统计学教程：第5章 指数

《统计学教程》

第5章指数

2024年7月9日/*《统计学教程》第5章指数5.1相对数5.3平均指数

5.1.1相对数的量纲5.3.1平均指数数量指数和质量指数

5.1.2计划完成相对数5.3.2固定权数的平均指数

5.1.2结构相对数5.4指数体系

5.1.3比例相对数5.4.1指数体系与因素分析

5.1.4比较相对数5.4.2指数体系的动态分析

5.1.6强度相对数5.4.3指数体系的静态分析

5.1.7动态相对数5.5我国的物价指数

5.1.8相对数小结5.5.1居民消费价格指数

5.2综合指数5.5.2商品零售价格指数

5.2.1指数的分类5.5.3工业品出厂价格指

5.2.2综合指数原理5.5.4

股票价格指数

5.2.3拉氏指数和帕氏指数

5.2.4著名的指数公式

5.2.5拉氏指数和帕氏指数的变形第5章指数

5.1相对数《统计学教程》2024年7月9日/*《统计学教程》

第5章指数

统计指数起源于十八世纪的欧洲后半期。当时物价变动频繁，出于了解物价变动的实际需要，产生了反映单一商品价格在不同时间上对比的个体物价指数（动态相对数），并逐渐发展演进为反映多种商品价格全面变动的综合物价指数，形成了初步的指数方法和理论。随后，指数的应用逐步推广到反映产量变动的物量指数，以及反映其它现象综合的各种指数，例如工业生产量指数、劳动生产率指数、生活水平指数和社会发展指数等。最后，指数的应用扩展到数量差异的静态对比领域。

从内涵角度，指数是反映研究对象某一数量特征在时间上，或空间上差异的方向和程度的测度。从外延角度，指数可以从广义和狭义两个概念上去理解。狭义的指数是指度量多个项目综合变动的方向和程度的测度，一般称为总指数。广义的指数是指任意两个数值的对比，泛指反映数量差异的各类相对数，既包括狭义的指数，也包括只反映单项事物变动的个体指数。2024年7月9日/*《统计学教程》

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5.1相对数

相对数为两个相互关联的数据的比值。

绝对数作为统计整理数值汇总的直接成果，反映的只是数据的总量数值和频数分布，表现为具有量纲的绝对水平。相对数是指通过两个有关联的数据对比的方式来反映现象之间联系的测度。其一般形式可表示为，相对数＝对比数/基数。通过计算这样的一个比值，将所研究的数据的绝对水平转化为以某一基准单位水平的相对形式，具体的绝对水平在这一相对比较过程中消失了；同时，相对数还以无名数的形式，或者以分子与分母量纲的复合形式，消除了或者统一了数据的量纲，使之具有普遍的可比性。2024年7月9日/*

5.1相对数5.1.1相对数的量纲与绝对数不同，相对数是以某个数据（相对数的基数）作为参照系来观察所研究现象的数量特征。这一数量特征不是绝对水平的高低，而是分子和分母相对比值，是一个相对的数量特征。根据计算相对数的分子和分母的绝对数量纲是否一致，相对数的计量单位有无名数和复合量纲两种形式。

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5.1相对数1、

无名数当计算相对数分子和分母的量纲为一致的时，原有数据的量纲相互约去，相对数的量纲为无名数，无名数是一种典型的抽象化数值。依据基数数值水平的大小，相对数比值的数值水平存在显著不同的比例，进而形成了以下一些常用的具体划分。（1）系数和倍数将基数抽象化为1。（2）成数将分母看作10。（3）百分数（%）将分母抽象化为100。（4）千分数（‰）将分母抽象化为1,000。

2、

复合量纲当计算相对数的分子和分母的量纲不一致的时，相对数的量纲为复合量纲。复合量纲是由计算相对数的分子和分母的量纲复合而成的计量单位，具有复合量纲的相对数是有名数。

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5.1相对数5.1.2计划完成相对数它是用实际完成数与计划任务数相对比而得到的相对数。计划完成相对数通常以“%”表示，因此又称计划完成百分比。其计算公式为

(5.1)

根据数据的不同，需要采取不同的方法来计算计划完成相对数指标。

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5.1相对数1、

根据绝对数计算当式(5.1)的分子和分母为绝对数时，通常还计算计划完成相对数的子项与母项之差，以反映形成计划完成相对数的绝对水平和绝对差异。例5.1

设某企业计划2005年利润总额为500万元，年底实际实现年利润总额为600万元。要求计算计划完成相对数，分析该企业2005年利润完成情况。解由式(5.1)，有

超额完成年利润计划的绝对值=600─500=100万元该企业超额20%完成2005年利润计划，超额完成的利润总额为100万元。

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5.1相对数2．根据相对数计算在计划指标是以本年度计划数比上年度实际数要提高或降低多少的相对数表示时，需要根据相对数计算计划完成相对数，如劳动生产率提高率，成本降低率等。例5.2

某企业计划2005年度利润计划比2004年要提高15%，实际2005年度利润比2004年提高了38%。要求计算计划完成相对数，分析该企业2005年利润完成情况。解同样，可由式(5.1)，有该企业超额20%完成2005年利润计划。《统计学教程》

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5.1相对数3．根据均值计算用于检查用均值形式制定的计划执行情况。例如检查平均工资水平，单位成本计划完成情况等场合。例5.3

设某企业2005年产品生产的人均日计划产量为80只，实际2005年平均人均日产量达到88只。要求计算计划完成相对数，分析该企业2005年人均年产量计划完成情况。解仍由式(5.1)，有该企业超额10%完成了2005年人均产量计划。《统计学教程》

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5.1相对数5.1.3结构相对数它是在统计分组的基础上将各组数值与总体全部数值相对比而得出的，计算公式为

(5.2)

结构相对数的典型特点是它们的和等于1或100%。频数的相对形式——频率，就是一种重要的结构相对数。总体是在同一性质基础上由具有差异的各部分组成的，为了从总体的组成状况认识总体，就需要计算结构相对数。《统计学教程》

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5.1相对数

采用结构相对数，反映总体内部结构的特征。表5.1某纺织企业2005年产品销售情况《统计学教程》

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5.1相对数

通过结构相对数的变动，分析现象运动和发展的过程。表5.2我国大中小学生构成变化情况%资料来源：1999年中国统计摘要．北京．中国统计出版社1999

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5.1相对数5.1.4比例相对数比例相对数是总体内不同组成部分的数值对比的结果，用来表明总体内部的比例关系。比例相对数的计算仍然基于统计分组，为同一总体内部的某一分组的数值与另一分组的数值相对比所得出的比值。如人口总体中的性别比等，其计算公式为

(5.3)

结构相对数和比例相对数反映的都是同一总体内部的构成比例，区别仅在于选择的对比基数不同。结构相对数同一总体的不同部分的数值与总体总值的比值；比例相对数是同一总体的不同部分数值之间的相互比较。比例相对数可以用百分数表示，也可以用一比几或几比几的形式表示。

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5.1相对数5.1.5比较相对数比较相对数又称类比相对数，它是指在同一时间条件下，不同总体的同类数据之间的相互对比，即同一时间的同类现象数量特征在不同空间的对比。例如，不同地区、单位和部门的同类数据之间的比较，比较相对数一般用百分数或倍数表示。计算公式为

(5.4)

比较相对数的分子和分母数据的涵义、口径、时间和计算方法必须一致。计算比较相对数可以用绝对数，也可以用相对数或集中趋势数据。由于绝对数受到总体规模大小的影响，不便于直接进行比较，也不便于直接计算比较相对数。因此，大多采用相对数或集中趋势数据计算比较相对数。

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5.1相对数5.1.6强度相对数强度相对数是两个有密切联系的，性质不同总体的数据的对比，以反映事物发展的强度、密度、普遍程度或经济效益高低的测度。强度相对数主要用于分析不同现象之间的数量关系。计算公式为

(5.5)

比如，总人口数与国土面积相比得出人口密度、国内生产总值与总人口数相比得到人均国内生产总值、利税总额与固定资产投资额相比得到投资回报率、新增人口数与同期平均人数相比得到人口增长率、销售总额与同期平均库存额相比得到商品的周转次数等都是强度相对数。强度相对数一般为有名数，通常使用复合单位。强度相对数的分子和分母一般可以互换，从而有正指标和逆指标之说。有些强度相对数也使用“平均”的字眼，但它不是同一总体的总值与其频数的商，而是两个不同总体的数据的比值，同均值存在本质的区别。《统计学教程》

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5.1相对数5.1.7动态相对数以上介绍的相对数都是两个有联系的数据在空间上的比较，动态相对数则是两个有联系的数据在时间上的比较。动态相对数是将某一数据的较近期（一般称为报告期）的数值，与同一数据的较远期（一般称为基期）的数值相对比，表明现象在不同时间上变动方向及其程度的相对数。动态相对数可用百分数和倍数表示。其计算公式为

(5.6)《统计学教程》

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5.1相对数

例5.4我国1996—2003年国内产生总值数据如表5.4所示。表5.4我国1996—2003年国内产生总值数据亿元资料来源：2004中国统计年鉴.北京.中国统计出版社2004

要求试计算以我国1996年国内产生总值为100的的动态相对数。解由式(5.6)计算得表5.5我国1996—2003年国内产生总值发展速度%

以1996年国内产生总值67885亿元为100《统计学教程》

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5.1相对数5.1.8相对数小结《统计学教程》

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5.2综合指数《统计学教程》2024年7月9日/*

5.2综合指数5.2.1指数的分类指数（IndexNumber）是度量和分析多个项目综合变动和综合差异的方法和测度。从不同视角，指数可以分为几种基本的类型。1．数量指数和质量指数2.时间性指数和区域性指数3．个体指数和总指数

4．简单指数和加权指数

5．综合指数和平均指数

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5.2综合指数5.2.2综合指数原理综合指数就是利用总体的全面资料，计算出两个相互关联的，具有相同量纲的，进行相对比较的绝对数，通过这两个绝对数的比值，来反映构成绝对数的某一因素的影响方向和程度。为了单纯分析这一因素的变动或差异所形成的数值影响，需要将绝对数分解为两个，或者两个以上因素的乘积，通过将其它非分析因素在分子和分母中相同取值的设置，将其固定同一时间或同一空间，从而单纯地反映出所研究的因素变动对比值数值水平的影响，来度量所研究的因素对于事物某一数量特征的变动或差异的作用。《统计学教程》

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5.2综合指数例5.5

假设某商场仅经营三种商品，其销售情况如下表。表5.6某商场甲、乙、丙三种商品销售情况

可以计算出甲商品的个体物量指数，和甲商品的个体价格指数

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5.2综合指数

直接加总该商场经营的这三种商品的销售量∑q1/∑q0

，由于这三种商品的属性各不相同，计量单位都不一样，它们的销售量之间完全没有可加性。直接加总该商场经营的这三种商品的销售价格，并加以比较，即计算销售价格的简单指数∑p1/∑p0，这显然也不能成立。综合指数的基本思路可以归纳为综合和分析两个方面。

综合的思路体现为量纲的可加性和总量数据的综合功能上，通过因素之间的互为权数的设置，以一个统一的总量数据作为对比的基础。分析的思路是将影响因素分为两类。一类是该指数所研究的因素；另一类是暂时不考察的其它因素。在计算比较的绝对数时，指数所研究的因素是变动的，即子项和母项采用了不同时间或空间的数据来计算；而其它因素是固定不变的，即采用了相同时间或空间的数据来计算子项和母项。从而抽象掉其它因素的变动，单纯地凸现出所研究的因素的变动，实现指数分析的目的。在综合指数分析中，将所研究的因素称之为指数化因素；其它因素称之为权数因素，或者称为同度量因素。《统计学教程》

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5.2综合指数5.2.3拉氏指数和帕氏指数1．拉氏指数拉氏指数（LaspeyresIndex）是将权数因素固定在基期的综合指数。这个指数公式是由德国学者埃蒂恩·拉斯贝尔（EtienneLaspeyres）在1864年提出的，故称之为拉氏指数。拉氏指数的数量指数和质量指数计算公式为

(5.9)

(5.10)

一般将式(5.9)和式（5.10）称为拉氏公式。《统计学教程》

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5.2综合指数2．帕氏指数帕氏指数（PaascheIndex）是将权数因素固定在报告期的综合指数。该指数是由德国学者哈曼·派许（HermanPaasche）在1874年提出的，故称之为派氏指数。帕氏指数的数量指数和质量指数计算公式为

(5.11)(5.12)

一般将式(5.11)和式（5.12）称为派氏公式。

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5.2综合指数

由拉氏公式和帕氏公式可知，计算综合指数的分子和分母均为绝对数，其中有两项是实际的绝对数∑Q0P0和∑Q1P1，两项假定的绝对数∑Q1P0和∑Q0P1，这四项绝对数都是具有实际意义的数值。在综合指数分析中，需要结合绝对数数值及其差额，对相对比值进行分析，以研究和说明综合指数的相对比值形成的基础，及其对应的绝对差异的数值水平。《统计学教程》

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5.2综合指数

例5.6

利用例5.5中商品销售量和销售价格数据。要求运用拉氏公式和帕氏公式计算综合指数中的数量指数和质量指数。

解

由拉氏公式的数量指数式(5.9)和质量指数式（5.10)，可以计算得

运用拉氏公式的计算结果表明，报告期和基期相比，该商场销售量综合上升了14.17％，由于这一上升，使销售额增加了∑Q1P0—∑Q0P0

＝270000—236500=33500元；同时，商场销售价格综合上升了9.22％，使销售额增加了∑P1Q0—∑P0Q0

＝258300—236500=21800元。《统计学教程》

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5.2综合指数

由于拉氏公式和帕氏公式权数因素的时期不同，采用不同的指数公式计算的结果当然不同的。拉氏公式和帕氏公式都符合构造综合指数的基本原则，都是科学地计算综合指数的基本公式。一般而言，若分析侧重于测定现象以基期的结构为比较基础的变动或差异程度时，宜采用以为基期权数因素时间的拉氏公式，若研究的内容需要测定现象以报告期的结构为比较基础的变动和差异程度时，则以采用帕氏公式为宜。同时，还需要依据所能够及时搜集的数据来选择综合指数公式，保证综合指数的数据采集、指数构造和数值计算的可行性。由于帕氏公式需要具备报告期的权数因素数据，使得该公式在经济管理实践中的推广应用存在难以避免的局限。《统计学教程》

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5.2综合指数5.2.4著名的指数公式

1．马歇尔—艾奇沃斯指数

马歇尔—艾奇沃斯指数（Marshall-EdgeworthIndexNumber）是由英国经济学家马歇尔（AlfredMarshall,1842—1924）于1887年提出的以基期和报告期物量因素的简单均值作为权数的综合物价指数。其计算公式为

(5.13)

该公式后又为英国统计学家艾奇沃斯（FrancisYsidroEdgeworth,1845—1926）所推广，因而又被称为马歇尔—艾奇沃斯指数。《统计学教程》

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5.2综合指数2．费雪理想指数费雪理想指数（Fisher’sIdealIndexNumber）是由美国统计学家费雪（IrvingFisher，1867—1947）在1911年提出指数公式。该公式为拉氏公式和帕氏公式的几何平均公式。

(5.14)(5.15)

费雪还提出了评价指数优劣的三项测验标准。（1）时间互换测验标准。（2）因子互换测验标准。（3）循环测验标准。《统计学教程》

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5.2综合指数5.2.5拉氏公式和帕氏公式的变形将拉氏公式和帕氏公式略加变形，构造出相应的个体数量指数和个体质量指数的加权平均形式的综合指数。拉氏公式数量指数的变形

(5.16)

帕氏指数数量指数的变形

(5.18)《统计学教程》

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5.2综合指数5.2.5拉氏公式和帕氏公式的变形将拉氏公式和帕氏公式略加变形，构造出相应的个体数量指数和个体质量指数的加权平均形式的综合指数。拉氏公式数量指数的变形

(5.16)

帕氏指数数量指数的变形

(5.18)《统计学教程》

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5.3平均指数《统计学教程》2024年7月9日/*

5.3平均指数

平均指数是利用样本数据计算的总指数，是个体指数的加权平均测度，是总指数的另一种形式。平均指数的特点主要体现在两个方面，一是使用的数据，平均指数是采用抽样调查、重点调查所得到样本数据来编制的总指数；二是计算公式的形式，平均指数是采用加权平均形式计算的总指数。

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5.3平均指数5.3.1平均指数数量指数和质量指数为了突出平均指数与综合指数这个区别，以大写字母表示总体全面数据，小写字母表示样本数据。平均指数数量指数的计算公式为

(5.20)(5.21)

平均指数数量指数计算公式有算术平均和调和平均两种形式。其中算术平均数量指数以基期总体的绝对数∑P0Q0作为权数，调和平均数量指数以报告期总体的绝对数∑P1Q1作为权数。《统计学教程》

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5.3平均指数

平均指数质量指数的计算公式为

(5.22)

(5.23)

平均指数质量指数计算公式也有算术平均和调和平均两种形式。其中算术平均质量指数以基期总体的绝对数∑P0Q0作为权数，调和平均质量指数以报告期总体的绝对数∑P1Q1作为权数。

由于平均指数的算术平均形式公式，在计算数量指数在和质量指数都是采用基期总体的绝对数∑P0Q0作为权数，因此得到广泛的使用。《统计学教程》

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5.3平均指数5.3.2固定权数的平均指数如同均值中的权数，总指数的权数可以直接采用其绝对形式，也可以采用其相对形式。相对形式的权数更加鲜明地反映了权数对于指数数值水平形成的贡献和影响。权数数据一般只能通过普查取得，因此在较长一段时间内连续使用。固定权数的算术平均指数计算公式为

(5.26)

固定权数的平均指数在国内外政府统计工作中得到广泛应用。例如商品零售价格指数、居民消费价格指数、工业品出厂价格指数，工业生产指数、消费品价格指数等，大多采用固定权数的平均指数方法编制。

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5.4指数体系《统计学教程》2024年7月9日/*

5.4指数体系5.4.1指数体系与因素分析关于指数体系也有广义和狭义两种理解。广义的指数体系是指由若干个在经济意义上互相联系的指数所构成的整体。狭义的指数体系则进一步要求指数之间具有数量上的对等关系。

指数体系（IndexSystem）为一个总量指数和一组因素指数构成的具有内在联系，量上相等的数量关系式。

总量指数（TotalAmountIndex）是两个性质相同，时间或者空间不同的绝对数的比值。总量指数不属于狭义的指数，一般为动态相对数或者比较相对数。

因素指数（FactorIndexNumber）是由构成总量指数变动或者引起总量指数差异的因素计算的总指数。《统计学教程》

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5.4指数体系

指数体系的因素分析表现为总量指数与因素指数乘积在量上相等的相对数值分析。有相对数量关系公式为

(5.27)

指数体系还派生出一个由总量指数的绝对数值与因素指数绝对数值的总和在量上相等的平衡关系。一部分是由数量因素的变动或差异所引起的绝对数值(∑P0Q1—∑P0Q0)；另一部分则是由质量因素变动或差异所引起的绝对数值(∑P1Q1—∑P0Q1)。从而，指数体系所作的因素分析便由相对数分析延伸到了绝对数分析。在指数体系分析中，一般将数量指数的权数固定在基期，即采用拉氏公式；将质量指数的权数固定在报告期，即采用帕氏公式。《统计学教程》

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5.4指数体系5.4.2指数体系的动态分析指数体系的动态分析是对于现象发展运动在时间上表现出来的变动，所进行的综合性因素分析。

例5.8

仍然利用例5.5中商品销售量和销售价格数据。指数数值的乘积衡等关系，有该商场销售额本月比上月增长了23.68%，是由于销售量本月比上月增长了14.16%，和销售价格本月比上月增长了14.16%，共同作用的结果。绝对数值的总和衡等关系，有

∑P1Q1—∑P0Q0＝(∑P0Q1—∑P0Q0)＋(∑P1Q1—∑P0Q1)

＝33500＋22500＝56000元该商场销售额本月比上月增加了56000元，其中由于销售量本月比上月增长了14.16%，使销售额增加了33500元；销售价格本月比上月增长了14.16%，使销售额增加了22500元。《统计学教程》

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5.4指数体系5.4.3指数体系的静态分析指数体系的静态分析是对于现象在空间上表现出来的差异，所进行的综合性因素分析。

例5.9

有甲乙两地分年龄组死亡率数据如表5.10所示。要求运用指数体系分析方法，对引起总死亡率变动的年龄结构和分年龄组死亡率进行综合性因素分析。

指数数值的乘积衡等关系，有总死亡率数值的总和衡等关系，有

∑P1Q1—∑P0Q0＝(∑P0Q1—∑P0Q0)＋(∑P1Q1—∑P0Q1)

＝7.39‰＋(-5.60‰)＝1.79‰《统计学教程》

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5.2综合指数5.4.4指数体系因素分析方法的拓展例如，拓展到对于均值的因素分析。

可以写为：

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5.5我国的物价指数《统计学教程》2024年7月9日/*

5.5我国的物价指数5.5.1居民消费价格指数

居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex）是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品价格和服务项目价格变动趋势和程度的指数。我国的居民消费价格指数编制方法可分为两大步骤。首先分别计算城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数，以反映我国城市居民和农村居民在不同的消费结构和消费偏好情况下，各自支付的生活消费品价格和服务项目的价格变动的程度和态势；然后，在已经取得的城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数数值基础上加权汇总计算出综合的全体城乡居民的消费价格指数。居民消费价格指数是观察和分析消费品的零售价格和服务价格变动，及其对城乡居民实际生活费支出的影响程度的重要测度。《统计学教程》

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5.5我国的物价指数1．反映居民生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度。2．度量货币购买能力。一般采用货币购买能力指数来表示。货币购买能力指数（CurrencyPurchasingPowerIndex）是测定单位货币所购买货物和服务的数量变动程度的测度。货币购买能力指数与居民消费价格指数呈反比关系。

(5.30)《统计学教程》

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3．计算实际工资水平。居民的实际消费水平，不仅受到名义工资增减的影响，还要受到居民消费价格指数的制约。可以利用居民消费价格指数将居民的名义工资转换为实际工资，来反映居民的实际消费水平。实际工资（RealWages）是将名义工资中的价格变动影响剔除了之后的真实工资水平。

(5.31)

在更多的场合，使用具有广泛可比性的相对数——实际工资指数（IndexofRealWages）来度量实际工资与名义工资的差异程度，及其变动幅度。

(5.32)5.5我国的物价指数《统计学教程》

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5.5我国的物价指数4．剔除价格变动影响。任何以货币单位为量纲的数据都不可避免的要受到价格水平波动的影响，当进行不同时间上的时间序列数据计算和分析时，需要使用居民消费价格指数，来剔除不同时间上货物和服务单位价格水平的差异。利用居民消费价格指数来剔除价格变动影响的方式称为缩减或平减，通过居民消费价格指数缩减，剔除了价格变动影响之后的数据，称为缩减数据，或缩减指标。

(5.33)

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5.5我国的物价指数5.5.2商品零售价格指数商品零售价格指数（RetailPriceIndex）是反映一定时期内城乡商品零售价格变动趋势和程度的指数。商品零售物价的变动直接影响到城乡居民的生活支出和国家的财政收入，影响居民购买力和市场供需的平衡，影响到消费与积累的比例关系。因此，借助该指数可以从一个侧面对上述经济活动进行观察和分析。我国商品零售价格指数的编制。1．选择调查商店(农贸市场)。

2．选择代表规