2023-2024学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|x2−3x<0}，则A∩B=A.{x|0<x<1} B.{x|x<0}

C.{x|x<1或x>3} D.{x|x<3}2.命题“∀x>0，ex≥x+1”的否定是(

)A.∀x>0，ex<x+1 B.∃x≤0，ex<x+1

C.∃x>0，ex3.正项等比数列{an}中，a2aA.1 B.2 C.3 D.44.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，函数y=xf′(x)的图像如图，则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的增区间是(−2,0)，(2,+∞)

B.函数f(x)的减区间是(−∞,−2)，(2,+∞)

C.x=−2是函数的极大值点

D.x=2是函数的极大值点5.“m≤1”是“函数f(x)=log2(x2−mx−1)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tanℎ是比较常用的一种，其解析式为tanℎ(x)=ex−e−xeA.tanℎ(x)≤−1有解 B.tanℎ(x)是奇函数

C.tanℎ(x)不是周期函数 D.tanℎ(x)是单调递增函数7.已知A是函数f(x)=x−2lnx图像上的动点，B是直线x+y+2=0上的动点，则A，B两点间距离|AB|的最小值为(

)A.42 B.4 C.28.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d<0，aA.a4+a5+a18<0C.S99>二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(

)A.1a<1b B.a+c>b+c C.10.已知正数a，b满足4a+b+ab=5，则下列结论正确的是(

)A.ab的最大值为1 B.4a+b的最小值为4

C.16a2+b2的最小值为911.记方程xex=1的实数解为Ω(Ω是无理数)，Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是A.lnΩ+Ω=0B.Ω∈(13,12)

C.Ω三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，g(x)=f(x)+1,x≤03x−1,x>0，则g(g(0))=13.数列{an}的前n项和为Sn，若an=14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x−1)=f(x+2)，当x∈[0,3)时，f(x)=x2−3x+1ex，则y=f(x)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(−1,2)，且在点P处的切线恰好与直线3x+y+4=0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)16.(本小题15分)

已知等差数列{an}的公差d>0，a4=5，a1，a3，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和公式为Sn=2bn−2(n∈N∗)．

17.(本小题15分)

已知函数f(x)为二次函数，有f(−1)=0，f(4)=5，_____．

从下列条件中选取一个，补全到题目中，

①f(12+x)=f(32−x)，

②函数f(x+1)为偶函数，

③f(2)=−3．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若g(x)=log2(x18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x⋅lnx−ax2，f′(x)为f(x)的导函数，记g(x)=f′(x)，其中a为常数．

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x19.(本小题17分)

若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3；第二次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第n(n∈N∗)次得到的数列的所有项之和记为an，如a1=1+4+3=8．

(1)求a3；

(2)求{an答案解析1.A

【解析】解：因为集合A={x|x<1}，B={x|x2−3x<0}={x|0<x<3}，

则A∩B={x|0<x<1}．

故选：A．

2【解析】解：根据题意，命题“∀x>0，ex≥x+1”是全称命题，

其否定为∃x>0，ex<x+1，

故选：C．

【解析】解：正项等比数列{an}中，a2a4a6=a43=27，即a4【解析】根据y=xf′(x)的图象可知：当x<−2时，f′(x)>0；

当−2<x<0时，f′(x)<0，

当0<x<2时，f′(x)<0，

当x>2时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，

因此函数f(x)在x=2时取得极小值，在x=−2取得极大值．

故ABD错误，C正确．

故选：C．

5.B

【解析】解：根据题意，设g(x)=x2−mx−1，

若函数f(x)=log2(x2−mx−1)在(1,+∞)单调递增，则g(x)在区间(1,+∞)单调递增且g(x)>0恒成立，

则有m2≤1g(1)=1−m−1≥0，解可得m≤0，

反之，当m≤0时，g(x)=x2−mx−1在区间(1,+∞)单调递增且g(x)>0恒成立，

此时函数f(x)=log2(x2−mx−1)在(1,+∞)单调递增，

故函数f(x)=log【解析】解：由tanℎ(x)=ex−e−xex+e−x=1−2e−xex+e−x=1−2e2x+1，

因e2x+1>1，则0<2e2x+1<2，

可得−1<1−2e2x+1<1，即tanℎ(x)∈(−1,1)，故A错误；

因为tanℎ(x)的定义域为R，且tanℎ(−x)=e−x−exe−x+ex【解析】解：由(x)=x−2lnx，得f′(x)=1−2x，

设A(x,x−2lnx)，

则|AB|min=|x+x−2lnx+2|2=|2x−2lnx+2|2=2|x+1−lnx|，

令g(x)=x+1−lnx,x>0,g′(x)=1−1x=x−1x，

则当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x∈(1,+∞)时，【解析】解：由公差为d<0，a10a11<−1，得等差数列{an}为递减数列，且a10>0，a11<0，a10+a11>0，

对于A，a4+a5+a18=3a1+24d=3a9>0，故A错误；

对于B，∵a10+a11>0，∴a1+a20=a10+a11>0，

∴S20=20(a1+a20)2>0，故B错误；

对于C，∵Sn【解析】解：当a=1，b=−1时，A显然错误，

由不等式性质可知，当a>b时，a+c>b+c一定成立，B正确；

由选项C可知，c2>0，若a>b，则ac2>bc2，C正确．

由指数函数y=(12)x在R上单调递减可知，(【解析】解：由正数a，b满足4a+b+ab=5，可得4a+b=5−ab≥4ab，

解得0<ab≤1，即ab≤1，当且仅当4a=b，即a=12，b=2时等号成立，故A正确；

由正数a，b满足4a+b+ab=5，可得4a+b−5=−14×4ab≥−14×(4a+b2)2，

解得4a+b≥4或4a+b≤−20(舍去)，当且仅当4a=b，即a=12，b=2时等号成立，故B正确；

16a2+b2=(4a+b)2−8ab=(5−ab)2−8ab=(ab−9)2−56，由选项A知ab≤1，

由二次函数的单调性知(ab−9)2−56≥(1−9)2−56=8，ab=1时，16【解析】解：构建g(x)=xex−1，则Ω为g(x)的零点，

因为g′(x)=(x+1)ex，若x<−1，则g′(x)<0，

可知g(x)在(−∞,−1)内单调递减，且g(x)<0所以g(x)在(−∞,−1)内无零点；

若x>−1，则g(x)>0，可知g(x)在(−1,+∞)内单调递增，

g(0.5)=e2−1<0且g(1)=e−1>0，

所以g(x)在(−1,+∞)内存在难一零点Ω∈(0.5,1)；

对于选项A：因为ΩeΩ=1，Ω∈(0.5,1)，即1Ω=eΩ，

两边取对数可得：n1Ω=lneΩ=Ω，lnΩ+Ω=0，故A正确；

对于选项B：由上可知Ω∈(0.5,1)，故B不正确；

对于选项C：y=Ω2+2Ω−1对称轴为Ω=−1，而Ω∈(0.5,1)，故y=Ω2+2Ω−1单调递增，

当Ω=0.5，y=Ω2+2Ω−1最小值为0.25，所以Ω2+2Ω−1>0，故C正确；

对于选项D：构建ℎ(x)=x−ℎx−1，x>0，则ℎ′(x)=1−1x，

令ℎ(x)>0，解得x>1；令ℎ(x)<0，解得0<x<1；可知ℎ(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增，

则ℎ(x)≥ℎ(1)=0，可得x−lnx−1≥0，当且仅当x=1时，等号成立，

t>0可得t−lnt−1≥0【解析】解：因为函数y=f(x)是R上的奇函数，

所以f(0)=0，

因为g(x)=f(x)+1,x≤03x−1,x>0，

所以g(0)=f(0)+1=0+1=1，

则g(g(0))=g(1)=31−1=2．

故答案为：【解析】解：令bn=1n(n+1)=1n−1n+1，

其前2024项的和为1−12+12−13+…+12024−12025=1−1【解析】解：由f(x−1)=f(x+2)可得f(x)=f(x+3)，

所以周期T=3，当x∈[0,3)时，f(x)=x2−3x+1ex，

令f(x)=0，解得x1=3−52∈(0,1)，x2=3+52∈(2,3)，

即一个周期内有2个零点，因为f(1012)=f(337×3+1)，

所以y=f(x)在[−1012,1012]上的零点个数为2×(2×337+1)=1350．

故答案为：1350

15.解：(1)因为函数f(x)=ax3+bx2的图象过点P(−1,2)，所以−a+b=2．

又因为f′(x)=3ax2+2bx，且f(x)在点P处的切线恰好与直线3x+y+4=0平行，

所以f′(−1)=3a−2b=−3，由−a+b=23a−2b=−3，

得：a=1b=3，所以f(x)=x3+3x2．

(2)由(1)知：f(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

由f′(x)<0得−2<x<0，由【解析】(1)根据函数的图象过点P，得到关于a，b的一个关系式，再根据函数在x=−1处的导数为−3，又得到关于a，b的一个关系式，可求a、b的值．

(2)利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值．

16.解：(1)等差数列{an}的公差d>0，a4=5，a1，a3，a7成等比数列，

所以a32=a1a7，即(a4−d)2=(a4−3d)(a4+3d)，

所以(5−d)2=(5−3d)(5+3d)，

解得，d=1或d=0(舍)，

故an=a4+(n−4)d=5+n−4=n+1，

因为数列{bn}的前n项和公式为Sn=2bn−2(n∈N∗)，

所以Sn−1=2bn−1−2(n≥2)，【解析】(1)结合等比数列与等差数列的性质即可求解an，结合数列和与项的递推关系及等比数列的通项公式可求bn；

(2)先求出cn，然后结合错位相减求和即可求解．

17.解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

因为f(−1)=a−b+c=0，f(4)=16a+4b+c=5，

若选①，f(12+x)=f(32−x)，则f(x)的图象关于x=1对称，

故b=−2a，

联立a−b+c=016a+4b+c=5b=−2a，可得a=1，b=−2，c=−3，

所以f(x)=x2−2x−3；

若选②，函数f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于x=1对称，

故b=−2a，

联立a−b+c=016a+4b+c=5b=−2a，可得a=1，b=−2，c=−3，

所以f(x)=x2−2x−3；

若选③f(2)=4a+2b+c=−3，

联立a−b+c=016a+4b+c=54a+2b+c=−3，可得a=1，b=−2，c=−3，

所以f(x)=x2−2x−3；

(2)g(x)=log2(x2+3)−log2(x+1)=log23+x2x+1，x∈(−1,2]，

令t=x+1，则x=t−1，t∈(0,3]，

因为y=t+4t−2≥2t⋅4t−2=2，当且仅当t=4t，即t=2时取等号，

g(x)可化为y=ℎ(t)=log23+(t−1)2t=log2(t+【解析】(1)结合所选条件，利用待定系数法可求函数解析式；

(2)先对g(x)等进行化简，结合对数函数的性质及基本不等式先求出g(x)的最小值，若对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈(−1,2]，使得g(x2)≤f(x1)+mx1成立，则g(x2)min≤f(x1)+mx1成立，分离参数，结合恒成立与最值关系的转化即可求解．

18.解：(1)定义域为(0,+∞)，∵f′(x)=lnx+1−2ax，

∴g(x)=lnx+1−2ax，

∵g′(x)=1x2−2a=1−2axx，

当a≤0时，g′(x)>0恒成立，

g(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，令g′(x)>0，则1−2ax>0，解得x<12a，

令g′(x)<0，则1−2ax<0，解得x>12a，

∴g(x)在(0,12a)单调递增，在(12a,+∞)单调递减．

综上，当a≤0时，g(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>0时，g(x)在(0,12a)单调递增，在(12a,+∞)单