2022-2023学年福建省莆田市莆田某中学高三4月大联考数学试题理试题

2022-2023学年福建省莆田市莆田第八中学高三4月大联考数学试题理试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=(3T)(a+2i)(awR)为纯虚数，贝||z=()

16,20.

A.—lB.6iC.—ID.20

33

2.已知双曲线三-二=：Z>0),其右焦点厂的坐标为二：，点二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二为

坐标原点，满足-二I二=，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为()

U

A.y/1B.2C.¥D.；

J3

3.设等比数列｛q｝的前〃项和为S“，贝!+为<2。2”是一1<0”的()

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.已知函数/(x)=4sinx—Geosx的图像的一条对称轴为直线x=h，且/(5)•/(%)=T,则归+%|的最小值

6

为()

71万2万

A.-----B.0C.-D.—

333

5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并

创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”。如图是

利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的〃值为()(参考数据：

V3»1.732,sinl5°«0.2588,sin75°«0.9659)

A.48B.36C.24D.12

6.已知定义在[0,+8)上的函数f(x)满足/(x)=g/(x+2),且当xe[0,2)时，/(%)=一/+2乩设/(》)在

[2〃-2,2〃)上的最大值为。“(〃@”)，且数列｛%｝的前〃项的和为S”.若对于任意正整数〃不等式

MS,,+1)N2〃—9恒成立，则实数攵的取值范围为()

37

A.[0,+oo)C.--,+ooD.一,+oo

6464

7.已知在平面直角坐标系中，圆G：(x—m『+(y—加―6)2=2与圆。2：(x+lp+(y—=1交于A，8两

点，若|Q4|=|。四,则实数〃?的值为()

A.1B.2C.-1D.-2

8.已知a,b,C分别是A8C三个内角A,B,C的对边，acosC+GcsinA=b+c，则人=()

71G兀r冗C2万

A.-B.-C.—D.—

6433

TTjr

9.把函数y=sin(x+w)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移g个单位，那么所

63

得图象的一个对称中心为()

A.(-,0)B.(-,0)C.(―,0)D.(0,0)

3412

4z

10.已知复数2=——，则z对应的点在复平面内位于()

1+z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

11.已知函数函数满足/(4)=17,设/(/)=%,则“%=17”是“飞=4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和

奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个

人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）

1119

A.—B.-C.—D.—

1054040

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合A={加+1,（加一1）2,加一3m+3},若leA,则I//。：.

14.如图,在梯形ABC。中，AD//BC,AB=BC=2,AD=4,E,F分别是BC,CD的中点，若AE.£>E=T，则

AFCD的值为.

22

15.如图，已知圆内接四边形ABC。，其中A8=6,BC=3,C£>=4,4)=5,则---+-----=

sinAsinB

16.已知,则（x+y+1）〃展开式中的系数为_

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,ADA.AB,AB=BC=2AD=29四边形EDCF为矩形,

CF=6平面瓦）。尸，平面ABCD.

B

⑴求证：DF।平面ABE；

(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为无，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

18.(12分)己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a/,c.设变出+变巴色=曰匕_+4&

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若0sinB=3sinC，且之跋=2/，求。的值•

19.(12分)已知函数〃x)=/cos2x-sin2x,将/(x)的图象向左移a(a>0)个单位，得到函数y=g(x)的图

象.

rr

(1)若&="求y=g(x)的单调区间；

⑵若丁=8(力的一条对称轴是％=二，求y=g(x)在xe0,y的值域.

20.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程

［反

x=——t

2

在平面直角坐标系直打中，直线/的参数方程为乙「a为参数).以原点。为极点，了轴的正半轴为极轴建

,V2

V=1H-----1

V2

立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为夕=2血cos(e-

(1)写出直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线/上的定点P在曲线C外且其到。上的点的最短距离为万-0,试求点P的坐标.

21.(12分)已知抛物线G：/=2pX(〃>0)上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

ox

（1）求〃的值；

（2）设0（%,%）（0</<2）为抛物线G上的动点，过尸作圆（x+l）2+V=l的两条切线分别与y轴交于A、B

两点.求|AB|的取值范围.

22.（10分）已知椭圆+4=13>人>0）的左右焦点分别为耳，居，焦距为4,且椭圆过点（2q）,过点工且

ab~3

不平行于坐标轴的直线/交椭圆与p,Q两点，点。关于X轴的对称点为R,直线承交X轴于点

（1）求//Q的周长；

（2）求PF、M面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—

•••Z=(3—讥。+2。(463为纯虚数，

二3a+2=0且6—a。0

组2必好20.

得。=—，此时z=—I

33

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

2、C

【解析】

计算得到二，，一，代入双曲线化简得到答案.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为二=:二，二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二二|=日，

故二二,羊》二；二0),故二z.fe'j,代入双曲线化简得到：j|j=,故二=乎.

故选：二.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3、A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足q+%<2/，S2,i<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{4}为等比数列，

若％+的<2%成立，+

因为八2夕+120恒成立，

故可以推出4<0且

若S2,i<0成立，

当4=1时，有q<0,

2n{

—n~)1_〃2”-l

当qwl时，有「a_Z<0,因为二2一〉0恒成立，所以有4<0,

1—q1-q

故可以推出4<0,qeR,

所以“4+4<2%”是“S2„_,<0"的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

4、D

【解析】

运用辅助角公式，化简函数/(x)的解析式，由对称轴的方程，求得。的值，得出函数/(x)的解析式，集合正弦函数

的最值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(%)=45皿％-6以光》='^"^35111(%+。)(。为辅助角)，

石十十^5%_,/5万\a3

由于函数的对称轴的方程为x=二-,且/(-^)=7+7，

6622

a3/

即£+不=+3,解得”=1,所以/(x)=2sin(x—g),

223

又由/区))=-4，所以函数必须取得最大值和最小值,

5万7T

所以可设X=-----人GZ,x=2k2冗----,k2GZ,

626

2万

所以归

+JV2|=2k]7r+2k27i-\•--,k^Z,

当匕=e=o时，|玉+马|的最小值等，故选D.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函

数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

5、C

【解析】

由〃=6开始，按照框图，依次求出s,进行判断。

【详解】

"=6=s=,x6sin60°«2.598,n=12=>s=—xl2sin30°=3,

22

n=24ns=lx24sinl5°«3.1058,故选C.

2

【点睛】

框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。

6、C

【解析】

由已知先求出/(X)max=2"T,即4=2小，进一步可得S“=2"-1,再将所求问题转化为上2告?对于任意正整

数"恒成立，设g=2早，只需找到数列｛g｝的最大值即可.

【详解】

当2〃一2<%<2〃时，则0«x+2-2〃<2,f(x+2-2n)=-(x+2-2n)(x-In),

所以，/(x)=2"-'/[x-2(n-1)]=-2n-1(%+2-2/?)(%-In),显然当x=2〃一]时，

/(X)max=2"T,故里,=2'"',S„耳三0=2"-1,若对于任意正整数〃不等式

1—2

%(，+1)22〃一9恒成立，即攵2"22〃一9对于任意正整数〃恒成立，即攵之一C对于任

+十田皿,v2n—911—2〃A11-2n八311

意正整数〃怛成工，设&=下二，。,用一%=亍=，令7k>0,解得〃<,，

令掾F<°，解得〃>:，考虑到〃eN*,故有当〃K5时，｛%｝单调递增，

33

当时，有｛qj单调递减，故数列｛&｝的最大值为。6=2=大，

264

3

所以上之会.

64

故选：C.

【点睛】

本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前"项和、数列单调性的判断等知识，是一道较

为综合的数列题.

7、D

【解析】

由|。4|=|0同可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.

【详解】

因为|。4|=|0同，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，。(0,0),G(〃4〃Z+6),。2(-1,2)三点

共线，所以3g=-2,得加=-2,故选D.

m

【点睛】

本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.

8、C

【解析】

原式由正弦定理化简得6sinCsinA=cosAsinC+sinC,由于sinCKO,0cA<乃可求A的值.

【详解】

解：由4cosc+J^csinA=b+c及正弦定理得sinAcosC+GsinCsinA=sinB+sinC-

因为B=乃一A-C,所以sin3=sinAcosC+cosAsinC代入上式化简得^3sinCsinA=cosAsinC+sinC-

由于sinCxO,所以sin(A-*)=；.

7t

又0<A<»,故4=—.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.

9,D

【解析】

试题分析：把函数y=sin(x+?)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得多皿夫+看)的图象;

再将图象向右平移g个单位，可得y=sin[：(x—f)+£]=sin!x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0),

32362

故选D.

考点：三角函数的图象与性质.

10、A

【解析】

利用复数除法运算化简z,由此求得z对应点所在象限.

【详解】

依题意z=7；〉k'.\=2i(l_i)=2+2i,对应点为(2,2),在第一象限.

0+00-0

故选A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.

11、B

【解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：若x0=4,贝!="4）=17,即％=17成立，

若/'（幻=12+1,则由/（々）=%=17,得升）=±4,

则“九=17”是“%=4”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题.

12、A

【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

【详解】

五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有=10种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，

故甲和乙恰好在同一组的概率是专.

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

A分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.

【详解】

依题意，分别令机+1=1,(m-1)--1,苏-36+3=1，

由集合的互异性，解得加=1,则机2。2。=i.

故答案为：1

【点睛】

本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

14、2

【解析】

7T

建系，设设NA=〃，由=可得。=§，进一步得到C、E的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】

以A为坐标原点，4。为x轴建立如图所示的直角坐标系，设44=8,则

D(4,0),B(2cos0,2sin0),E(\+2cos0,2sin6),C(2+2cos^,2sin0),

所以AE=(l+2cos(9,2sin(9),送=(2cos(9-3,2sin(9),由=—1，

^(l+2cos0(2cos6>-3)+4sin26>=-l,即cos，=1，又所以

2

6=0,故C(3,5,F%*),CD=(l,—5,AF=g4),

所以AF-CD=L—6又也=2・

22

故答案为：2

【点睛】

本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

［口4710

10>-------

3

【解析】

由题意可知A+C=TT,B+D=7T,在小钻。和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinAsin3,代入求值.

【详解】

由圆内接四边形的性质可得NC=180。—NA,ND=18()o—ZB.连接8。，在中，

有3。2=4宫+仞2—2A5SDCOSA.在MC£>中，BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosC.

所以AB?+A。？—2AB•ADcosA=BC2+CD2+2BCCDcosA,

"Z.AFt1~,32V10

则c°sA=Qmm*9所以sinA=-cos-A=Jl2=~~•

2{AB-AD+BCCD)2(6x5+3x4)7

AB-+BC2-AD2-CD262+32-52-421

连接AC,同理可得cos8=

2(ABBC+AD-CD)2(6x3+5x4)-19

22142x194师

所以sin8=Jl-cos'B.所以___________,,-

MF噜sinAsinB2V106V10------3

故答案沏平

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是

熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.

16、1.

【解析】

由题意求定积分得到〃的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中-y的系数.

【详解】

042

,已知晨3公=一=4=〃，贝!|(x+y+1)”=(x+y+l)。

240

它表示4个因式U+J+1)的乘积.

故其中有2个因式取X,一个因式取》，剩下的一个因式取1,可得一),的项.

故展开式中x2y的系数C：C；.C：=12.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析(II)孑叵(III)\BF\=2

3111

【解析】

试题分析:

(I)取。为原点，DA所在直线为％轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE的法向量

H=(V3,O,1),且。尸=(一1,2,6),据此有则叱〃平面ABE.

(II)由题意可得平面成尸的法向量机=仅664),结合(I)的结论可得|cose|=g工=3P，即平面4组

\7叫|川31

与平面EEB所成锐二面角的余弦值为豆史.

31

(HI)设力尸=4。/=卜/1,2/1,后)，2G[0,1],则BP=卜2-1,24—2,6/1),而平面的法向量

〃据此可得〃|=¥，解方程有％=或据此计算可得

=(6,0,1),sine=gs8P,g2=(.|SP|=2.

试题解析:

(I)取。为原点，D4所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(l,0,0),5(1,2,0),

F(0,0,V3),F(-1,2,V3),ABE=(-1,-2,73),AB=(0,2,0),

A<*2；、z=0,不妨设〃=体,0,1),又丽=卜1,2,⑹,

设平面ABE的法向量〃=(x,y,z),

:•DF.n=—6+拒=。，：•DFIn，又：平面ABE,，OF//平面ABE.

(D)VB£=(-1,-2,V3),BE=(—2,0,百)，设平面BEE的法向量加=(x,y,z),

-x-2y+y/3z=0,/„/-rz.\।„im-n105-s/sT

\「不妨设?〃=(2j3,J3,4),/.cos(9=,~~=-----=^——,

-2x+V3z=0,'7|^|-|«|2.同31

平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值为三叵.

31

(IH)设OP=4OE=4(—1,2,6)=(-2,22,732),2G[0,1],AP(-2,22,732),

/.BP=(-2-1,22-2,^),又•.•平面ABE的法向量〃=(g,0』)，

।,।卜6%-6+V3A|石j]

sin6=cosBP,〃J=丁,A8A2-6A+1=0,，或％：

12h+1『+(24-2)2+3储424

当力」时，=：.\BP\^2；当4」时，8P=|—1,—?,孚，.•.闭=2.

2122J4\424J

综上，|BP|=2.

万

18、(1)—(2)2G

4

【解析】

上十力』Ew3sinB3sinC3sin2A_rr3b3c3a2,/-

(1)由正弦定理将------+-------=----------+4j2,转化一+—=——+4。2,

sinCsinBsinSsinCcbbe

即%2+3/=3/+4"/，由余弦定理求得cosA,再由平方关系得sinA再求解.

(2)由后sinB=3sinC，得b=/，结合50吹=3机＞4114=2逐再求解.

【详解】

(1)由正弦定理，得州+主=生+4&,

cbbe

即342+3。2=3/+4&C，则1+厂-。2=逑=cosA，

2bc3

而sir?A+cos2A=1,又Aw(0,;r),解得sinA=g,

,r,sinAy/2

故tanA=------=——・

cosA4

厂一3c

⑵因为r夜sinB=3sinC，贝^"二面，

因为%8c=20，故;。csinA=2j5,

13c21/—

故一x——=2J2,

2V23

解得c=28，

故b=6,

则以=yjb2+c2-2hccosA=J36+8—2x6x2夜c半=2G-

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.

19、(1)增区间为(版■一系做,减区间为(人万一(,左乃+高(女62)；(2)[一2,百].

【解析】

(1)由题意利用三角函数图象变换规律求得y=g(x)的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论;

(2)由题意利用余弦函数的图象的对称性求得夕，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论.

【详解】

由题意得/(x)=2cos，2x+—J

1%、7T~\仁(八2万、

(1)y=/(x)向左平移:个单位得到g(x)=2cos2JXH—H——2cos2xd---,

I4)6」13)

27r57r7E

增区间：解不等式一7+2k»42x+-42br(kwZ)解得人"----<x<k7l---(Z：GZ),

63

24JTjr

减区间：解不等式2A2x4—二＜2左乃+乃(％£Z),解得k7T-—<x<--\-k7i^k^Z^.

综上可得，y=g(x)的单调增区间为什"--《,k兀--

减区间为(版乃+[■](keZ)；

(2)由题易知，g(x)=2cos2x+/+2a],

1。J

因为y=g(x)的一条对称轴是x=3,

r•r-■冗冗-tkjLTC

所以—।---卜2a=kji,keZ,解得a=------,keZ.

6626

f.5%

又因为所以二即g(x)=2cos2xH---

I6

b-c5〃5〃IEnlf16

因为0,—所以2工+丁£，贝11cos2x+?G-1,--

6L66JI6)2

所以y=g(x)在XG0,1的值域是[-2,6].

【点睛】

本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题.

20、(1)/的普通方程为x-y+l=o.C的直角坐标方程为(x—1)2+(y—1)2=2(2)(-1,0)或(2,3)

【解析】

X-乌

2消参数/即可求得直线/的普通方程，对0=2&cos8-7整理并两边乘以

(1)对直线/的参数方程-

,V2

y=1+——t

2

P,结合X=QCOS。，y=psin<9即可求得曲线。的直角坐标方程。

(2)由(1)得：曲线C是以Q(1,1)为圆心，及为半径的圆，设点P的坐标为(x,x+l),由题可得：|PQ|=6,

利用两点距离公式列方程即可求解。

【详解】

得y=x+l.

即直线/的普通方程为x-y+1=().

因为p=2A/2cos(^-—),/.p1=2\/2p(cos+sin^)•——=2p(cos^+sin0)

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又x=0cos。，y=0sin。

曲线C的直角坐标方程为(X—+(y-1y=2

(2)由(%-1)2+(>；-1)2=2知，曲线C是以Q(1,1)为圆心，0为半径的圆

设点P的坐标为（x,x+l）,则点P到C上的点的最短距离为IPQI-夜

即囱=技...加—疔+产=也,整理得/一工一2=。，解得西=-1,/=2

所以点P的坐标为（-1,0）或（2,3）

【点睛】

本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了

方程思想及计算能力，属于中档题。

21、(1)p=2；(2)0<|AB|<2

【解析】

（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+'=4求解.

2

।如加1ml后仅。—依%+以1

（2）设过点。（天,%）的直线方程为了一%=左（彳一/），根据直线与圆（%+1）2+：/I相切，则有J---r———―,

整理得：（/2+2%）公_2%（%+1）%+（为2_］）=0,根据题意A（O,yo_Kxo）,B（O,yo_&Xo）,建立

恒身=区—右氏=%/（占+%2）2-4桃2，将韦达定理代入求解.

【详解】

（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+2=4,

2

解得:P=2.

（2）设过点。（玉）,%）的直线方程为y-%=A（x—x。）,

因为直线与圆（x+1）?+/=1相切,

所以安詈%

整理得：(x()2+2%0快2_2%(