2022-2023学年上海市黄浦大同初级中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解

八年级数学

（考试时间：90分钟，满分：100分）

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1二次根式口、耳+1、”=、2中最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列二次根式中与互为有理化因式的是（）

A.\jl-aB.y/a-\C.J1+”D.yfa+1

3.下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数的是（）

2x

A.y=—B.y=——C.y=-3x+2D.y-kx

x3

4.关于x的方程依2一日=5一3d是一元二次方程的条件是（）

A.左。0B.k^\C.Z。3D.七一3

5.下列方程中，无实数根的方程为（）

A.2x?+6x=3B.3/+4%+6=（）C.x2-2x=0D.3X2-4X-6=0

6.下列问题中两个变量成正比例的是（）

A.正方形面积和它边长

B.一条边确定的长方形，其周长与另一边长

C.圆的面积与它的半径

D.半径确定圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数

二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7.化简：728=.

8.方程f_5x_6=0的根为

x—5

9.函数y=-7=^的定义域为___.

Vx+3

10.而-妍的一个有理化因式是一.

11.若最简二次根式JTW和“听是同类二次根式，那么。+力的值是.12.写出一个一

元二次方程，使它的一个根为1,另一个根为-我，这个方程的一般式是

13.在实数范围内分解因式：3X2-X-1=.

14.如果正比例函数y=(Z-2)x的图像)，随x的减小而增大，那么女的取值范围是.

15.市政府为了解决市民看病难问题，决定下调药品的价格.某种药品原来每盒200元，经过两次降

价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为.

16.等腰三角形的周长是10厘米，腰长是X厘米，底边长是〉厘米，请写出y关于X的函数关系式，并写

出自变量X的取值范围.

17.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如

f=4和(%-2)(%+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”.若关于x

的方程陵+c=0(aw0)的参数同时满足a+b+c=0和。一匕+。=0,且该方程与

(x+2)(x-〃)=0互为“同伴方程"，则〃=.

18.如图，在平面直角坐标系中，点A，4,……都在x轴上，点⑸，B2,员……都在直线y=x

上，A044，△B/4，△与鸟人,△名△B-B2A3……都是等腰直角三角形，且。4=1,则点

52022的坐标是_________.

简答题：(本大题共6题，每题5分，满分30

19.计算272x3710+745+

3

20.计算m>0)

21.解方程：（x+iy=4x.22.解方程：-X2-2X-3=0.

解方程：0（1）2+同r）=0.

3

24.已知y与l一1成正比例，且当x=-2时、y=—

（1）求y与/的函数解析式.

（2）请判断点（5,-1）是否在此函数上，请说明理由.

四、解答题：（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）

25.已知关于x的方程4/-（机+2）x+m=1有两个相等的实数根，求胴的值并解出此时方程的根

26.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间「（秒）之间的函数关系的图像分

别为折线OAB和线段OC,请根据图上信息回答下列问题：

As侏）

cB

先到达终点;

0|102535405055%秒）

（2）第秒时，追上__________；

（3）比赛全程中，的速度始终保持不变；

（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间r（秒）之间的函数关系式.

27.第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心.主办方工作人员

准备利用一边靠墙（墙长25米）空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候

区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米.请问，工作人

员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？

♦出口V进口解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边

为长；设这个长方形的宽为X米，则长为.米.（用含x代数式表示）

（完成填空后继续解题）

28.已知：如图，直线y=2x上有一点P（2,a）,直线尸丘（0〈氏＜1）上有一点Qe,2）.

（1）求点P和点。的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）.

（2）过点P分别作轴，轴，过点Q分别作QCJ_x轴，如果△OPQ的面积等于VBPQ

的面积的两倍，请求出k的值.

（3）在（2）的条件下，在直线。。上是否存在点。，使12?如果存在，请求出点。的坐标；如果

不存在，请说明理由.

八年级数学

（考试时间：90分钟，满分：100分）

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

b_好

1.二次根式而、J"*二、2中最简二次根式有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.

即最简二次根式有和三共2个,

故选B.

【点睛】本题考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分

母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

2.下列二次根式中与而T互为有理化因式的是（）

A.yjl—ClB.y]a-\C.y/1+aD.y/a+1

c

【分析】两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，据

此得出答案即可.

【详解】t-*Ja+1•y/l+a=。+1，

丁・与二次根式疝工互为有理化因式的是J1+〃.

故选：C

【点睛】本题考查了互为有理化因式的概念，熟记其定义是解题的关键.

3.下列函数（其中x是自变量）中，一定是正比例函数的是（）

2x

A.y=-B.y=——C.y=-3x+2D.y=kxB

x3

【分析】根据正比例函数的定义判断即可.

2

【详解】解：A、y=—,该函数是反比例函数，故该选项错误；

x

B、y,该函数是正比例函数，故该选项正确；

C、y=-3x+2,该函数是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误；

D、y=kx,当攵=()时，该函数不是正比例函数，故该选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：一般地，两个变量x、y之间的

关系式可以表示成形如丁=区的函数(Z为常数，x的次数为1,且左。0),那么y=日就叫做正比例函

数.

4.关于x的方程后:2—日=5-是一元二次方程的条件是()

A.B.kflC.k手3D.七一3

D

【分析】根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的最高次数为2,二次项系数不为0的整式方

程为一元二次方程即可判断.

【详解】解：..•履2一依=5-3/，

：.(k+3)x?—l(x—5—0,

Z+3。0,

%w—3,

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程满足的条件是解题的关键.

5.下列方程中，无实数根的方程为()

A.2x?+6x=3B.3A:2+4-x+6=0C.x2—2x=0D.3x?—4x—6=0

B

【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可.【详解】解：A、•••2/+6X=3,

2%2+6%-3=0，

AA=62-4X2X(-3)=60>0,

该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意.

B、•.•△=42—4x3x6=—56<0，

...该一元二次方程没有实数根，故B符合题意.

C、VA=(-2)2-4xlx0=4>0,

该一元二次方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意.

D、♦.•△=1)2-4x3x(-6)=88>0,

.•.该一元二次方程有两个不相等实数根,，故D不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情

况是解答本题的关键.

6.下列问题中两个变量成正比例的是()

A.正方形面积和它的边长

B.一条边确定的长方形，其周长与另一边长

C.圆面积与它的半径

D.半径确定的圆中，弧长与该弧长所对圆心角的度数

D

【分析】根据正比例函数的定义逐项判断，即可得出答案.

【详解】解：正方形面积等于边长的平方，因此正方形面积和它的边长不成正比例，故A选项不合题意；

长方形的周长等于长、宽之和的两倍，因此一条边确定的长方形，其周长与另一边长不成正比例，故B选

项不合题意；

圆的面积等于兀与半径平方的积，因此圆的面积与它的半径不成正比例，故C选项不合题意；

nirrirr

弧长=一，半径确定的圆中，一是常数，因此弧长与该弧长所对圆心角的度数〃成正比例，故D选项

180180

符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.二、填空题：(本大题

共12题，每题2分，满分24分)

7.化简：728=.

2币【分析】根据化简二次根式的法则计算即可.

【详解】解：728-5/4^7=V4XV7=2A/7

故答案为2s.

【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握化简二次根式的法则是解题的关键.

8.方程x2_5x_6=0的根为

X]=­1,%2=6

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【详解】解：f-5x-6=0，

（x+l）（x-6）=0,

x+1=0或x-6=0,

x=-l或x=6,

2

即方程f—5x-6=0的根为％=-1,x2=6,

故答案为：玉=T,工2=6.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公

式法、因式分解法、换元法等）是解题关键.

x—5

9.函数的定义域为____.

y]x+3

x>-3.

【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.当函数的表达式是二次根式时，自

x—5

变量的取值范围必须使被开方数不小于零.【详解】:函数y=]——^中,x+3>0,

yjx+3

解得x>-3,

x-5

•*.函数y=7~+3的定义域为x>-3,

故答案为x>-3.

【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使

表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.

10.伍一形的一个有理化因式是一.

缶'+振【分析】根据有理化因式的定义，即可求解.

【详解】解：一扬）（\/^+括）=24-力，

，疝-扬的一个有理化因式是岳+6.

故答案为：J2a+yjb

【点睛】本题主要考查了有理化因式的定义，熟练掌握有理化因式的概念：如果两个含有二次根式的非零

代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式是解题的关键.

H.若最简二次根式和〃近是同类二次根式，那么。+匕的值是.

o

【分析】先根据同类二次根式的定义求出“、b,再代入计算即可.

【详解】解：最简二次根式和,正是同类二次根式，

1—2cz=7,1=2,

a=-3,b=3,

a+Z?=-3+3=0,

故答案为0.

【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二

次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.12.写出一个一元二次方程，使

它的一个根为1,另一个根为-0,这个方程的一般式是.

x2+(V2-l)x-V2-0【分析】根据一元二次方程的根的情况求解即可.

【详解】解：•.•一元二次方程的一个根为1,另一个根为-Q,

.,.可歹(](x—=0,

化为一般式为：9+(0—1)工-0=0,

故答案为：X2+(V2-1)%-V2=0.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

13.在实数范围内分解因式：3X2-X-1=.

3,---------------【分析】先解方程3/-x-1=0，求得方程的两个根，即可求解.

【详解】解：3/_x—1=0，

・.•。=3,"=一1,。二一1,

A=Z?2—4ac=1+12=13,

—b±yjb2-4ac1±A/1~3

**x——■

2a6

正确的求得方程的两根是解题的关键.14.如果正比例

函数>=（上一2）%的图像y随x的减小而增大，那么k的取值范围是.

k<2【分析】先根据正比例函数的性质列出关于后的不等式，求出々的取值范围即可.

【详解】I•正比例函数>=（攵-2）x中，y随x的减小而增大，

k—2<0,

解得左<2.

故答案为：k<2.

【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，解决本题的关键是掌握正比例函数y=Ax（%/0）中，当攵<0

时，y随x的减小而增大.

15.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格.某种药品原来每盒200元，经过两次降

价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为.

20%【分析】设这种药品每次降价的百分率为x,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】解：设这种药品每次降价的百分率为x,根据题意得，

200（1-%）2=128,

解得玉=0.2=20%,々=1.8（舍去）,

故答案为：20%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

16.等腰三角形的周长是io厘米，腰长是x厘米，底边长是y厘米，请写出y关于x的函数关系式，并写

出自变量X的取值范围.

y=-2x+10（|<x<5）【分析】根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为10厘米，即可得出腰

长y关于底边长尢的函数解析式，再由三角形的三边关系即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式

组即可得出x的取值范围.

2x>10-2x

【详解】解：由已知得：y=10-2xf三角形的三边关系式可得：〈

10-2x>0

解得：一<x<5.

2

故y与x的函数解析式为y=-2x+10^|<x<5).

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据

等腰三角形的周长为10厘米得出腰长y关于底边长x的函数解析式.本题属于基础题，难度不大，解决该

题型题目时，根据等腰三角形的周长找出腰长y关于底边长x的函数解析式是关键.

17.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如

f=4和(x-2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”.若关于x

的方程⑪2+灰+。=0(口。0)的参数同时满足a+/；+c=0和a—8+c=0,且该方程与

(x+2)(x—〃)=0互为“同伴方程"，则"=.

[或_]##一1或1

【分析】依题意侬？+加+c=0(a/0)的两根为司=1,々=-1,结合题意，通过求解方程

(x+2)(x-n)=0,即可得到答案;

【详解】解：•••关于X的方程32+加+c=0(a/0)的参数同时满足a+o+c=o和a-0+c=o,

，方程的两根为玉=1,工2=-1，

:(x+2)(x-〃)=0,

%,=-2,x2=nf

・・・方2+灰+0=0(400)与(工+2)(工一〃)=0互为“同伴方程”,

1・〃二1或一1.

故答案为：1或-1.

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程方程解的定义，求得

以2+灰+。=0(。。0)的两根为％=1,々=一1是解题的关键.

如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点与，都在直线

is.A，A,,A3……xB2,4……y=x

上，氯乂百，△鸟44，△8（当4……都是等腰直角三角形，且。4=1,则点

,22021）【分析】由。4=1得到点与的坐标，然后

利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点打的坐

4B2022

标.

【详解】解：

.••点A1的坐标为（1,0）,

•••A。4A是等腰直角三角形，

=1,

•.•△444是等腰直角三角形，

/.AA,=1,4A,=J/Bj+4A>2=y/2.，

•.•△当与4为等腰直角三角形,

/.4A3=2,

二名(2,2),

2233n1fl1

同理可得,B3(2,2),B4(2,2),...,JBn(2-,2-),

202l2021

B2022(2,2),故答案为：(22M,22M).

【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的

关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律.

三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）

19.计算：2^x3710+5/45+

羽石+2【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解.

2

【详解】解：272x3710+745+

=2636石+36+4一(2_舄楙6)=12石+36+¥+2+石=并+2.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

20.计算:(m>0).

9n2【分析】先把除法转换为乘法，再分别计算系数和被开方数，最后化简即可.

考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键.二次根式相乘，把系数相乘作为

积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式.

21.解方程：(x+l)-=4x.

x,=x2=l【分析】根据完全平方公式进行求解一元二次方程即可.

【详解】解：(x+l)2=4%

X2+2x+l-4x=0x2-2%+l=0(x—1)*-=0々=1•

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握运用完全平方公式求解.

22.解方程：-x2-2x-3=0.

2

%,=2+710,^=2-5/10【分析】先将二次系数化为1,然后利用配方法解一元二次方程即可求解.

【详解】解：-X2-2X-3=0,

2

x2-4x-6=0»

工/―4X+4=10,

即(X-2)2=10,

x—2=±V10，

解得：石=2+Ji5,x2=2—Ji3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键.23.解方程:

V2(X-1)2+^(1-X)=0.

x,=L磬【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可.

【详解】解：V2(X-1)2+>/3(1-X)=0

整理，WV2(X-1)2-^(X-1)=0

提公因式，得(x-l)[g(x_l)-百]=0

(x-1)(拉x-&-6)=()；.%=],々=2.

【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是掌握提公因式法和十字相乘法求解.

3

24.已知y与成正比例，且当x=-2时，y=—.

4

(1)求y与x的函数解析式.

(2)请判断点(5,-1)是否在此函数上，请说明理由.

(1)y=---X+—

44

(2)在此函数上，理由见解析

【分析】(1)直接用待定系数法作答即可；

(2)将x=5代入计算即可.

【小问1详解】

解：y与x-l成正比例，

设〉=/-1),

将x=—2,y3代入得：；3=左(-2-1),

解得k=一_1,

4

故函数解析式为尸—(X-1)==X+!

444

【小问2详解]解：将x=5代入y=x+工得：y=-x5+[=T,

4444

故在此函数上.

【点睛】本题考查了待定系数法，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

四、解答题：(本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分)

25.已知关于x的方程4/一(m+2)x+m=l有两个相等的实数根，求m的值并解出此时方程的根

13

当加=2时，方程的根为王=工2=万；当机=io时，方程的根为

【分析】由A=0,得到，"的方程，可求得，〃的值，再把小的值代入原方程，解方程即可.

【详解】解：方程变形为：4x2-(m+2)x+m-l=0

由题意可得：A=(w+2)--4x4x(nz-l)=0,

解得：利=2,m=10

当m=2时，原方程为4/一4x+1=0，解得：=x2=—.

3

当根=1()时，原方程为4/一12X+9=0,解得：%)=%2=1.

【点睛】本题考查了一元二次方程62+法+0=0(a00,“b,c为常数)根的判别式.当△>(),方

程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当AVO,方程没有实数根.也考查了

解一元二次方程.

26.如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s(米)与时间r(秒)之间的函数关系的图像分

别为折线QA3和线段OC,请根据图上信息回答下列问题：

(2)第秒时，追上；

(3)比赛全程中，的速度始终保持不变：(4)写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s(米)

与时间/(秒)之间的函数关系式.

(1)乙(2)40,乙，甲

（3）乙（4）s=St

【分析】（1）观察图象，直接得出结论；

（2）观察图象，直接得出结论；

（3）观察图象，直接得出结论；

（4）甲的图象是折线，说明甲的运动速度有变化，乙的图象为线段，说明速度保持不变，根据：路程=速

度x时间，求速度，列出函数关系式.

【小问1详解】

根据图像可知，线段。。表示先到达终点，即乙先到达终点.

故答案为：乙.

【小问2详解】

两人相遇，即两者距离为0,由图像可知在40s时两人相遇，甲在前，即乙追上甲.

故答案为：40,乙，甲.

【小问3详解】

乙的图像为一条直线，表示速度不变.

故答案为：乙.

【小问4详解】

乙为优胜者，函数图像为正比例函数，可设函数解析式为s=",50s时乙到达终点，即函数过点

（50,400）,则有50。=400,解得：a=8，即相应函数解析式为s=&.

故答案为：s=8。.

【点睛】本题考查了一次函数的应用.关键是学会观察图象，结合题目的问题解题.

27.第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心.主办方工作人员

准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候

区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米.请问，工作人

员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？

.出口I♦进口解：令这个长方形垂直于墙的一边为宽，平行于墙的一边

为长；

设这个长方形的宽为X米，则长为米.（用含X代数式表示）

（完成填空后继续解题）

（50+l+l-2x）;工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是16米，20米

【分析】设这个长方形的宽为x米，根据题意可得长为（50+1+1-2、）米，最后列出一元二次方程