2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是(

)A.f(x)=tanx B.f(x)=x−1x

C.f(x)=x−cosx 2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2A.12 B.−12 C.3.设f(x)=ax2+bx+c，(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=0A.只有纯虚数根 B.只有实数根

C.有两个实数根，两个纯虚数根 D.既没有实数根，也没有纯虚数根4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：

①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”

②d(x,y)=d(y,x)

③对任意z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)

则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是(

)

命题P：d(x,y)=|x−y|为dR

命题Q：d(x,y)=|sinx−siny|A.命题P是真命题，命题Q是假命题 B.命题P是假命题，命题Q是真命题

C.命题P和命题Q都是真命题 D.命题P和命题Q都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数y=−x6.已知复数z=2+i，则log5|z|=______．7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为______8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,−4)，则三角形AOB面积为______．9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=

．10.已知向量a=(−1,2),b=(x2,2)，且cos11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn=______．

12.已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，则tan(α+β)tanα13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|A−)=0.2，那么P(B)=14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为α=π6，l1与l315.已知椭圆方程为x2a2+y16.在数列{an}中，若存在两个连续的三项ai，ai+1，ai+2与aj，aj+1，aj+2相同(i≠j)，则称{an}是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列{an}三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx−12．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若f(x)在区间18.(本小题14分)

2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．

(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)从顾客中随机抽取n人(n∈N∗)，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn，求19.(本小题14分)

如图所示，在底半径为R、高为H(H,R为定值，且H≤R)的圆锥内部内接一个底半径为r、高为ℎ的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决.甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式(图甲)，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式(图乙)．

(1)设V1、V2分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示V1、V2；

(2)试分别求V1、V2的最大值(V1)max、20.(本小题18分)

满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线．

(1)若圆E：x2+(y−2)2=1是集合M={l|l：mx+ny=1，m，n∈R}的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2)求证：集合A={l|l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0，(a∈R)}的包络曲线E为：y=x2；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l221.(本小题18分)

函数F(x)的定义域为D⊆R，如果存在t∈D，使得F(t)=t，称t为F(x)的一个不动点.函数g(x)=ex+(1−e)x−a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=x2，且当x≤0时，f′(x)<x．

(1)求证：f1(x)=f(x)−12x2为奇函数；

(2)当a变化时，求函数g(x)不动点个数；参考答案1.D

2.D

3.D

4.A

5.[−2,3)

6.127.20

8.5

9.1310.±1

11.3812.5313.0.38

14.[π15.316.11

17.解：(Ⅰ)函数f(x)=cos2x+3sinxcosx−12

=cos2x+12+32sin2x−12

=sin(2x+π6)，

函数f(x)的单调递增区间满足：

−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−18.解：(1)由题意可得，X的所有可能取值为3，4，5，6，

∴P(X=3)=(13)3=127，P(X=4)=C3X3456P1248∴E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(2)∵这n人的合计得分恰为n+1分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，

∴Pn=Cn19.解：(1)如图，设AC=H，CB=R，DE=x，EF=y，

根据三角形相似得，xR=H−yH=1−yH，

则x=R(1−yH),y=H(1−xR)，

①若圆柱“竖放”，则x=r，ℎ=y，

所以ℎ=H(1−rR)(0<r<R)，

故V1=πr2ℎ=πr2H(1−rR)=πH(r2−r3R)(0<r<R)；

②若圆柱“横放”，则x=ℎ2,y=2r，

所以ℎ=2R(1−2rH)(0<r<H2)，

故V2=πr2ℎ=πr22R(1−2rH)=2πR(r2−2r3H)(0<r<H2)；

(2)①因为V1=πH(r2−r3R)(0<r<R)，

则V1′=πH(2r−3r2R)

20.解：(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+(y−2)2=1相切，

则圆E的圆心(0,2)到直线mx+ny=1的距离等于1，

即d=|2n−1|m2+n2=1，

化简得：m2=3n2−4n+1；

证明：(2)在y=x2上任取一点Q(x1,x12)，则y′=2x，

所以y=x2在该点处的切线斜率为k=2x1，

则y=x2在Q(x1,x12)点处的切线方程为：y=2x1x−x12，

即2x1x−y−x12=0，

令直线族l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0中的2(a−1)=2x1，

则直线为2x1x−y−x12=0，

所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，

而对任意l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0都是抛物线在点(a−1,(a−1)2)处的切线，

所以集合A={l|l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0，(a∈R)}的包络曲线E为：y=x2；

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，

则抛物线E在点A处的切线方程为：

y−y1=2x21.解：(1)f(−x)+f(x)=x2，

故f(−x)−12(−x)2+f(x)−12x2=0，

其中f1(x)=f(x)−12x2，

则f1(−x)+f1(x)=0，其中f1(x)=f(x)−12x2定义域为R，

故f1(x)=f(x)−12x2为奇函数．

(2)由g(x)=x得ex−