面积：S＝_______(m，n分别表示两条对角线的长)垂直平分2重难点分层练例1▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O.一题多设问(1)添加一个条件__________，可使平行四边形ABCD为菱形；【判定依据】_______________________________________________．AC⊥BD对角线互相垂直的平行四边形为菱形或AB＝BC或BC＝CD或CD＝AD或AD＝AB；【判定依据】一组邻边相等的平行四边形为菱形(2)若点E、F分别是OA、OC的中点，且AC⊥BD，则四边形BEDF是______形．【判定依据】_______________________________________________．菱对角线互相垂直平分的四边形是菱形例2菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.一题多设问(1)若∠ABC＝110°，则∠ACD＝________°；(2)若菱形ABCD的周长为4，∠BCD＝60°，那么菱形的对角线BD的长为________；(3)若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为_______________；(4)若AB＝3，BD＝2，则菱形ABCD的面积为_____________；(5)若

＝

，则sin∠DAB的值为________．351524提升关键能力例3在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°.一题多设问(1)如图①，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC线段上，EF与CD交于点P，则DP的长是________；例3题图①－1(2)如图②，点H为AD的中点，连接HC，将菱形ABCD翻折，使点A落在CH上点I处，折痕交AB于点L，线段IC的长为________；例3题图②－1(3)如图③，AC、BD交于点O，点N是对角线AC所在直线上一点，且AN＝AD，直线DN交直线BC于点P，求CP的长．例3题图③(3)解：如图③，当点N在线段AC上时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AB＝BC，∵∠DAB