2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 5.4 正方形 (课件)

第四节正方形

辽宁近年中考真题精选1

考点精讲2

重难点分层练3辽宁近年中考真题精选命题点与正方形有关的证明与计算1.(2023抚顺9题3分)如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是()第1题图A.AB＝CD，AB⊥CDB.AB＝CD，AD＝BCC.AB＝CD，AC⊥BDD.AB＝CD，AD∥BCA2.(2022沈阳16题3分)已知：如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在边DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________．第2题图3.(2021沈阳16题3分)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5.四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1.P是线段DE上一点，且PD

＝

DE.过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH

的长是________．第3题图或平行四边形,矩形,菱形,正方形之间的关系中点四边形定义常见结论正方形性质判定面积正方形与中点四边形考点精讲【对接教材】北师：九上第一章P20～P29；

人教：八下第十八章P58～P69.正方形性质1.边四条边相等,对边平行2.角：四个角都是直角3.对角线对角线相等且互相垂直平分,对角线平分一组对角4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有

条对称轴●满分技法正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形和矩形的一切性质4正方形判定1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义）2.有一组邻边相等的

是正方形（北师独有）3.对角线互相垂直的矩形是正方形（北师独有）4.有一个角是直角的

是正方形（北师独有）5.对角线相等的菱形是正方形（北师独有）6.对角线互相

的四边形是正方形面积：S＝a2（a表示正方形边长）＝

（m表示对角线的长）矩形菱形垂直平分且相等中点四边形1.定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2.常见结论：原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系：相等直角直角相等重难点分层练回顾必备知识例1四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.一题多设问(1)已知AB＝AD，请添加一个条件____________(写出一个即可)，使平行四边形ABCD为正方形；【判定依据】________________________________________________________________________________________________________．∠ABC＝90°有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形(2)请添加一个条件________________________________________(写出一个即可)，使矩形ABCD为正方形；【判定依据】______________________________________________．(3)请添加一个条件______________________________________________________(写出一个即可)，使菱形ABCD为正方形．【判定依据】______________________________________________．AB＝AD或AB＝BC或AD＝DC或BC＝CD有一组邻边相等的矩形是正方形AC⊥BD，【判定依据】对角线互相垂直的矩形是正方形．∠ABC＝90°或∠DAB＝90°或∠BCD＝90°或有一个角是直角的菱形是正方形AC＝BD，【判定依据】对角线相等的菱形是正方形∠ADC＝90°例2四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.一题多设问(1)∠AOD的度数为________；(2)若AB＝1，则AC的长为________；(3)若AC＝4，则正方形ABCD的面积为____，正方形的周长为____；(4)若∠DBC的平分线BE交AC与点F，AB＝3，则∠BFC＝________°，

＝________；(5)点G是AC上一点，延长BG交正方形ABCD的边于点H，若AB＝4，OG＝，则CH的长为________．90°1616112.5－1或例3已知在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．提升关键能力一题多设问(1)如图①，若∠EAF＝45°，猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；例3题图①解：(1)EF＝BE＋DF；证明：如解图，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM，M例3题图①M∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，在△ABM和△ADF中，

∴△ABM≌△ADF)，∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，例3题图①M∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠EAM＝∠BAM＋∠BAE＝45°，∴∠EAM＝∠EAF，在△EAM和△EAF中，∴△EAM≌△EAF，∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF；(2)如图②，以点A为中心，将△ADF按逆时针方向旋转得△ABG.连接AC，FG，交于点N，点M为GF的中点，连接MB.下列结论：例3题图②①△AGF为等腰直角三角形；②∠FAC＝∠FGB；③直线MB是AC的垂直平分线；④若CF＝2，则MB＝；⑤取正方形ABCD各边中点，顺次连接各中点得到的四边形为矩形．其中正确结论的有________；①②③④(3)在(2)的条件下，若AB与FG交于点P，

＝

，AB＝1，求sin∠FAC的值．(3)如解图，过点F作FK⊥CA于点K，设DF＝2x，则AP＝5x，由旋转性质得：BG＝DF＝2x，∠ABG＝∠D＝90°，KP例3题图②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，∠DCA＝45°，∴∠ABC＋∠ABG＝180°，∠ABC＝∠DCB，∴点C，B，G在同一条直线上，∵∠ABC＝∠DCB，∠PGB＝∠FGC，∴△GPB∽△GFC，∴

＝

，∴

＝

，解得：x1＝－1(舍去)，x2＝

，∴DF＝2×

＝

，∴FA＝