2024年福建省龙岩市长汀县中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年福建省龙岩市长汀县中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列四个数中，是负数的为（）A．|﹣5| B．30 C． D．（﹣2）52．（4分）下列计算正确的是（）A．2x+x＝2x2 B．4x2﹣x2＝4 C．﹣x2•5x2＝﹣5x4 D．8x6÷x2＝8x33．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（4分）为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（）A．样本容量是1000 B．每个学生是个体 C．1000名学生是所抽取的一个样本 D．30000名学生是总体5．（4分）已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，则a的整数解有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC（）A． B．2 C． D．7．（4分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，OD＝1，则AB的长为（）A． B．4 C．2 D．68．（4分）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，BC＝5，EF＝3（）A．6 B．8 C．10 D．129．（4分）如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．60° C．66° D．80°10．（4分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，点F，G分别是CD，且PG⊥PF，过点P作PH⊥PD交AD于点H（）A．△HPG≌△DPF B．DP•DE＝DH•DC C． D．△PDH≌△CDE二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）11．（4分）＝．12．（4分）如图，已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝58°．13．（4分）“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为．14．（4分）已知一组数据﹣2，2，3，4，m的众数为3，则方差为．15．（4分）定义新运算：，若，则的值是．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且y1＞y2，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：．18．（8分）先化简，再求值：[（2m﹣n）2+（2m+n）（2m﹣n）]÷4m，其中m（n﹣2）2＝0．19．（8分）如图，EF＝BC，DF＝AC20．（8分）为迎接全市“英语学科创新大赛”，某中学举行了选拔赛，该校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，并将所得数据绘制成如图不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）圆心角β＝度；（2）补全条形统计图；（3）A，B，C，D四人本次竞赛成绩均为满分，现从中随机抽取两人代表学校参加市级比赛，B两人同时参赛的概率．21．（8分）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍（1）求小美每分钟跑多少米？（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，超过20分钟后，每多跑步1分钟，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是圆上一点，连接AD，DC．（1）求证：CD2＝CA•CB．（2）已知AD＝3，，求AC的长．23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．探究遮阳篷的学问素材1为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，墙记为AD，遮阳棚记为AB，CD为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头．素材2如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷AB长为4.4米，∠ADC＝90°，靠墙端A离地高AD为4.2米．素材3如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得AB＝a米，∠ABC＝120°，∠BCD＝θ（60°＜θ＜90°）示意图问题解决任务1如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感任务2如图2，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：）．任务3如图3，求墙AD的长，阴影CD的长．24．（12分）已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x+a﹣2．（1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．（2）当a＝﹣1时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①如图（1），若点P是x轴上的动点，当|PD﹣PC|取最大值时；②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，那么在直线EF存在点Q，使得△QCE，△QAF中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积25．（14分）已知△ABC，∠BAC＝90°，．探究一：如图（1）（点D不与点B，C重合），且BD＝x．①连接AD，当x＝4时，AD＝．②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段AB逆时针旋转α（0°＜α＜360°），旋转后点B的对应点为点B′，设DB′为最大值为a，DB′的最小值为b．③如图（2），若把线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接DE交AC于点F探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段AB绕点A逆时针旋转45°得线段AM，MN交BC于点P，NC与BM的延长线交于点Q

2024年福建省龙岩市长汀县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列四个数中，是负数的为（）A．|﹣5| B．30 C． D．（﹣2）5【解答】解：A、|﹣5|＝5＞6；B、30＝5＞0，故B不符合题意；C、（）﹣1＝4＞2，故C不符合题意；D、（﹣2）5＝﹣32＜5，故D符合题意；故选：D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．2x+x＝2x2 B．4x2﹣x2＝4 C．﹣x2•5x2＝﹣5x4 D．8x6÷x2＝8x3【解答】解：A、2x+x＝3x；B、7x2﹣x2＝2x2，故B不符合题意；C、﹣x2•3x2＝﹣5x8，故C符合题意；D、8x6÷x4＝8x4，故D不符合题意；故选：C．3．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图形是轴对称图形．故不符合题意；B．该图形既不是中心对称图形．故不符合题意；C．该图形既是轴对称图形．故符合题意；D．该图形是中心对称图形．故不符合题意．故选：C．4．（4分）为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（）A．样本容量是1000 B．每个学生是个体 C．1000名学生是所抽取的一个样本 D．30000名学生是总体【解答】解：A．样本容量是1000，故本选项符合题意；B．每个学生的视力情况是个体，故本选项不符合题意；C．1000名学生的视力情况是所抽取的一个样本，故本选项不符合题意；D．30000名学生的视力情况是总体，故本选项不符合题意．故选：A．5．（4分）已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，则a的整数解有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：解不等式x﹣a＜0，可得x＜a，解不等式2x+2≥8，可得x≥3.8，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以2，a，7为边的三角形，∴3＜a＜7，∴a的取值范围是4＜a＜7，∴a的整数解有1个，故选：B．6．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC（）A． B．2 C． D．【解答】解：由勾股定理，得AB＝BC．由余弦函数的定义，得cosA＝＝＝，故选：D．7．（4分）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，OD＝1，则AB的长为（）A． B．4 C．2 D．6【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB，∴AD＝BD，即AB＝2BD，∵∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OD＝1，∴BD＝2×tan60°＝，∴AB＝2，故选：C．8．（4分）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，BC＝5，EF＝3（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝EF＝3，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，在△ADE中，AD＝BC＝5，∴DE＝＝＝3，∴CD＝2DE＝8．故选：B．9．（4分）如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．60° C．66° D．80°【解答】解：由作图痕迹可知，所作为线段AB的垂直平分线和∠ABC的平分线，∴AD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠BAD＝∠CBD．∵∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝64°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠BAD＝64°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝66°．故选：C．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，点F，G分别是CD，且PG⊥PF，过点P作PH⊥PD交AD于点H（）A．△HPG≌△DPF B．DP•DE＝DH•DC C． D．△PDH≌△CDE【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠C＝90°，∵DE平分∠ADC，∴∠PDH＝∠CDE＝∠ADC＝45°，∵PG⊥PF，PH⊥PD，∴∠FPG＝∠DPH＝90°，∴∠HPG＝∠DPF＝90°﹣∠FPH，∠PHD＝∠PDH＝45°，∴HP＝DP，∵∠PHG＝∠PDF＝180°﹣45°＝135°，∴△HPG≌△DPF（ASA），故A不符合题意；∵∠PDH＝∠CDE，∠DPH＝∠C，∴△PDH∽△CDE，∴＝，∴DP•DE＝DH•DC，故B不符合题意；∵HG＝DF，∴DG﹣DF＝DG﹣HG＝DH，∵DH＝＝DP，∴DG﹣DF＝DP，故C不符合题意；∵△PDH∽△CDE，且对应边PD与CD不一定相等，∴△PDH和△CDE不一定全等，故D符合题意，故选：D．二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）11．（4分）＝5．【解答】解：＝5，故答案为：5．12．（4分）如图，已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝58°28°．【解答】解：∵m∥n，∴∠ABC+∠2＝∠1＝58°，∵∠ABC＝30°，∴∠8＝28°．故答案为：28°．13．（4分）“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为2.5×104．【解答】解：将25000用科学记数法表示为2.5×104．故答案为：2.5×108．14．（4分）已知一组数据﹣2，2，3，4，m的众数为3，则方差为4.4．【解答】解：∵数据﹣2，2，3，4，m的众数为3，∴m＝7，平均数为＝＝2，∴方差为．故答案为：7.4．15．（4分）定义新运算：，若，则的值是﹣2．【解答】解：∵，，∴﹣＝，即＝，∴＝﹣2．故答案为：﹣4．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且y1＞y2，则m的取值范围是m＜1．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点C（8﹣n，1），1），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞8）经过点A（3﹣m，y1），B（m+7，y2），且y1＞y3，∴点A（3﹣m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+6，y2）到对称轴的距离，∴|3﹣m﹣6|＞|m+1﹣1|，解得m＜6．故答案为：m＜1．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：．【解答】解：＝＝﹣+4﹣1+8＝6．18．（8分）先化简，再求值：[（2m﹣n）2+（2m+n）（2m﹣n）]÷4m，其中m（n﹣2）2＝0．【解答】解：[（2m﹣n）2+（4m+n）（2m﹣n）]÷4m＝（8m2﹣4mn+n8+4m2﹣n7）÷4m＝（8m5﹣4mn）÷4m＝2m﹣n，∵|m+1|+（n﹣2）5＝0，∴m＝﹣1，n＝8，当m＝﹣1，n＝2时．19．（8分）如图，EF＝BC，DF＝AC【解答】证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C＝∠F．20．（8分）为迎接全市“英语学科创新大赛”，某中学举行了选拔赛，该校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，并将所得数据绘制成如图不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）圆心角β＝144度；（2）补全条形统计图；（3）A，B，C，D四人本次竞赛成绩均为满分，现从中随机抽取两人代表学校参加市级比赛，B两人同时参赛的概率．【解答】解：（1）本次抽取的学生总人数为10÷20%＝50（人），∴β＝360°×＝144°，故答案为：144；（2）良好的学生人数为：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能的结果，B两人同时参赛的结果有2种，∴恰好抽到A，B两人同时参赛的概率为．21．（8分）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍（1）求小美每分钟跑多少米？（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，超过20分钟后，每多跑步1分钟，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量【解答】解：（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑1.2x米，由题意得：﹣3＝，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，∴3.2x＝1.4×300＝360，答：小美每分钟跑360米；（2）解：设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，由题意得：15×20+（y﹣20）（15+y﹣20）＝1650，整理得：y2﹣25y﹣1250＝0，解得：y8＝50，y2＝﹣25（不符合题意，舍去），答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是圆上一点，连接AD，DC．（1）求证：CD2＝CA•CB．（2）已知AD＝3，，求AC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵CD与⊙O相切于点D，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∵∠CDA+∠ODA＝90°，∠B+∠OAD＝90°，∴∠CDA＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CBD，∴＝，∴CD2＝CA•CB．（2）解：∵AD＝3，＝sin∠B＝，∴AB＝AD＝，∴DB＝＝＝5，由（1）得△CDA∽△CBD，∴＝＝＝，∴CD3＝AC•CB，CD＝，∴（AC）2＝AC（AC+6），解得AC＝或AC＝0（不符合题意，∴AC的长是．23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．探究遮阳篷的学问素材1为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，墙记为AD，遮阳棚记为AB，CD为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头．素材2如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷AB长为4.4米，∠ADC＝90°，靠墙端A离地高AD为4.2米．素材3如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得AB＝a米，∠ABC＝120°，∠BCD＝θ（60°＜θ＜90°）示意图问题解决任务1如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感任务2如图2，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：）．任务3如图3，求墙AD的长，阴影CD的长．【解答】解：任务1：过点B作BF⊥CE于点F，BG⊥AD于点G，∴BF＝DG，BG＝DF，在Rt△ABG中，∠BAD＝60°，∠AGB＝90°，∴AG＝AB•cos∠BAG＝4.7cos60°＝2.2，∴BG＝AB•sin∠BAG＝3.4sin60°≈3.4，∴BF＝DG＝AD﹣AG＝4.2﹣7.2＝2，∴BF＝2米＜2.3米，由题意可知：遮阳棚外端到地面的距离小于7.3米，人进出时没有安全感．因此增强安全感的建议如下：适当扩大∠BAD的度数，使BF≥2.6米．任务2：在Rt△BCF中，，∴CD＝DF﹣CF＝BG﹣CF＝3.7﹣2＝8.7（m），∴阴影CD的长为1.3米．任务3：过点B作BF⊥AD于点F，BE⊥CD于点E，∵∠EDF＝∠BFD＝∠BED＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∴∠EBF＝90°，BE＝DF，∵∠BCE＝θ，∴∠EBC＝90°﹣θ，∵∠ABC＝120°，∠ABF＝120﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，在Rt△BCE中，EC＝BC•cos∠BCE＝bcosθ，在Rt△ABF中，BF＝AB•cos∠ABF＝acos（θ﹣60°），∴DE＝BF＝acos（θ﹣60°），∴CD＝EC+DE＝CE+BF＝bcosθ+acos（θ﹣60°）．24．（12分）已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x+a﹣2．（1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．（2）当a＝﹣1时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①如图（1），若点P是x轴上的动点，当|PD﹣PC|取最大值时；②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，那么在直线EF存在点Q，使得△QCE，△QAF中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积【解答】解：（1）∵y＝x2+（a﹣1）x+a﹣6＝x2﹣x+（x+1）a﹣5，∴当x＝﹣1时，y＝0，∴对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点（﹣3；（2）①当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣3，∴C（0，﹣2），﹣4），0）．∵|PD﹣PC|≤DC，∴当P，D，C三点在一条直线上时，如图，连接DC并延长，由点C、D的坐标得，当y＝﹣x﹣5＝0时，x＝﹣3，∴P（﹣3，0），∴．②△QAC的面积为5，理由：设E（xE，yE），F（xF，yF），直线CE：y＝k1x+b1，直线BF：y＝k4x+b2，直线EF：y＝k′x+b′，将点C（0，﹣8））的坐标代入直线CE的解析式1＝﹣3．将点B（8，0）的坐标代入直线BF的解析式2＝﹣4k2．联立直线EF与抛物线的解析式，得，整理得x2﹣（k′+2）x﹣b′﹣3＝0，则xE+xF＝k′+5，xE•xF＝﹣b′﹣3，同理可得xE+xC＝k1+2，xF+xB＝k2+2，∵xC＝2，xB＝3，∴xE＝k1+4，xF＝k2﹣1，∴k′＝xE+xF﹣4＝k1+2+k5﹣1﹣2＝k2+k2﹣1，b′＝﹣xE•xF﹣7＝﹣（k1+2）（k6﹣1）﹣3＝﹣k7k2﹣2k2+k1﹣1．联立直线CE与直线BF的解析式，得，解得，∵直线BF与直线CE的交点始终在直线y＝2x﹣3上，∴，化简得k3k2＝3k5﹣2，∴b′＝﹣k1k4﹣2k2+k6﹣1＝﹣3k5+2﹣2k7+k1﹣1＝﹣2k1﹣2k4+1＝﹣2（k2+k2）+1＝﹣4（k′+1）+1＝﹣6k′﹣1，∴直线EF：y＝k