2023中考几何满分培优折叠相似

中考几何满分培优

一、折叠专题

1.如图，在平行四边形A3C。中，点M,N分别是4）、8C上的点，且

AM=2DM,BN=2CN,点。是CM,DN的交点,直线A4分别与CM,ON的延长线

交于点P，Q.若平行四边形A8CO的面积为144，则△POQ的面积为（）

A.72B.216C.268D.300

【详解】解：团四边形A3CD是平行四边形，

⑦CD=AB,CD//AB,

国一AMSDMC,

APAM

0-----=-------,

DCDM

^\AM=2DM

APAM

团——=——=2,

DCDM

团AP=2CD,

同理可证2CO=3Q,

©PA=2CD=BQ,

^PQ=PA+AB+BQ=2CD+CD+2CD=5CD.

设。到CD的距离为九，设。到PQ的距离为为，平行四边形ABC。的高为则有//=4+4,

团CD〃A3,

⑦一CODs.POQ,

九CD1

PI—==一.

h.PQ5

EBPOQ的高为二万，

回SABCD=CD-h=}44,

151s2525

EIS„„„=-P2-/?=-x5CD-/7=—C£>/?=—X144-300：

P0Q26261212

故选：D.

2.如图，矩形ABC。中，A8=4,A£)=6,点E为AO中点，点P为线段A8上一个动点，连

接EP,将EL4PE沿PE折叠得到回FPE,连接CE,DF,当线段。尸被CE垂直平分时，4尸贝I」

线的长为.

【详解】解：连接AF交尸E于。，连接CF,

回矩形ABCD,

SBC=AD=6,CD=AB=4,

13线段DF被CE垂直平分时，

®CF=CD=4,ED=EF,

团将EL4PE沿PE折叠得到ELFPE,

SPE是线段AF的垂直平分线，

^AE=EF,AF=2OA,

BAE=ED=EF,

SAD=AE+ED=6,

^AE=ED=EF=3,

设AP二x,贝1」尸产=4。=%，BP=4・x,PC=PF+FC=x+4,

222

^\PC=BP+BC^(X+4)2=(4-x)2+62

9

0x=—,

4

^-PE^AO=-PA.AE

22f

115s19c

n即n一x—AO=­x—x3,

2424

解得：A0=|9,

18

[?L4F=2AO=—.

5

故答案为1?Q.

3.如图，已知在矩形纸片ABC。中，AB=2,BC=2&，点E是A8的中点，点F是A£>

边上的一个动点，将△AEF沿E尸所在直线翻折,得到AA'E尸，连接A'C,A!D，则当△ADC

是以AT）为腰的等腰三角形时，■的长是

【详解】解：①当A'O=E>C时，连接EQ,如图,

回点E是AB的中点，AB=2,BC=2&四边形ABC。是矩形,

0A£=1,AD=BC=2&ZA=90°.

由勾股定理可得，DE=-JAE2+AD2=3>

回将沿EF所在直线翻折，得到△AEF，

EIA'E=AE=1,

&A'D=DC=AB=2,

^DE=3=A!E+A'D,

0E,A',。三点共线，

0ZA=9O°,

&ZFA!E=ZFA'D=90°,

设AE=x,则A'F=x,FD=2y[2-x,

在心△E4'。中，A'D2+A'F2=DF2^

022+X2=（272-X）2,

解得x=立，

2

EAF=—；

2

②当A7）=4C时，如图，

EIA'£>=A'C,

13点4在线段CO的垂直平分线上，

回点H在线段AB的垂直平分线上，

团点E是A8的中点，

回£4,是A8的垂直平分线，

EINAE4'=90°,

回将AAEF沿EF所在直线翻折，得到△AEF,

0ZA=ZE4T=9O°,AF=FA,

回四边形尸是正方形，

团AF=AE=—AB=1；

2

综上所述，4F的长为1或也.

2

故答案为：1或亚.

2

4.如图，如图，将矩形ABC。对折，折痕为PQ,然后将其展开，E为BC边上一点，再

CE

将团C沿。E折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则三=一

【详解】13如图，将矩形ABC。对折，折痕为PQ

OAP=BP=DQ=CQ,ZADC=90°

团点下是线段A。的中点

^DF=AF=QF

设AP=BP=DQ=CQ=m

团AB=CD=2m

团将团。沿DE折叠，使点。刚好落在线段AQ的中点厂处,

⑦DF=CD=2m,EF=CE

团DF=AF=QF=2m

设族=CE=〃，

如图，过点尸作AGL8,交C。于点G,过点尸作尸K_LAT»,交A。于点K,延长",

交BC于点，

13四边形FGCH、为矩形

SHF=CG,DK=FG=CH==BC

2

SAF=QF

⑦AK=DK

团DF=QF

IWG=QG=JDQ=£

®HF=CG=QG+CQ=£

在直角，/江)中，FGNDF—DG?=姮%

2

^CH=FG=—m

2

^HE=CH-CE=—m-n

2

在直角a"/。]】，EF2=HE1+FH-

团y[{5n=f)m

0=n=-6m==-2J-i5-m

岳5

2>{\5}n

CECECE5_2

^~BE~BC-CE-2CH-CE~―2屈m-3

VI5/n----------

5

故答案为：1.

5.如图，在A3C中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,E为边AB的中点，点。是8c边

上的动点，把，ACD沿AD翻折，点C落在C'处，若.AC'E是直角三角形，则CO的长为

【详解】解:如图1，

当NAC'E=90。时，作EM_L8c垂足为M,作于N.

ZC=Z£M5=90°,

:.EMi/AC,

AE=EB,

:.MB=MC=-BC=2,

2

:.EM=-AC=l,

2

NC=NCMN=AN=骄,

，四边形ACMV是矩形，

AC=CM=2,

四边形ACMN是正方形，

在RtABC中，.AC=2,BC=4,

AB=>JAC2+BC2=2^>AE=小，

在Rf-AC'E中，,AEf,AC'=AC=2,

:.C'E=>jAE2-AC,2=b

设C£>=C'O=x,在用EDM中,DE=l+x,EM=l,DM=2-x,

:.DE2=DM'+EM2

(1+x)2=(2-X)2+12,

2

如图2

当ZAC'E=90。时、ZAC'D=90。，

・•・。、E、O共线，

在心/。£中，,AE<,AC'=AC=2f

:,EC'=\IAE2-AC12=b

.AC'EC'\

^C~~AC~2J

zc=zc,

易证全等

・•.NCAE=ZB,

AE=EB,乙\EC=/BED,NCAE=NB,

:._ACE田ABDE,

NBDE=NC'=90°,

ZC=ZC'=ZCZ)C,=9()0,

••・四边形AC。。是矩形，

.・.AC=AC\

・•・四边形AC。。是正方形，

:.CD=AC=2f

故答案为：2或。2.

6.如图，长方形ABCD中，AO=3,A8=5,点E为射线CO上一动点（不与D重合），将VADE

沿AE折叠得到“ZZ4E,连接。右，若△W为直角三角形，则A£=

-------4-----------------------\C

1

--------------------生

【详解】解：根据题意，四边形A8CO为长方形，AD=3,AB=5,将VADE1沿AE折叠得

到.OZE,则/。=/EO'4=90。，AD=BC=Aiy=3,/[B=CD=5,

①如图1,当点E在线段C。上时，

----------------------

图1

0NEDA=ND=ZAI>B=90°,

田8,。',E三点共线,

0S.nAoKt.F=2-ABAD=-2BEAD',

0BE=AB=5,

^BD'=>JAB2-AD'2=J52-32=4，

6DE=D'E=BE-BD'=5-4=1；

13在AfAAPE中，AE=\lAD2+DE2=V32+12=VlO；

②如图2,当点E在射线CO上时，

D，图2

BZAE/B^ZBCE=90°,A£>=BC=AZ)'=3,AB=CD=5,

0BD'=y]AB2-AD'2=4，

设CE=x,则/yE=£)E=x+5,

SBE=IyE-BD'=x+1,

SCE2+BC2=BE2,B|Jx2+32=(x+l)2,

解得x=4,

^DE=CD+CE=5+4=9,

团在RfzMDE中，AE=yjALP+DE2=732+92=3710-

综上所述，AE的值为加或3国.

故答案为：Jib或3>/记.

7.如图，在口ABC。中，点E,尸分别在边43、ADiz,将"EF沿E/折叠，点A恰好落在

BC边上的点G处.若姐=45。，AB=6y/2,5BE=AE.则AF长度为.

【详解】解：如图，过点8作BMB4D于点M,过点F作/TTHBC于点H,过点E作EA0CB

延长线于点N,

得矩形BHFM,

EBWBC=90°,MB=FH,FM=BH,

ELAB=6及，5BE=AE,

EL4E=5及,BE=血,

由折叠的性质可知：GE=AE=5垃,GF^AF,

团四边形48CC是平行四边形，

EB48N=EL4=45°,

03BEN和国是等腰直角三角形，

0EN=BN=J^BE=LAM=BM=^AB=6,

22

0FH=BM=6,

在R/0GEN中，根据勾股定理，得

EN2+GN2=GE2，

Eir+GN?=(5忘)"

解得GN=±7(负值舍去)，

EIGN=7,

设AfF=8//=x,则GH=GN-BN-BH=7-l-x=6-x,GF=AF=AM+FM=6^x,

在R/0GF”中，根据勾股定理，得

GH2+FH-=GF2,

0(6-x)2+62=(6+x)2,

3

解得

315

EL4F=AM+FM=6+—=—.

22

财/长度为5.

故答案为：—.

二、相似专题

1.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。的

正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA、0B,此时各叶片影子在点M右侧成

线段CO.测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒石厂与影子尸G的比为2:3.则点

【详解】解：连接交AC于点H,过点C作CN1BO,

团”C〃EG,

0"CM=/EGF,

0ZHMC=ZEFG=90°，

团/\HMCS/\EFG,

HMEF2

回==一,

MCFG3

0A7C=8.5m,

HM2日

团=彳，解得:

o.5J

设所二2X，FG=3x，则£G=-2+年G?=屈大，

团4EGF=ZNDC,ZEFG=42ND,

⑦公CNDFEFG,

CNCDCN_13

0----=-----,即nn~-=i—~，

EFEG2xV13x

解得：CN=2Vi5,

^\ABVBN,ABVAC,CNVBD,

13四边形ABNC为矩形，

团48=。％=2后，

0OA=—AB=,

2

团ZAHB=NMHC/OAH=ZHMC,

团/\HAO^Z\HMC,

⑦AHMCsAFFG,

04HAO^dEFG,

向OAOH.713OH

0——=——,即01：=-j=h,

FGEG3xy/i3x

13

解得：0H=],

1317

团OM=OH+"M='+—=10,

33

故答案为：10.

2.解答题

⑴如图1,ABC和VA£>£都是等边三角形，连接30、CE,求证，BD=CE；

［类比探究］

(2)如图2,ABC和VA£>£都是等腰直角三角形，ZAfiC=ZADE=90°,连接3DCE,求

BDg用

在的值.

A

D

BC

图2

［拓展提升］

\rAp

(3)如图3,的和V侬都是直角三角形，ZABC=ZADE=^,-=-=2.连接

BD、CE,延长CE交3。于点凡连接AF.若N4FC恰好等于90。，请直接写出此时

BF,C尸之间的数量关系.

【详解】⑴解：回和VADE都是等边三角形，3AB=AC,AD=AE,

ZDAE=ZBAC=60°,

0ADAE-ABAE-ZBAC-ZBAE,即：ZDAB^ZEAC,

在484)和VC4E中,

AB=AC

/DAB=ZEAC,

AD=AE

回△BA。也△CAE(SAS),

团BD=CE.

（2）解：国和V4）E都是等腰直角三角形,

团NZME=N8AC=45。，ZADE=ZABC=90°,

0△ABC^Z\ADE,

ADAEADAB

团一=一，则一=一,

ABACAEAC

^ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

在」和VCAE中，

ZDAB=ZEAC,—=—,

AEAC

0BAD^CAE.

厂BDAB

团一=—,

CEAC

令=根据勾股定理可得：AC=®x，

过点B作垂足为点”，令AB和。尸相交于点0.

ACAP

团ZABC=ZADE=90°,—=—=2,

ABAD

0ZACB=ZAED=3O°,ZfiAC=ZZME=60°,

团AACBSAAEO,JJI|JZZME=ZBAC,

⑦NDAE—NBAE=NBAC-NBAE,即：ZDAB=ZEAC,

ACAE

团一=—=2,

ABAD

团BAD^,CAE,

田乙\CE=/ABD,

在A/您和A4OC中，

ZACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

0ZOFB=ZOAC=60°,

设FH=x,OH=yf则B/=2x,B”=后,

团8”_LC尸，OBJLBC,

懿OBHs/sBCH,

回丝=也，即哈=叵，CH=%,

BHCH币xCHy

SCF=CH+FH=x+—=3-r+A-V,

yy

^ZAFO=ZBHO=9Q°,ZAOF=ZBOH,

⑦AAOFSMOH,

回”="，即半=0,,二逗二所，

BHOHBeyy

0BF=2x,AF=~x2,CF=3r+VV,

yy

02BF=4x,&F=3二3把,

y

“3x2-3xy3x2+xy

[34x4--------=-----L=CF,

yy

0CF=2BF+73AF.

3.在0ABC中，CA=CB,ZACB=a,点尸在平面内不与点A,C重合，连接AP，将线段

"绕点尸逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,BD,CP.

C

上一

C

占

BABtB

图①图②备用图

BD„

⑴如图①，当a=60。,而■的值是，直线与直线CP相交所成的较小角的度数

是.

⑵如图②，当々=90。时，请写出笔的值及直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数,

并说明理由.

⑶当a=90。时，若点E,F分别是CACB中点，点P在直线EF上，请直接写出当C,P,

。在同一直线上时，求A器D的值.

【详解】（1）解：如图，延长CP交8。的延长线于点E,设A3交EC于点。

^CA=CB,AACB=a=60°f

团二ABC是等边三角形，

由题意可知ZAPD=ZCAB=a=60°,AP=DP,

0。是等边三角形，

^ZPAD=^CAB=60°,AP=DP=AD,

^ZCAP+ZPAB=ZBAD+ZPAB,即NC4P二/BAD,

在-CAP和..aw中，

CA=BA

<4cAp=/BAD,

AP=AD

团△CAP丝△840(SAS)

团尸C=BD.ZACP=ZABD

⑦ZAOC=NBOE

团在jAOC和△8OE中，有NB£0=NC4O=6O。

团指|=1,直线8。与直线CP相交所成较小角的度数是60°；

图①

（2）岑=应；直线8P与直线C尸相交所成较小角的度数为45。，理由如下:

0«=90°,

0ZACB=ZAPD=9O°,

又团AP=P£>,

0AAPD是等腰直角三角形，

0ZE4D=ZPm=45°,

AD=〃尸+Pf>2=五AP，

0ZACB=9O°,且C4=CB,

回ABC是等腰直角三角形，

0ZC4B=ZCBy4=45°,

0AB=>JAC2+BC2=41AC-

4RAnL

=ZCAB=ZPAD=45°

ACAP

0ZCAB+ZDAC=ZPAD-^-ZDAC,BPZDAB=ZPAC,

:./\DAB^APAC,

回生=空=四3A=/

CPACAP

设8。交C尸于点G,BD交CA于点H,

团在和△C〃G中，4BHA=4CHG,ZDBA=ZPCA,

^\ZCGH=ZBAH=45°；

（3）—值为2-&或2+m，理由如下：

当点。在线段PC匕延长AO交BC的延长线于点”,

团E,尸分别是CA,CB的中点,即E尸是晶ABC的中位线,

^EF//AB,

团NEFC=ZABC=45。,

回N%O=45。，

团NPAO=NEFC,

©NPOA=/FOH,

团N〃=NAPO,

^ZAPC=90°,EA=EC.

0PE=EA=EC,

国NEPA=NEAP=NBAH,

团NH=N84H,

OBH=BA,

t3NADP=N8PC=45。，

0ZADB=9O°,

^BDLAH,

又团3〃=B4,

0BD是ZABC的角平分线,

0ZDBA=NDBC=45°x—=22.5°,

2

^ZADB=ZAPC=90°,

0NDAB=180°-ZADB-/DBA=180°-90°-22.5°=67.5°,

团ZDAC=ZZMB-450=22.5°,

[?1APAC=ZPAD+ZDAC=45°+22.5°=67.5°,

0NPCA=180O-ZAPC-ZPAC=180°-90°-67.5°22.5°,

0ZZMC=ZPC4=22.5°,

团ZM=DC，

设A£)=a,贝lJCD=/W=a,PD=—a,

2

AD=2-&

0CP-J2

a+——a

2

H

当点P在线段8上时，同法可证：DA=DC,

设A£)=〃，则C£)=AZ>=a,PD=^-a

2

SPC=a-—a

2

AD=2+应

&CP~近

a----a

2

C

E

4.在AABC中，ZACB=90,BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.

图1图2

(1)如图1,点D在BC边上，CD:BD=1:2,AD与BE相交于点P,过点A作人尸BC,

AP

交BE的延长线于点F,易得器的值为；

(2)如图2,在AABC中，N4C8=90,点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE

AP

的延长线交于点P,DC:BC=1:2,求诟的值；

(3)在(2)的条件下，若CD=2,AC=6,则BP二.

【详解】ft?：(1)如图1中，

图1

0AF0BC,

瓯F二团EBC,

酿AEFR1BEC,AE=EC,

瓯AEFUECEB(AAS),

0AF=BC.

设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,

0AF0BC,

00APF013DPB,

PAAF3

团---=---=一，

PDBD2

3

故答案是：y:

(2)如图2,过点A作A甩DB,交BE的延长线于点F,

设DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.

既是AC中点，

0AE=CE.

0AF0DB,

幽F二团1.

在［2AE