经济学D单调性与极值最值

y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)

用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法.

但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?可见函数的单调性与导数的符号有关.一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕例如1、定理1的结论对无穷区间也成立.说明：oxy2、如果函数的导数仅在个别点处（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）为0,而在其余的点处均满足定理1,则定理1仍成立。如：3、有些函数在它的定义区间上不是单调的。如：但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?oxy4、函数y=|x|,x=0为其连续不可导点。但它在部分区间上单调。那么，又怎么来求它的单调区间呢?oxyy=|x|的点(单调区间分界点)来划分函数的定义区间,就能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调区间及函数的单调性。结论:

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）外，导数都存在且连续,那么只要用方程：(1)确定函数定义域;(2)求出的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;(3)确定

在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性。一般步骤例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例2讨论函数的单调性。解定义域为列表讨论如下:的不可导点例3证明不等式

下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数。1.证明不等式:关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性。证明：二、简单应用（2）.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明例4证明方程有且仅有一个正根。证有且仅有一个正根。2.讨论方程根的问题由零值定理得：*证明令则从而即二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第四节函数的极值与最大值最小值

第三章定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.一、函数的极值及其求法问题:请指出右图中的极值及极值点。oxyy=ƒ(x)Mmab

（1）由极值定义知:极值是函数的局部性态。即只是函数在一个邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a,b)的内点处取得。

而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a,b]的整体性态,可在[a,b]的内点取得,也可在[a,b]的端点取得。

（2）一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定义区间内却最多只有一个最大最小值。（个数）（3）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最小值。（大小）注意:定理1(极值的必要条件)设函数

y=ƒ(x)

在点处可导。若为函数的极值点(即为极值)，则注意:为极大值点为极小值点不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.定理2

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,求极值的一般步骤为:(1)给出定义域;(3)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(4)求出极值点的函数值,即为极值。(2)并找出定义域内所有驻点及连续不可导点;例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2.求函数的极值.2)求导数3)求驻点令得驻点4)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.解：1）定义域为：二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.1.平均成本最小例4

某工厂生产产量为

x(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.三、函数最值在经济中的应用

使平均成本最低时的产量故此时，边际成本等于平均成本！即，平均成本达到最小的必要条件是：边际成本等于平均成本！一般地，2.最大利润

设总成本函数为C(x),

总收益函数为R(x),

其中x为产量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为

假设产量为时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满足:

可见,当产量水平使得边际收益等于边际成本时,可能获得最大利润.L(x)=R(x)–C(x)存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例5.

设某工厂生产某产品

x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值定理3最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性2.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A第五节曲线的凹凸性、拐点

第三章但从A到B的曲线是向下弯(或凸)的;从B到C的曲线是向上弯(或凹)的。显然,曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性态是十分重要的.这就是下面讨论的凹性与拐点.BA•C如图:曲线弧AB是单增的曲线.定义.

设函数在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.拐点定理1.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数注意：如果不存在的点不构成一个区间，在其余的点同号，也不影响曲线的凹凸性。例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸对应例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸内容小结曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上(有切线)的凹凸分界点思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加

,及B设在的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作f(x)的示意图