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正比例函数编辑词条编辑摘要

摘要..…目录

1概念

2性质

3解析式的求法

4图像

5图像的作法

6应用目录

1概念

2性质

3解析式的求法

4图像

5图像的作法

6应用

收起编辑本段概念

一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如丫=直（k为常数，且k20）的函

数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0,

即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k代

表斜率）

定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且WO）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数.

讲解：

1.函数是正比例函数其关系式可表示为ykx（k为常数，且W0）的形式.

2.正比例函数关系式的结构特征：

①kWO；②x的次数为1；

3.若，贝IJ,这样的函数是常函数，它不是正比例函数；

4.自变量的取值范围：一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数.

编辑本段性质

1.定义域：实数集R。

2.值域：实数集R。

3.奇偶性：奇函数

4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当

k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

5.周期性：不是周期函数。

6.对称轴：直线，无对称轴。

性质：当看k>0时，直线经过第一、三象限，从左到右上升，y即随x的增大而增大；

当k<0时，直线经过第二、四象限，从左到右下降，

y即随x的增大而减小.

讲解:

1.根据正比例函数的性质，只要知道比例系数的符号是正（或是负），不用画出图象就能

判断图象的位置，以及随的增大而增大（或减小）等情况；反之，如果知道正比例函数随着的

增大而增大（或减小），就能推出比例系数的符号.

2.正比例函数中，k越大，直线越靠近y轴，即直线与x轴的正半轴的夹角越大；k越

小，直线越靠近x轴，即直线与x轴的正半轴的夹角越小.

编辑本段解析式的求法

设该正比例函数的解析式为y=kx（kWO）,将已知点的坐标带入上式得到k,即可求出

正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程

组，求出其x,y值即可。编辑本段图像

正比例函数的图像是经过坐标原点（0,0）和定点（x,kx）两点的一条直线，它的斜

率是k,横、纵截距都为0。

图象：

一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且W0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它

为直线.

讲解：

正比例函数的图象是过（O,0）和（1,）的一条直线.因此，在画正比例函数的图象时，

只要确定一个点（除原点）即可，通常确定（1，）点.

编辑本段图像的作法

1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值

2.根据第一步求的x、y的值描出点

3.做过第二步描出的点和原点的直线编辑本段应用

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然

还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应

的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比

例关系.①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值,

（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的，即y=kx（k>0）,此时的y

与x,同时扩大，同时缩小，比值不变.例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所

用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数.所表示的两种相关联的量，成正比例关

系.注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一

种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比

例.例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也

不成正比例关系

一次函数

求助编辑百科名片

一次函数的实例一次函数（linearfunction）,也作线性函数，在x,y坐标轴中可以

用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变

量的值。

目录

相关性质图像性质

解析式表达局限性

倾斜角的概念

与二元一次方程的关系一、区别和联系

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

三、方程组无解时相应函数图象的关系

四、用作图的方法解二元一次方程组

五、用二元一次方程组确定本函数解析式

常用公式生活中的应用

数学问题

典型例题

综合测试

常见题型

相关性质图像性质

解析式表达局限性

倾斜角的概念

与二元一次方程的关系一、区别和联系

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

三、方程组无解时相应函数图象的关系

四、用作图的方法解二元一次方程组

五、用二元一次方程组确定本函数解析式

常用公式生活中的应用

数学问题

典型例题

综合测试

常见题型

展开简介【读音】yicihdnsh。【解释】函数的基本概念：在某一个

变化过程中，设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的

值与其对应,那么我们就说y是x的函数，也就是说x是自变量,y是因变量。表示为y=kx+b

（kNO,k、b均为常数），当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特

殊情况。是当常数项为零时候的一次函数，可表示为y=kx（kWO）,常数k叫做比例系数或

斜率，b叫做纵截距。一次函数现在是初二教学本里非常难的一章，应用最广泛，知

识最丰富的数学课题基本定义y关于自变量x的一次函数有如下关系：

l.y=kx+b（k为任意不为0的常数，b为任意实数）当x取一个值时，y有且只有一

个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。x为自变量，y

为函数值，k为常数，y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx（k为常量，但KW0）正比例函数图像经过原点。定义域（函数值）：自变

量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。常用的表示方法：

解析法、图像法、列表法。

编辑本段相关性质

函数性质：l.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.K为常数.

即：y=kx+b（k,b为常数，kWO）,,当x增力口m,k（x+m）+b=y+km,km/m=ko2.

当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为（0,b）o3.当b=0时（即y=kx）,一次函数图

像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两个一次函数图像重合；当两一次函

数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k

不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b

相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0,b）o若两个变量x,y间的关系式可

以表示成y=kx+b（k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数

图像性质

1.作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；［一般取

两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b（kWO）

的图象过（0,b）和（-b/k,0）两点画直线即可。正比例函数y=kx（k2O）的图象是

过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1,k）两点。（3）连线，可以作出一次

函数的图象'—-条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通

常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b）.2.性质：（1）在一

次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b（kWO）。（2）一次函数与y轴交点的

坐标总是（0,b）,与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点。3.函

数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4.k,b与函数图像所在象

限：y=kx时（即b等于0,y与x成正比例）：当k>0时，直线必通过第一、三

象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而

减小。y=kx+b时：当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当

k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当k<0,b>0,这时此函数的图象

经过第一、二、四象限；当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；当

b>。时，直线必通过第一、二象限；当b<0时，直线必通过第三、四象限。特别

地，当b=0时，直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0

时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四

象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线

平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平面直角坐标系中两直线垂直

时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1））③点斜式

y-yl=k（x-xl）（k为直线斜率,（xl,yl）为该直线所过的一个点）④两点式（y-yl）/

（y2-yl）=（x-xl）/（x2-xl）（已知直线上（xl,yl）与（x2,y3）两点）⑤截距式（a、b分别为

直线在x、y轴上的截距）⑥实用型（由实际问题来做）

解析式表达局限性

①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）

②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y

轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表

达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

倾斜角的概念

x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾

斜角为则该直线的斜率］<?211€1。倾斜角的范围为。口）。

编辑本段与二元一次方程的关系

1.（1）以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数

y=-a/bx+c/b的图像相同.⑵二元一次方程组｛alx+bly=cl,a2x+b2y=c2的解可以看

作是两个一次函数y=-al/blx+cl/dl和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点.方法小结:

把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像，找出两图像的

交点,即可知方程组的解.

一、区别和联系

区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未

限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。联系：（1）在平面直角坐

标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。

如方程2x+y=5有无数组解，像x=l,y=3；x=2,y=l；…以这些解为坐标的点（1,3）（2,1）…

都在一次函数y=-2x+5的图象上.（2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应

的二元一次方程.如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点（一3,3）,则x=-3,y=3一定是

二元一次方程x+y=2的一组解.所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象

与相应的一次函数的图象是相同的。

二、两个本函数图象交点与方程组解的联系

在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程

组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的

交点。

三、方程组无解时相应函数图象的关系

当二元一次方程组无解时,相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有

交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方

程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5,3x-y=-l无解，则一次函数y=3x—5与y=3x+l的

图象平行，反之也成立。

四、用作图的方法解二元一次方程组

用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方

程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）

找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。

五、用二元一次方程组确定本函数解析式

在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解

析式。例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需

购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30kg的行

李，买了50元行李票。李刚带了40kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免

费携带多少千克的行李？解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+bo则可得二

元一次方程组50=30k+b,100=40k+bo解得k=5,b=-100,即一次函数的解析式是y=5x-100o

当x=20时，y=0o所以乘客最多可免费携带20kg的行李。

编辑本段常用公式

1.求函数图像的k值：（yl-y2）/（xl-x2）2.求与x轴平行线段的中点：|xl-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|yl-y2|/24.求任意线段的长：J（xl-x2）人2+（yl-y2）八2（注:

根号下（xl-x2）与（yl-y2）的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数yl=klx+bly2=k2x+b2令yl=y2得klx+bl=k2x+b2将解得的x=x0值代回

yl=klx+bly2=k2x+b2两式任一'式得到y=y0贝iJ（x0,y0）即为yl=klx+bl与y2=k2x+b2交

点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：［（xl+x2）/2,（yl+y2）⑵7.求任意

2点的连线的一次函数解析式：（X-xl）/（xl-x2）=（Y-yl）/（yl-y2）（其中分母为0,则分子为0）

xy+,+（正，正）在第一象限-,+（负，正）在第二象限-,-（负，

负）在第三象限+，-（正，负）在第四象限8.若两条直线yl=klx+bl〃y2=k2x+b2,

那么kl=k2,blWb29.如两条直线yl=klx+bl_Ly2=k2x+b2,那么klXk2=-110.

y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位一次函

数的平移

口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b）y=kx+b+n就是向上平移n个单

位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变

b）相关应用11.直线y=kx+b与x轴的交点：（-b/k,0）与y轴的交点：（0,b）

生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vto2.当水池抽水速度f—

定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-fto3.当弹簧

原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，

即y=kx+b（k为任意正数）

数学问题

一、确定字母系数的取值范围例1已知正比例函数，则当k<0时，y随x

的增大而减小。解:根据正比例函数的定义和性质，得且m<0,即且，所以。二、

比较x值或y值的大小例2.已知点Pl（xl,yl）、P2（x2,y2）是一次函数y=3x+4

的图象上的两个点，且yl>y2,则xl与x2的大小关系是（）A.xl>x2B.xl<x2C.xl=x2

D.无法确定解：根据题意，知k=3>0,且yl>y2。根据一次函数的性质”当k>0时，y

随x的增大而增大"，得xl>x2。故选A。三、判断函数图象的位置例3.一次函

数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一

象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：由kb>0,知k、b同号。因为y

随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象

限，不经过第一象限。故选A.

典型例题

例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体

的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm,求弹簧总长是y（cm）与所挂物

体质量x（kg）之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求自变量x的取值范围.分

析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总

长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长一最大伸长一

最大质量及实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12贝打3.5=3k+12,

得k=0.5所求函数解析式为y=0.5x+12由23=0.5x+12得：x=2.2,自变量

x的取值范围是0WxW2.2例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张

需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公

司刻录，还是学校自己刻费用较省？此题要考虑X的范围解:设总费用为Y元，

刻录X张电脑公司：Y1=8X学校：Y2=4X+120当X=30时，Y1=Y2当

X>30时，Y1>Y2当X<30时，Y1<Y2例3.（1）y与x成正比例函数，当时，

y=5.求这个正比例函数的解析式.（2）已知一次函数的图象经过A（-1,2）和B（3,

-5）两点，求此一次函数的解析式.解：（1）设所求正比例函数的解析式为把，

y=5代入上式得，解之，得二所求正比例函数的解析式为（2）设所求一

次函数的解析式为••,此图象经过A（-1,2）、B（3,-5）两点，此两点的坐标必满

足，将、y=2和x=3、分别代入上式，得解得.•.此一次函数的解析式为点

评：（1）不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列

几个方程.例2.拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱

中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，

并且画出图象.分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就

是余下的油量.解：图象如下图所示点评：注意函数自变量的取值范围.该图

象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.例3.已知一次函

数的图象经过点P（-2,0）,且与两坐标轴截得的三角形面积为3,求此一次函数的解析

式.分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半

轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方

法.解：设所求一次函数解析式为•••点P的坐标为（-2,0）.,.|OP|=2设

函数图象与y轴交于点B（0,m）根据题意，SAPOB=3；.|m|=3一次函

数的图象与y轴交于Bl（0,3）或B2（0,—3）将P（—2,0）及B1（0,3）或P

（一2,0）及B2（0,-3）的坐标代入y=kx+b中，得解得所求一次函数的解

析式为点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴

相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉

一条直线.（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.

【考点指要】一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根

据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它

常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答

题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、

方程和转化等数学思想方法.例3如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2<x<6,

相应的函数值的范围是-UWyW9.求此函数的的解析式。解：（1）若k>0,则可

以列方程组-2k+b=-ll6k+b=9解得k=2.5b=-6,则此时的函数关系式为y=2.5x

—6（2）若k<0,则可以列方程组-2k+b=96k+b=-ll解得k=-2.5b=4,则此

时的函数解析式为y=-2.5x+4【考点指要】此题主要考察了学生对函数性质的

理解，若k>0,则y随x的增大而增大；若k<0,则y随x的增大而减小。

综合测试

一、选择题：1.若正比例函数丫=1«的图象经过一、三象限，则k的取值

范围是（）A.kW0B.k<0C.k>0D.k为任意值2.一根蜡烛长20cm,点燃后每

小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为

（）3.（北京市）一次函数的图象不经过的象限是（）A.第一象限B.第

二象限C.第三象限D.第四象限4.（陕西省课改实验区）直线与x轴、y轴所围成

的三角形的面积为（）A.3B.6C.D.5.（海南省）一次函数的大致图象是（）

二、填空题：1.若一次函数尸kx+b的图象经过（0,1）和（一1,3）两点，则此

函数的解析式为.2.（2006年北京市中考题）若正比例函数尸kx的图

象经过点（1,2）,则此函数的解析式为.三、一次函数的图象与y

轴的交点为（0,-3）,且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求这个一次函数的解析式.

四、（芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机

械效率n和海拔高度h（,单位km）的函数关系式如图所示.（1）请你根据图象写出

机车的机械效率n和海拔高度h（km）的函数关系；（2）求在海拔3km的高度运行

时，该机车的机械效率为多少？五、（浙江省丽水市）如图建立羽毛球比赛场景

的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运

动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05

米，刚好落在对方场地点B处.（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；（2）

在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到01米）

【综合测试答案】一、选择题：1.C2.B3.D4.A5.B二、填空题：

l.y=-2x+l2.y=2x=、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两

个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是一3,另一

个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.解：设一次函数的解析式为

y=kx+b,•.•函数图象和y轴的交点的纵坐标是-3,...函数的解析式为.

求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组：得即交点坐标为（，0）由

于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6,由三角形面积公式，得

•••这个一次函数的解析式为四、解：（1）由图象可知，与h的函数关系为一

次函数设：此函数图象经过（0,40%）,（5,20%）两点解得

（2）当h=3km时，当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28%

五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+bVOD=1.55,DE=0.05,即点E

的坐标为（0,1.6）又：OA=OB=6.7.•.点B的坐标为（一6.7,0）由于直

线经过点E（0,1.6）和点B（-6.7,0）,得解得,即：⑵设点F的坐标

为（5,）,则当x=5时，则FC=2.8.••在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面

的高度是2.8米

常见题型

常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更

是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介

绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。一.定义型例1.

已知函数是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为注

意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证二.点斜型例2.已

知一次函数的图像过点（2,-1）,求这个函数的解析式。解：一次函数的图像过点（2,

-1），即故这个一次函数的解析式为变式问法：已知一次函数，当时，y=—1,求这

个函数的解析式。三.两点型已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别

是（一2,0）、（0,4）,则这个函数的解析式为o解：设一次函数解析式为由

题意得故这个一次函数的解析式为四.图像型例4.已知某个一次函数的图像如图

所示，则该函数的解析式为0解：设一次函数解析式为由图可知一次函数的

图像过点（1,0）、（0,2）有故这个一次函数的解析式为五.斜截型例5.已知直

线与直线平行，且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为o解析：两条直

线：；：。当，时，直线与直线平行，。又直线在y轴上的截距为2,故直

线的解析式为六.平移型例6.把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为

。解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平

行直线在y轴上的截距为，故图像解析式为七.实际应用型例7.某油箱中存油20升,

油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）

的函数关系式为。解：由题意得，即故所求函数的解析式为（）注意：

求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。A.面积型例8.已知直

线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为o解：易求得直线

与x轴交点为（，0）,所以，所以，即故直线解析式为或九.对称型若直线与

直线关于（1）x轴对称，则直线1的解析式为（2）y轴对称，则直线1的解析式为（3）

直线y=x对称，则直线1的解析式为（4）直线对称，则直线1的解析式为（5）原点对

称，则直线1的解析式为例9.若直线1与直线关于y轴对称，则直线1的解析式为

0解：由（2）得直线1的解析式为十.开放型例10.已知函数的图像

过点A（1,4）,B（2,2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要

说明解答过程。解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得（2）由于

A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，

解析式为（3）其它（略）4-一.几何型例11.如图，在平面直角坐标系中，A、B

是x轴上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点

的坐标为(0,3)o(1)求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；(2)

求图像过点E、F的一次函数的解析式。解：(1)由直角三角形的知识易得点A(,0)、

B(,0),由待定系数法可求得二次函数解析式为,对称轴是(2)连结OE、OF,则、。

过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G,易求得E(,)、F(,)由待

定系数法可求得一次函数解析式为十二.方程型例12.若方程的两根分别为，求经

过点P(,)和Q(,)的一次函数图像的解析式解：由根与系数的关系得，，点

P(11,3)、Q(-11,11)设过点P、Q的一次函数的解析式为则有解得故这个一次函

数的解析式为十三.综合型例13.已知抛物线的顶点D在双曲线上，直线经过点

D和点C(a、b)且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组，求这条直线的解析式。解:

由抛物线的顶点D()在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：，顶点DI(1,-5)及

顶点D2(,—15)解方程组得，即C1(-1,-4),C2(2,一1)由题意知C点就

是C1(-1,—4),所以过Cl、D1的直线是；过Cl、D2的直线是数学术语.经典

例题1在直角坐标系xOY中，直线L过(1,3)和(3,1)两点，且X与轴、Y轴分别交于A、

B(1)求直线L的函数解析式；(2)求AAOB的面积.1、y=kx+b则

3=k+b1=3k+b所以k=-l,b=4y=-x+42、y=0,x=4x=0,y=4

所以面积=4义4+2=82为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定

对购买彩电的农户实行政府补贴。规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查发

现，某市场销售彩电台数y台与政府补贴款额x元之间大致满足如图、、、、(1)该商场

销售家电的总收益为80000=160000(元)(2)依题意可设y=klx+800,Z=k2x+200二

有400kl+800=1200,200k2+200=160,解得kl=l,k2=-.所以kl=l,k2=-./.

y=x+800,z=-x+200.(3)W=yz=(x+8000)<-x+200)=-(x-100)2+162000政府应将

每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值.其最大值为162000元

反比例函数

求助编辑百科名片

反比例函数图象一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成丫=1</*(k为常

数，kWO)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的

取值范围是X=0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k•xA(-1)。

目录

反比例函数定义

反比例函数表达式

自变量的取值范围

反比例函数图象

反比例函数的几何意义

反比例函数性质单调性

相交性

面积

图像

对称性

与正比例函数交点

反比例函数的应用举例

画法

典型题目反比例函数定义

反比例函数表达式

自变量的取值范围

反比例函数图象

反比例函数的几何意义

反比例函数性质单调性

相交性

面积

图像

对称性

与正比例函数交点

反比例函数的应用举例

画法

典型题目展开编辑本段反比例函数定义

函数y=k/x(k为常数)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是

自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

编辑本段反比例函数表达式

X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k•1/xxy=ky=k«xA(-1)(即：

y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=k\x(k为常数且kWO,xWO)若

y=k/nx此时比例系数为：k/n

编辑本段自变量的取值范围

①kW0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于。的任意实

数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。解析式y=k/x其中X是自变量，Y是

X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k,1/xxy=ky=k,xA(-1)

y=k\x(k为常数(kWO),x不等于0)

编辑本段反比例函数图象

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K

#0)。

编辑本段反比例函数的几何意义

过反比例函数y=k/x(kNO),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线，两垂足、

原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|

编辑本段反比例函数性质

单调性

当k>0时，图象分别位于第一、二象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当

k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。k>0时，函

数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0

上同为增函数。

相交性

因为在y=k/x(kW0)中，x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能

与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图象上任取两点P，Q,过点P,Q分别作x轴，y轴的平行线，

与坐标轴围成的矩形面积为SI,S2则S1=S2=|K|反比例上一点m向x、y分别做垂线，

交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|

图像

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x

(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。反比例函数图像不与x轴和

y轴相交。y=k/x的渐近线：x轴与y轴。k值相等的反比例函数重合，k值不相等的

反比例函数永不相交。k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称

图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。图像关于原点对称。若设正比例函

数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号)，那么AB两点关于原点对称。

反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称与正比例函数交点

设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点，则

nA2+4k•mN(不小于)0。

编辑本段反比例函数的应用举例

［例1］反比例函数的图象上有一点P(m,n)其坐标是关于t的一元二次方程

t八2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式.分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程.解:

m,n是关于t的方程t²+3t+k=0的两根m+n=-3,mn=k,又PO=根号

13,反比例函数图象

m²+n²=13,(m+n)²-2mn=13,9-2k=13.

k=-2当k=-2时，△=9+2>0,k=-2符合条件，【例2】直线与位于第二

象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C,

矩形ABOC的面积为6,求：(1)求双曲线的解析式分析：矩形ABOC的边

AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为(m,n),则AB=|n|,AC=|m|,

根据矩形的面积公式知|m-n|=6.

编辑本段画法

1)列表如X...-3-2-11234...

y...-4-6-1212643...

2)在平面直角坐标系中标出点3)用平滑的曲线描出点常见画法

1.当双曲线在一三象限，K>0,在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无

交点。2.当双曲线在二四象限，K<0,在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及

Y轴无交点。当两个数相等时那么呈弯月型。

编辑本段典型题目

1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(kWO)(l)k满足什么条件

时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？(2)当图像有两个交点时(设为

A和B),判断NAOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。解(1)一次函数y=-x+6

和反比例函数y=k/x(k不等于零)有两个交点，即-x+6=k/x化简的xA2-6x+k=0有两

个交点则方程有两个不同的解即6人2-4k>0所以k<9且k不等于0(2)当0<k<9

时两交点在第一象限所以/AOB是锐角当k<0时两交点分别在第二和第四象限所以/

AOB是钝角2、已知函数y=(m-l)xA(n»2-m-l).(1)当m为何值时，y是x的正

比例函数？(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？解(1)正比例函数则x

次数是1mA2-m-l=l(m-2)(m+l)=0m=2,m=-l系数不等于0m-12

0所以m=2,m=-l(2)反比例函数则x次数是-1mA2-m-l=-lm(m-l)=0

m=0,m=l系数不等于0m-IWO所以m=03、一矩形的面积为24cmA2,

则该矩形的长xcm与宽ycm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长

均为整数，请画出所有可能的的矩形。解面积x*y=24函数表达式y=24/x(0<x)

矩形的各边长均为整数可以取x=l,2,3,4,6,8,12,24

二次函数

求助编辑百科名片

二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数

可以表示为f(x)=axA2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

目录

定义

二次函数的解法一、知道三个点

二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点

二、使用韦达定理一元二次方程

一般式

顶点式

交点式

二次函数与X轴交点的情况

求根公式

图像轴对称

顶点

开口

决定对称轴位置的因素

决定二次函数图像与y轴交点的因素

二次函数图像与x轴交点个数

特殊值的形式

二次函数的性质

两图像对称

二次函数与一元二次方程

如何学习二次函数定义

二次函数的解法一、知道三个点

二、知道函数图象与X轴的交点坐标及另一点

三、使用韦达定理一元二次方程

一般式

顶点式

交点式

二次函数与X轴交点的情况

求根公式

图像轴对称

顶点

开口

决定对称轴位置的因素

决定二次函数图像与y轴交点的因素

二次函数图像与x轴交点个数

特殊值的形式

二次函数的性质

两图像对称

二次函数与一元二次方程

如何学习二次函数

展开编辑本段定义

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