方法04应用动量定理分析变质量问题的技巧

建模提能04应用动量定理分析变质量问题的技巧对“连续”质点系持续施加作用力时，质点系动量(或其他量)连续发生变化。这类问题的处理思路是：正确选取研究对象，即选取很短时间Δt内动量(或其他量)发生变化的那部分质点作为研究对象，建立如下的“柱状”模型：在时间Δt内所选取的研究对象分布在以S为截面积、长为vΔt的柱体内，这部分质点的质量为Δm＝ρSvΔt，以这部分质点为研究对象，研究它在Δt时间内动量(或其他量)的变化情况，再根据动量定理(或其他规律)求出有关的物理量。eq\a\vs4\al(1).流体类问题通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ。eq\a\vs4\al(2).微粒类问题通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n。二、高考真题例证【例证1】（2021·湖北·统考高考真题）抗日战争时期，我军缴获不少敌军武器武装自己，其中某轻机枪子弹弹头质量约8g，出膛速度大小约750m/s。某战士在使用该机枪连续射击1分钟的过程中，机枪所受子弹的平均反冲力大小约12N，则机枪在这1分钟内射出子弹的数量约为（）A．40 B．80 C．120 D．160【答案】C【详解】设1分钟内射出的子弹数量为n，则对这n颗子弹由动量定理得代入数据解得故选C。【例证2】（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（）A．氙离子的加速电压约为B．氙离子的加速电压约为C．氙离子向外喷射形成的电流约为D．每秒进入放电通道的氙气质量约为【答案】AD【详解】AB．氙离子经电场加速，根据动能定理有可得加速电压为故A正确，B错误；D．在时间内，有质量为的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理可得进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为，则有联立解得故D正确；C．在时间内，有电荷量为的氙离子喷射出，则有，联立解得故C错误。故选AD。【例证3】（2019·北京·高考真题）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W；(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数；a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；b.示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v—t图线，其中_____对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v—t图线。(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。【答案】(1)；(2)a.；b.①；；(3)见解析【分析】(1)对雨滴由动能定理解得：雨滴下落h的过程中克服阻做的功；(2)雨滴的加速度为0时速度最大；(3)由动量定理证明【详解】(1)对雨滴由动能定理得：解得：；(2)a。半径为r的雨滴体积为：，其质量为当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：其中联立以上各式解得：由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为的雨滴，不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如图：(3)设在极短时间内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为，在内，空气分子个数为：，其质量为设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：对圆盘上方空气分子由动量定理有：圆盘受到的空气阻力为：联立解得：。【注意】流体类问题分析步骤(1)建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S。(2)微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt。(3)建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体。三、强化训练过关一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）如图所示，位于长江中游鄂州段的观音阁距今已有六百多年的历史，屡经江水冲击而不倒。若观音阁的外围有一块平直的墙壁，墙壁受到江水冲击的面积为S，江水以恒定速度垂直撞击墙壁，之后沿墙壁两侧流走。已知江水密度为，则墙壁受到江水的冲击力为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】墙壁受到江水冲击的面积为S，则时间内流过的水的质量为以水流运动方向为正方向，水在与墙壁碰撞的过程中，根据动量定理可得解得负号表示水受到的作用力与水运动方向相反，则墙壁受到江水的冲击力大小为。故选B。2．（2023·浙江杭州·学军中学校考模拟预测）雨打芭蕉是中国古代文学中常见的抒情意象，为估算雨滴撞击芭蕉叶产生的平均压强p，小华同学将一圆柱形的量杯置于院中，测得一段时间t内杯中水面上升的高度为h，查询得知当时雨滴下落的速度为v。设雨滴竖直下落到水平的芭蕉叶上后以原来的速率竖直反弹。已知水的平均密度为ρ，不计雨滴重力。则p的大小为（）A． B． C． D．【答案】B 【详解】单位时间的降水量在芭蕉叶上取的面积上，时间内降落的雨水质量设雨水受到的撞击力为F，根据动量定理解得根据牛顿第三定律可知，芭蕉叶上的面积受到的撞击力的大小因此平均压强为故选B。3．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考模拟预测）如题图所示，水上飞行表演中，运动员操控喷射式悬浮飞行器将水带缓慢竖直送上来的水向下喷出，可以完成悬停、上升等各种动作。某次表演时运动员处于悬停状态，喷嘴竖直向下喷出水的速度为，若运动员操控装置，以竖直向上的加速度a开始运动瞬间，喷嘴竖直向下喷出水的速度为，重力加速度为g，下列关系式正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设水的密度为，喷嘴喷水出口横截面积为S，喷嘴竖直向下喷出水时，对水竖直向下的作用力大小为F，由动量定理得可得当运动员处于悬停状态时有当运动员操控装置以竖直向上的加速度a开始运动瞬间有联立解得故D正确，ABC错误。故选D。4．（2023·广东茂名·模拟预测）当使用高压水枪时，我们感受到比较强的反冲作用，如图，一水枪与软管相连，打开开关后，以30m/s的速度每秒喷出1kg的水，若水枪入口与出口的口径相同，则水对该水枪作用力的大小及方向是（

）A．30N，沿③的方向B．30N，沿②的方向C．60N，沿①的方向D．60N，沿②的方向【答案】B【详解】ABCD．以水为研究对象，运用动量定理得代入解得，水流受到的平均作用力为方向沿出口的方向和进水口的角平分线上，根据牛顿第三定律可知，水对该水枪作用力的大小是，方向是沿②的方向，B正确，ACD错误。故选B。5．（2022·福建泉州·福建省南安第一中学模拟预测）新型冠状病毒主要传播方式为飞沫传播，佩戴口罩可以有效预防新冠病毒的感染。小明某次打喷嚏时气流喷出的速度是50m/s，喷出6.0×10－5m3的空气，用时。已知空气的密度为3，则小明打这次喷嚏受到的平均反冲力为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】打一次喷嚏喷出的空气质量为设打一次喷嚏喷出的空气受到的作用力为F，令喷出的速度方向为正方向，根据动量定理得故选B。6．（2022·河北·模拟预测）最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1s时间内喷射的气体质量约为A．1.6×102kg B．1.6×103kg C．1.6×105kg D．1.6×106kg【答案】B【详解】设该发动机在s时间内，喷射出的气体质量为，根据动量定理，，可知，在1s内喷射出的气体质量，故本题选B．二、多选题7．（2022·山东·模拟预测）中华神盾防空火控系统会在目标来袭时射出大量子弹颗粒，在射出方向形成一个均匀分布、持续时间、横截面积为的圆柱形弹幕，每个子弹颗粒的平均质量为，每有一个子弹颗粒，所有子弹颗粒以射入目标，并射停目标，停在目标体内。下列说法正确的是（）A．所形成弹幕的总体积B．所形成弹幕的总质量C．弹幕对目标形成的冲量大小D．弹幕对目标形成的冲击力大小【答案】BC【详解】A．弹幕的总体积为A错误；B．又因为每有一个子弹颗粒，则子弹颗粒的总个数个个所形成弹幕的总质量B正确；C．由动量定理可知C正确；D．弹幕对目标形成的冲击力大小D错误。故选BC。8．（2022·重庆·模拟预测）1899年，苏联物理学家列别捷夫首先从实验上证实了“光射到物体表面上时会产生压力”。已知频率为的光子的动量为，式中h为普朗克常量，c为光速。光对物体单位面积的压力叫辐射压强或光压。某二氧化碳气体激光器发出的激光功率为，该光束垂直射到某平整元件上，其光束截面积为，该激光的波长为，光速，且，则（）A．该激光器单位时间内发出的光子数可表示为B．该激光器单位时间内发出的光子数可表示为C．该光束可能产生的最大光压约为D．该光束可能产生的最大光压约为【答案】AD【详解】AB．光子的能量为设单位时间内该激光器发出的光子数为N，有故A正确；B错误；CD．如果光束被完全反射，且反射光垂直于平面，则光子的动量改变量为最大，t时间内根据动量定理，有又该光束产生的最大光压为联立，可得故C错误；D正确。故选AD。9．（2022·福建福州·福建省福州第一中学模拟预测）1899年，苏联物理学家列别捷夫首先从实验上证实了“光射到物体表面上时会产生压力”，我们将光对物体单位面积的压力叫压强或光压。已知频率为的光子的动量为，式中h为普朗克常量（h=6.63×10-34J·s），c为光速（c=3×108m/s），某激光器发出的激光功率为P=1000W，该光束垂直射到某平整元件上，其光束截面积为S2，该激光的波长=500nm下列说法正确的有（）A．该激光器单位时间内发出的光子数可表示为B．该激光定能使金属钨（截止频率为1.095×1015Hz）发生光电效应C．该激光不能使处于第一激发态的氢原子（E2=-3.4eV=-5.44×10-19J）电离D．该光束可能产生的最大光压约为【答案】AC【详解】A．单位时间内射到平整元件上的光能为每个光子的能量为则该激光器单位时间内发出的光子数故A正确；B．入射光的频率为入射光的频率小于金属钨的截止频率，不能发生光电效应，故B错误；C．入射光子的能量光子能量小于处于第一激发态的氢原子的电离能，不能使其电离，故C正确；D．对单位时间内发出的光子，根据动量定理根据以上分析可知代入，可得故D错误。故选AC。10．（2022·海南海口·海口一中模拟预测）如图是淘宝中热卖的一款“磁铁沙漏”，与普通沙漏不同的是，它的底座中含有一块永久磁铁，“沙子”是由铁粉做成，“沙子”下落后在瓶底形成的形状像一朵美丽的花朵，图中的沙漏放在水平桌面上，铁粉正在下落（此时沙漏上下容器均有铁粉），不计空气阻力，那么在这时（）A．下落的铁粉正在做自由落体运动B．下落的铁粉正在做变加速直线运动C．桌面对沙漏的支持力与沙漏的总重力等大D．桌面对沙漏的支持力小于沙漏的总重力【答案】BD【详解】A．由于铁粉受到重力和底座中磁铁的吸引力，所以铁粉的运动不是自由落体运动，故A错误；B．由于铁粉下落过程中不断靠近磁铁，磁体的吸引力会不断变大，则加速度不断变化，所以铁粉做变加速直线运动，故B正确；CD．如果铁粉做自由落体运动，设沙漏的总质量为m，空中正在下落的铁粉质量为m1，设沙漏中部细孔到底部静止铁粉表面的高度为h，因细孔处速度很小，可视为零，故下落的铁粉冲击底部静止铁粉表面的速度为铁粉下落的时间为设下落的铁粉对底部静止铁粉的冲击力为F1，在极短时间内，撞击在底部静止铁粉表面的铁粉质量为，由动量定理得可得空中的铁粉质量则所以，对沙漏受力分析，可知桌面对沙漏的支持力为而实际中，铁粉做加速度增大的加速运动，到达底端速度大于，所以所以故C错误，D正确。故选BD。11．（2022·广东广州·华南师大附中模拟预测）北京时间2021年2月19日4时55分，美国“毅力号”火星车成功登陆火星。“空中起重机”和“毅力号”火星车组合体到达着陆点上空处后，“空中起重机”保持大小为的速度竖直下降，同时，在着陆点上空处时，以相对“空中起重机”大小也为的速度立即（时间很短，可忽略）竖直向下释放火星车；当全长为的吊索完全释放后，组合体又立即（时间很短，可忽略）共同以的速度下降，直到火星车着陆，然后断开吊索，“空中起重机”飘离。设火星质量是地球质量的p倍，火星半径是地球半径的q倍，地球表面重力加速度为g，引力常量为G。假设工作中组合体（含燃料）的总质量M保持不变，不考虑下降过程中重力的变化，工作时喷出的气体密度为，“空中起重机”共四台发动机，每台发动机喷口截面为S；下列说法正确的是（）A．火星表面的重力加速度大小为B．匀速竖直下降的过程中，发动机喷出气体相对火星表面的速度大小为C．从火星车刚被释放直到火星车着陆的整个过程中，空中起重机下降的时间约为D．从火星车刚被释放直到火星车着陆的整个过程中，吊索的拉力始终保持不变【答案】AC【详解】A．忽略星球自转，有联立得即故A正确；B．设在时间内发动机喷出气体体积为喷出气体质量为由动量定理得由于发动机匀速，则联立解得喷出气体相对于组合体的速度为故喷出气体相对于火星表面的速度大小为故B错误；C．空中起重机匀速运动，总位移为下降时间约为故C正确；D．刚被释放时相对空中起重机速度为0，而后以相对空中起重机的速度，之后再共速，故火星车先做加速运动，吊索的拉力逐渐增大至与重力相同，故D错误。三、解答题12．（2022·河北张家口·三模）娱乐风洞是一种空中悬浮装置，在一个特定的空间内人工制造和控制气流，游人只要穿上特制的可改变受风面积（游客在垂直风力方向的投影面积）的飞行服跳入飞行区，即可通过改变受风面积来实现向上、向下运动或悬浮。已知一游客质量为60kg，腹部向下时受风面积最大为，身体直立时受风面积最小为，气流密度为，气流速度为30m/s，重力加速度为，假设气流吹到人身体上后速度近似变为0。求：（1）若游客在风洞内悬浮，则受风面积应调整为多大；（2）若游客进入风洞先由最大受风面积运动1s后立即改为最小受风面积，求游客距出发点的最远距离为多少。（结果均保留2位有效数字）【答案】（1）；（2）【详解】（1）在时间内吹到人体的气体质量为①设人对气流的力的大小为F，则对此段气体由动量定理得②由牛顿第三定律，风给人的力大小③人受力平衡，所以④联立可得⑤（2）风速远大于人速，人在风洞内做匀变速直线运动，当时，由①②③可得人受风力⑥由牛顿第二定律得⑦经过时⑧⑨当受风面积为时加速度向下，由①②③可得⑩由牛顿第二定律得⑪得游客减速过程上升的距离⑫解得游客距离出发点的最远距离为⑬解得13．（2022·北京海淀·二模）很多宏观现象，其本质是由微观粒子的运动与相互作用所体现出的结果。（1）岩盐颗粒呈现立方体形状。图1为岩盐晶体的平面结构：空心原点为氯离子，所带电荷量为；实心原点为钠离子，所带电荷量为。在分界线和的左侧各取一个钠离子和，分别以、为圆心，作两个相同的扇形。已知任意两个距离最近的离子间作用力的大小均为。若离子之间的相互作用为库仑相互作用，不考虑扇形以外远处离子的作用。请分别计算出、两个钠离子受到图1所示平面分界线右侧的扇形区域内的离子作用力大小、，并判断岩盐晶体更容易沿分界线还是分界线断开。（2）在“天宫课堂”太空授课活动中，某同学向航天员提问：“空间站飞行时会不会受到阻力，是否达到所需的速率后，就可以不施加动力，而保持速率不变呢？”我国空间站的轨道距地面高度约，远在的卡门线（外太空与地球大气层的分界线）之上，但轨道处依然存在非常稀薄的大气。a.为简化问题，将空间站视为如图2所示的圆柱体，其在运行方向的横截面积为。假定：单位体积内与空间站前端横截面发生碰撞的空气分子个数为，且速度方向均与横截面垂直；以空间站为参考系，碰撞前后空气分子的平均速率分别为、。若每个空气分子的平均质量为，不考虑空气分子间的相互作用，求空间站前端受到空气作用力的大小。b.假如你是航天员，请从以下两个方面对该同学的问题作答。①维持空间站的运行是否需要施加动力；②若一直不施加动力，轨道高度将如何变化。【答案】（1），，岩盐晶体更容易沿分界线断开；（2）a.；b.①需要施加动力；②轨道高度会降低，空间站将无法正常运行。【详解】1）离子、的受力分析如下图设任意两个距离最近的两个离子间距为，根据库伦定律可得比较可得岩盐晶体更容易沿分界线断开；（2）a.设在时间内有质量为的空气分子与空间站前端碰撞，有以空气分子碰撞后运动方向为正方向，受力分析如下图根据动量定理有联立可得由牛顿第三定律得联立解得b.①需要施加动力；②轨道高度会降低，空间站降无法正常运行；14．（2022·北京朝阳·和平街第一中学模拟预测）中国“天宫”载人空间站在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，受气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，“天宫”安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设“天宫”正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，“天宫”质量为m，“天宫”垂直速度方向的有效横截面积为S。假设“天宫”附近空气分子是静止的，与“天宫”相遇后和“天宫”共速。若规定距地球无限远处为地球引力零势能点，则地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：（1）“天宫”正常在轨道上做圆周运动时的线速度大小v；（2）以无限远为零势能点，“天宫”正常在轨道上做圆周运动时的机械能E；（3）若“天宫”轨道高度下降时损失的机械能为，忽略下降过程中阻力大小变化，请估算“中国空间站”附近的空气密度。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）“天宫”正常在轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律有

①解得

②（2）“天宫”正常在轨道上做圆周运动时的动能为

③由题意可知，以无限远为零势能点，“天宫”正常在轨道上做圆周运动时的引力势能为

④所以“天宫”正常在轨道上做圆周运动时的机械能为

⑤（3）因为，所以“天宫”仍可认为是做圆周运动，在t时间内“天宫”运动的路程为

⑥设空气对“天宫”的作用力大小为f，根据功能关系有

⑦“天宫”与空气作用的时间内，根据动量定理有

⑧联立②⑥⑦⑧解得

⑨15．（2022·广东·模拟预测）“中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。假设中国空间站正常运行轨道高度为h，经过一段时间t，轨道高度下降了。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，空间站质量为m，空间站垂直速度方向的有效横截面积为S。认为空间站附近空气分子是静止的，与空间站相遇后和空间站共速。规定距地球无限远处为地球引力零势能点，地球附近物体的引力势能可表示为，其中M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心距离。求：（1）“中国空间站”正常在轨做圆周运动的周期和线速度；（2）以无限远为零势能点，“中国空间站”轨道高度下降时的机械能损失；（3）用表示（2）问结果，忽略下降过程中阻力大小变化，请估算“中国空间站”附近的空气密度。【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）空间站做圆周运动，万有引力提供向心力解得又解得（2）轨道高度为h时，空间站的动能原高度的机械能为同理下降高度后机械能机械能损失（3）设空间站附近空气密度为ρ，因为，因此可认为空间站轨迹近似为圆周，t时间内，空间站运动的路程设空气给空间站的作用力为f，根据功能关系空间站与空气分子作用时间，根据动量定理解得综上可得16．（2022·北京顺义·杨镇第一中学模拟预测）成语“水滴石穿”说明高处落下的水滴对物体具有冲击力，可以做功。已知水的密度ρ=1.0×103kg/m3，重力加速度g取10m/s2。（1）水滴从高h=5m的屋檐滴下，撞击水平地面的石板（不考虑水的反弹）。设水滴的质量m=3×10-5kg，撞击时间Δt=1×10-2s，若不计空气阻力，求水滴对石板的平均作用力大小。（2）若空气阻力与雨滴速度的平方成正比，结合实际观测资料，得到某一半径的雨滴下落的速度v与其下落距离y之间的关系如图所示，请分析水滴分别从高20m的楼檐与高2000m的云层底部由静止落下，对水平地面上石板的平均作用力是否有显著差异，并说明理由。（3）水刀是一种高压水射流切割技术，通过加高水压，再经过线度小于毫米的宝石喷嘴，形成可达1000m/s的超声速射流。水刀切割精度高，没有热损伤，不产生有害物质。医用水刀的“刀片”是高速流动的生理盐水，厚度仅1.3×10-6m。不考虑水流的反射，请估算水刀工作时单位面积上的作用力大小。【答案】（1）；（2）见解析；（3）1×109N【详解】（1）撞击前，水滴的速度为v，则解撞击过程，对水滴由动量定理解得根据牛顿第三定律，水滴对石板的作用力也为（2）考虑空气阻力时，由于空气阻力与雨滴速度的平方成正比，设雨滴半径为r，收尾速度为vm，则实际观察中发现雨滴半径r很小，收尾速度vm也不大，由图像可知，从高20m的楼檐与高2000m的云层底部由静止落下的水滴，末速度都约为12m/s，根据动量定理，水滴对石板的作用力大小没有明显差异（3）设水流的横截面积为S，单位面积上的力为，水的密度为ρ，，在时间Δt内，由动量定理解得代入数据得，单位面积上的作用力大小为1×109N17．（2022·四川宜宾·校考模拟预测）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度竖直向上喷出；玩具底部为平板面积略大于；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为，重力加速度大小为。求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。【答案】(1)；(2)【详解】(1)设时间内，从喷口喷出的水的体积为，质量为，则，则单位时间内从喷口喷出的水的质量为(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为。对于时