初中数学-17勾股定理教学设计

17.1勾股定理教学设计（第1课时）

1.创设情境复习引入

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运

会2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.右图就是大会会徽的图案.你见过这

个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？前面我们学

习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边.

问题1三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？

师生活动教师引导，学生回答。

【设计意图】回顾三角形的内角和是180。以及三角形任何两边的和大于第三边，由三

角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系.

我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的

性质.研究特例是数学研窕的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国

古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.

直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关

系呢？这就是我们要研究的问题.

2.观察思考，探究定理

问题2相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用病铺成的

地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A,B,C的面积有什么关系？

毕达哥拉斯（公元前572--前492年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。

追问由这三个正方形A,B,C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的

特殊关系？

师生活动教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角

三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，

对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化.

问题3在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A,B,C的

面积是否也有类似的关系？

师生活动学生动手计算，分别求出A,B,C的面积并寻求它们之间的关系.

追问正方形A,B,C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的

平方和等于斜边的平方.

【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面

积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.

问题4通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为b,斜边长

为c,那么a2+/=c2

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形

的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的.

问题5以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两

直角边分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗？

师生活动要求学生通过独立思考，用a,b表示c.如图，用“割”的方法可得

c2=—abx4+(1atC1=(b+a^--ab^A

2；用“补”的方法可得2.这两个式子经过

整理都可以得到/+*=1.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.中国人称它

为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.

【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论.

问题6历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾

股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理.

师生活动教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注

解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角

三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才

用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据

说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下.

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会，

发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想.通过对

赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自

豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心.

3,初步应用，巩固新知

1、一个直角三角形的两直角边长分别为30和40,下列说法正确的是()

(A)斜边长为250(B)三角形的周长为250(C)斜边长为50(D)三角形的面积

师生活动学生操作，教师个别指导.

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的

边长问题.通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性。

2.求图中直角三角形中未知的长度：6=

师生活动学生计算，教师检验.

【设计意图】勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的.所以勾股定理本

质上是反映面积关系的.如果直角三角形的两条直角边长分别为“，b,斜边长为c,那么

a2+b3=c2.通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c=；

b=^-a.a=.在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求

解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想.

师生活动学生观察、思考、计算，教师检验.

【设计意图】设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力.

4.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理总结的是什么数量关系？

（2）勾股定理有什么作用？

（3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法.了解中国人的伟大

和外国人的智慧.

【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国

数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信.

5.布置作业

（1）教科书第28页第1题；

（2）通过互联网收集定理的多种证法.自主探究定理的证明.

17.1勾股定理同步测试

1、如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前

有多高？

2.在RtZXABC,ZC=90°

⑴已知a=b=5,求Co

⑵已知a=l,c=2,求bo

⑶已知c=17,b=8,求a。

(4)已知a：b=l：2,c=5,求a。

⑸已知b=15,NA=30°，求a,c。

(6)已知NA=45°,a=3,则c=

17.1勾股定理学情分析

结合本班学生实际，学生已经学过一些基本平面几何知

识，也经历了利用平面图形的面积来探索数学公式的过程。

对于八年级学生来说学习习惯和动手能力较之前都有很大

程度上的增强，通过对学生学习状况的了解及对前面章节的

数学活动的讲解，并布置课前预备，分析当前学生的现状如

下：

1.学生认知基础：学生之前已接触了直角三角形，已

经知道了它的一些性质，并且在数学问题的解决上已初步形

成了一定的方法。

2.学生心理特点：八年级学生具有好强、好胜、思维

活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望，他们乐于探索及

表现自我。

3.学生能力分析：已初步具有对数学问题进行合理探

究的意识与能力。但在数学说理和一些重要数学思想方法上

尚不成熟。

17.1勾股定理效果分析

通过对本节课的学习，学生对几何面积与几何的拼接更加熟练。

学生积极思考、用于创新对勾股定理进行探究。让学生体验勾股定理

的探索及证明过程。学生观察课本中的图形，体现了从特殊到一般的

思考方法.学生在观察的基础上，在老师精心引导下通过探索发现并

证明定理.学生通过观察计算以一些直角三角形两直角边为边长的小

正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现勾股定理.

勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍了赵爽弦图，这是一种

面积证法.常见的是拼图的方法，学生可以掌握，另外鼓励学生用其

他方法继续证明勾股定理。

17.1勾股定理教学反思

《数学课程标准》明确指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖于模仿与记

忆，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流，以促进学生自

主、全面、可持续发展”.数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间

相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程.本节课

我结合勾股定理的历史和毕答哥拉斯的发现直角三角形的特性自然地引入了课

题，让学生亲身体验到数学知识来源于实践，从而激发学生的学习积极性.为学

生提供了大量的操作、思考和交流的学习机会，通过“观察”一一“操作”一一

“交流”发现勾股定理。层层深入,逐步体会数学知识的产生、形成、发展与应

用过程.通过引导学生在具体操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的见

解，学生自主地发现问题、探索问题、获得结论的学习方式，有利于学生在活动

中思考，在思考中活动.

17.1勾股定理教材分析（第1课时）

勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么

它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，己知任意两边

长，就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.勾股定理的探究是从

特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特

殊到一般的探探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长

的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并

获得定理的证明.我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一

个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的

贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信

心.

《勾股定理》课标分析

1.在研究三角形时，我们前面研究了三角形的角的关系（三