2018青海考研数学一真题(含答案)

2018青海考研数学一真题及答案

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1-cosV%

1.若函数/(x)=一瓦一'"在尤=0处连续，则

b,x<0

(A)ab=-(B)ab=--(C)ab=4(I))ah=2

22

1

]_r—x]

CSV

【详解】lim/(x)=lim-°--=lim2_=_L,Hm/(x)=人=/(O)，要使函数在

+x0

XTO+X-O-QXx-»oax2a->~

x=0处连续，必须满足=b=ab=L.所以应该选(A)

2a2

2.设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)>0,则

(A)/(1)>/(-1)(B)/(l)</(-l)(C)|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

【详解】设g(x)=(/(x))2，则g'(x)=2/(x)/'(x)>0也就是(/(X))2是单调增加函数也

就得到(/⑴1>(/(-1))2=^|/(1)|>|/(-1)|,所以应该选(C)

3.函数/(%,乂2)=/丁+22在点(1,2,0)处沿向量〃=(1,2,2)的方向导数为

(A)12(B)6(C)4(D)2

【详解】dL=2xy,^-=xz,^-=2z，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为gr喈=(4,1,0),

所以/(%,乂z)=Yy+z?在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为

—=gradf./=(4,1,0)二(1,2,2)=2应该选(D)

dn3

4.甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲

的速度曲线v=匕《)(单位：米/秒),虚线表示乙的速度曲线v=2«)(单位：米/秒)，

三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙

追上甲的时刻为九，则()

(A)r0=10(B)155<20

(C)tQ=25(1))f0>25

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，S(r)=rn(r)〃表

示时刻Hz]内所走的路程.本题中的阴影面积E，-S2,邑分别表示在时间段

[0,10],[10,25],[25,30]内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在，=25时乙追上甲，应该

选(C).

5.设a为〃单位列向量,E为〃阶单位矩阵,则

(A)E-era■'不可逆(B)E+a"不可逆

(C)E+laa1不可逆(D)E-不可逆

【详解】矩阵aa1的特征值为1和〃-1个0，从而

E-aaT,E+aaT,E-2aar,E+2aaJ的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;

-1,1,1,,1;3,1,1,,1.显然只有E-a"存在零特征值，所以不可逆，应该选(A).

，200、‘210、'100、

6.已知矩阵4=021,B=020,c=020,则

0b、001、002,

(A)AC相似,相似(B)AC相似,不相似

(C)A,C不相似，aC相似(D)AC不相似,仇C不相似

【详解】矩阵A,8的特征值都是4=4=2,2,=1.是否可对解化，只需要关心2=2的

情况.

,000、

对于矩阵A,2E-A=00-1，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2=2存在两

、001J

个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A-C.

’0-10、

对于矩阵8,2E-8=000，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2=2只有一

、00J

个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然6,C不相似故选择(B).

7.设A,5是两个随机事件，若()<P(A)<1,0<P(5)<l,则P(A/B)〉P(A/瓦的充

分必要条件是

(A)P(B/A)>P(B/A)(B)P(B/A)<P(B/A)

(C)P(B/A)>P(B/A)(D)P(B/A)<P(B/A)

【详解】由乘法公式：P(AB)==P®(P(A/5)可得下面结论：

P(A/B)>P(A/历=P(A')>°(辿=.A)-P(AB)=>P(A)P(B)

P(B)P(B)1-P⑻

类似,由P(AB)=尸(A)P(5/A),尸(M)=P(A)P(B/A)可得

P(B/A)>P(B/A)<=>>^£1=r(B)P(AB)。>P(A)尸(8)

P(A)P(A)l-P(A)

所以可知选择(A).

-1"

8.设X1,X2,,%„(«>2)为来自正态总体N(〃,1)的简单随机样本，若X=—ZX,,则

下列结论中不正确的是()

(A)£(X,-〃)2服从/分布(B)2(X,-Xj2服从/分布

/=i

(C)支区-又)2服从/分布(D)履5-〃)2服从/分布

Z=1

解：(1)显然(乂一4)~。(0,1)=>5:一〃)2~%26,”1,2,..，〃且相互独立,所以

£(X,「〃)2服从％2(〃)分布，也就是(A)结论是正确的；

/=1

"—,,(n-l)52,

(2)y(X,.-X)2=(»-l)52=-—J~/(〃_]),所以(c)结论也是正确的；

b

22

(3)注意5~N(J)n6(又—~N(O,1)nn(X-^)~Z(l)，所以(D)结论也

n

是正确的；

Y_V।

22

(4)对于选项(B):N(0,2)n"'~N(O,1)^>-(X„-X,)~Z(l),

722

所以(B)结论是错误的，应该选择(B)

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

9.已知函数/(幻=一^,则/⑶(0)=_______.

1+x

解：由函数的马克劳林级数公式：八幻=£/学X",知尸")(0)=〃!。“，其中％为展

to〃！

开式中x"的系数.

由于/(X)=^L^=l—一+(_1)晨2"+卜1/，所以/⑶(0)=0.

10.微分方程y"+2y,+3y=0的通解为.

【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程〃+2r+3=()有一对共共辗的

根r=一1±及，，所以通解为y=e-'(C,cos瓜+C2sin缶)

11.若曲线积分在区域0={(工,丁)|/+/<1}内与路径无关，则

【详解】设P(")=焉』强上年7.显然如，"四),)在区域内

具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有孕三"na=-1

dxdy

12.幕级数£(-l)"Tzu"T在区间内的和函数为

n=l

【详解】£(-1严面1=£(-1产(亡)'=(£(-1)"-二")=rx]i

U+xJ—(l+x)2

〃=1w=l\n=lJ

所以s(x)="7r,xw(—1,1)

(l+x)-

‘101、

13.设矩阵4=112，即%,%为线性无关的三维列向量，则向量组A4,而2，93

、。1L

的秩为.

’10npon(\or

【详解】对矩阵进行初等变换A=112-»01i->011,知矩阵A的

101JI。1ij[ooo,

秩为2,由于华,。2，。3为线性无关，所以向量组A%,Aa2,A%的秩为2.

14.设随机变量X的分布函数尸(x)=0.5①(x)+0.50—,其中①。)为标准正态分

布函数，则EX=.

x—4

【详解】随机变量X的概率密度为/(x)=F(x)=0.5e(x)+0.250(-y-),所以

2+OOf+00P+30,x-4、，

E(X)=fxf(x)tir=0.5f码(幻公+0.251x(p1----)dx

J-COJ-00J-002

=0.25「：公=0.25x2j：(2r+4)°Q)力

=2r41<»(p(t)dt=2

J—00

三、解答题

15.(本题满分10分)

设函数/(〃力)具有二阶连续偏导数，y=/C,cosx)，求dv?「，d-~vfU.

axax"

【详解】^-=f^ex,cosx)ex+f2(ex,cosx)(-sinx),《1"'(LD；

axax

今=e"'(",cosx)+e'"；(e',cosx)e,-sin馅(e'cosx))-cos£(e',cos龙)

xx2

-sinxef2"(e,cosx)+sinxf"2(e\cosx)

孰=。=<'(1』)+#(1,1)-£(1,1).

16.(本题满分10分)

求lim£与lnjl+勺

—°抬〃kn)

【详解】由定积分的定义

题£占山+徉则/3nh+—^=「xln(l+x)<Zr

In)asnMnIn)Jo

=gJ；ln(l+x)dx2=:

17.(本题满分10分)

已知函数y(x)是由方程x3+y3—3x+3y-2=O.

【详解】在方程两边同时对x求导，得

3x2+3y2y'-3+3y'=O(1)

在(1)两边同时对x求导，得

2x+2y(y')2+y2y"+y"=0

也就是y"=_2(x：y(¥)2)

i+y

令y'=0,得％=±1.当玉=1时，x=1;当々=T时，%=0

当王=1时，y=O,y=-l<0,函数y=y(x)取极大值y=I;

当马=-1时，/=0,y"=l>0函数y=y(x)取极小值>2=0.

18.(本题满分10分)

设函数/(x)在区间［0』上具有二阶导数，且/⑴>0,lim^<0,证明：

(1)方程f(x)=0在区间(0,1)至少存在一个实根；

(2)方程/⑺/(x)+(/'(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.

证明：(1)根据的局部保号性的结论，由条件lim」^D<0可知，存在0<5<1,及

XT。-X

西6(04)，使得/a)<0，由于/(x)在［百,1］上连续，且/(X。"⑴<0，由零点定理,

存在JG(x1,1)U(0,1)，使得/C)=0,也就是方程f\x)=0在区间(0,1)至少存在一个

实根；

(2)由条件可知/(0)=0，由(1)可知/(O=0，由洛尔定理，存在

x-»(rx

〃e(0,9,使得/①)=0;

设尸(x)=/(x)/'(x),由条件可知F(x)在区间［0,1］上可导，且

F(0)=0,F(^)=0,F(7)=0,分别在区间［0口,上对函数E(x)使用尔定理，则存

在。G(0MU(0,1)4G(〃，4)U(0,1),使得4尸基/&)=尸&)=0,也就是方程

f(x)f\x)+(/'(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.

19.(本题满分10分)

设薄片型S是圆锥面z=4+/被柱面2x所割下的有限部分，其上任一点的密度为

〃=94+)+z2,记圆锥面与柱面的交线为。.

(1)求。在x°y布上的投影曲线的方程；

(2)求S的质量

【详解】(1)交线。的方程为卜=护"，消去变量z，得到f+y2=2x.

z2-2x

yp-_1_J_

所以C在xOy布上的投影曲线的方程为z_0.

(2)利用第一类曲面积分，得

M=JJ4(x,y,z)dS=jj9yjx2+y14-z2dS

ss

=ff9也2+-+/+-，+^+J；dxdy

=18JJy]x2+y2dxdy-64

X2+J2<2A

20.(本题满分11分)

设三阶矩阵A=(%,4,)有三个不同的特征值，且%=%+2%.

(1)证明：/(A)=2；

(2)若尸=«+。2，。3，求方程组Ax=£的通解.

【详解】(1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵,也就是/'(A)Nl.

假若"A)=1时，则r=()是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)>2,又因为

。3-%+2。2=0，也就是a,,a2,a3线性相关，r(A)<3,也就只有r(A)=2.

(2)因为r(A)=2,所以Ax=()的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于

“1

%-%+2%=0,所以基础解系为x=2

又由，=%+%,%，得非齐次方程组Z=B的特解可取为

'1]

方程组Ax=£的通解为x=Z2+1，其中我为任意常数.

lb

21.(本题满分11分)

设二次型2+遍+在正交变换下的标

/(X1,X2,X3)=2XI-%22^%2-+2X2X｝x=Qy

准形为4弁+44，求。的值及一个正交矩阵。.

’21-4、

【详解】二次型矩阵A=1-11

、-41a?

因为二次型的标准形为4才+4货.也就说明矩阵A有零特征值，所以同=0,故a=2.

/l-l-14

|2E-A|=12+11=2(2+3)(2-6)

4-1/L-2

令-A|=0得矩阵的特征值为4=-3,4=6,4=0.

1

通过分别解方程组（4上-A）x=0得矩阵的属于特征值4=-3的特征向量。-1

V3

’-1、1

属于特征值特征值4=6的特征向量多=£0,4=0的特征向量刍=表2,

,17

1I

3_L

F〃

12

G一o

所以Q=©4/3)="为所求正交矩阵.

1

_eL正_"L

22.（本题满分11分）

设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为尸{X=0}=P{X=2}=；,Y的概率密

2y,0<y<l

度为度y）=,

0,其他

（1）求概率p（y<EK）；

（2）求2=*+丫的概率密度.

【详解】（1）七丫=['必（丁）办=£2y2办=*

所以尸{Y4EY}

(2)Z=X+Y的分布函数为

B(Z)=P{Z〈Z}=P{X+Y<z}=p{x+y〈z,x=o}+尸{x+y4z,x=2}

=P{X=Q,Y<z}+P{X=2,Y<z-2]

=1p{y<z}+1p{y<z-2}

[耳(z)+4(z—2)]

故2=乂+丫的概率密度为

力(z)=](z)=g[/(z)+/(z—2)]

z,0<z<1

=<z-2,2<z<3

0,其他

23.(本题满