2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若3a−1=2a，则a等于(

)A.1 B.−1 C.15 D.2.对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.若某三角形的三边长分别为4、8、x，则x的值可以是(

)A.3 B.4 C.5 D.134.下列正多边形中，能够铺满地面的是(

)A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形5.若a>b，则下列不等式一定成立的是(

)A.a−1<b−1 B.b−a<0 C.a2<b6.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(

)A.x+2x+4x=34685 B.x+2x+3x=34685

C.x+2x+2x=34685 D.x+7.将如图所示的正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是(

)A.72°

B.144°

C.150°

D.216°8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为(

)A.3

B.4

C.5

D.69.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形DEFG按如图方式拼在一起，延长AE交FG于点H，则∠FEH的度数为(

)A.10°

B.15°

C.18°

D.20°10.如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足(

)A.PA=PC B.PA=PE

C.∠APE=90° D.∠APC=∠DPE二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.十边形的外角和的度数是______．12.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为点C、E.若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE=______．13.如图，△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE.若AE=6，则B，D两点的距离为______．

14.已知关于x、y的方程组2x+m=1,y=m+3若用含x的代数式来表示y，则y=______．15.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx+4n=−4的解是______．x−2−1012mx+2n20−2−4−616.有一条65cm长的塑料卷尺.若在刻度4cm处折叠(如图1所示)，上层(阴影层)与下层的整数刻度就会叠合在一起，如刻度0与8，1与7，2与6，3与5叠合.若沿上层刻度2cm的位置用剪刀剪开(如图2所示)，并将中间叠合的那段展开铺平，可得到三段卷尺.小明同学选择在刻度30cm处将该卷尺折叠，并在上层某整数刻度处剪开并展平，得到三段卷尺，若其中一段长是另一段长的3倍，则上层剪开处的刻度是______cm．

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：x−32−18.(本小题8分)

解方程组：x−y=2①2x+y=16②．19.(本小题8分)

解不等式组，并把不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来．

x−1>4x+11①3(x−2)−1≤2(1+x)②20.(本小题8分)

某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书共100本.已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．

(1)求甲、乙两种书的单价分别为多少元；

(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD．

(1)求∠A的度数；

(2)AB与EC平行吗？请说明理由．22.(本小题10分)

在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，△ABC的三个顶点均在“格点”上，每个小正方形的边长均为1．

(1)在方格图中，将△ABC沿着射线BB′方向平移，使点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；

(2)请直接写出直线BB′与线段A′C′的位置关系，不必说明理由；

(3)试求出在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积．23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE．

(1)求∠E的度数；

(2)当AB//DE时，求∠DAC的度数．24.(本小题13分)

阅读理解：

定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”.例如，方程2x−1=1的解是x=1，同时x=1也是不等式x+1>0的解，则称方程2x−1=1的解x=1是不等式x+1>0的“友好解”．

(1)试判断方程32x−2=12x+1的解是不是不等式x−32>0的“友好解”？不必说明理由；

(2)若关于x、y的方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，求k的取值范围；

(3)25.(本小题13分)

在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在直线AC、AB上，∠ADE=∠ABC．

(1)如图1，当点D在边AC上，点E在边AB上时，试说明：DE⊥AB；

(2)如图2，当点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上时，直线DE与BC交于点F，点G在EF上，且∠F=2∠DGA，AG平分∠EAC吗？请说明理由；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BG，当BG平分∠ABC时，将△AGB沿AG折叠至△AGH，试判断∠HGD与∠F之间的数量关系，并说明理由．

答案解析1.A

【详解】解：3a−1=2a，

3a−2a=1，

a=1，

故选：A．

2.D

【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；

B.不是中心对称图形，不符合题意；

C.不是中心对称图形，不符合题意；

D.是中心对称图形，符合题意；

故选：D．

3.C

【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，8，x，

∴8−4<x<8+4，

即4<x<12，

故选：C．

4.B

【详解】解：A.正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；

B.正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面；

C.正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面；

D.正十二边形每个内角为150°，不能整除360°，所以不能铺满地面；

故选：B．

5.B

【详解】解：∵a>b，

∴a−1>b−1，

∴选项A错误，不符合题意；

a>b，

b−a<0一定成立，例如：a=2，b=−4时，−4−2<0，故B正确，符合题意；

∵a>b，

a2>b2，

∴选项C错误，不符合题意；

∵a>b，

∴−a<−b，故D错误，不符合题意；

6.A

【详解】解：设他第一天读x个字，

根据题意可得：x+2x+4x=34685，

故选：A．7.C

【详解】解：由题知，

360°÷5=72°，

所以当正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转72°的整数倍后，能与原图形重合，

显然四个选项中只有C选项符合题意．

故选：C．

8.A

【详解】解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，

∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6；

在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线，9.C

【详解】解：正五边形ABCDE的外角∠DEH=360°5=72°，

正方形DEFG的内角∠DEF=90°，

∴∠FEH=90°−72°=18°，

故选：10.D

【详解】解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．

由对称性可知：∠EPD=∠FPD，

∵∠CPA=∠FPD，

∴∠APC=∠DPE，

∴DP+PB最小时，点P应该满足∠APC=∠DPE，

故选D．11.360°

【详解】解：∵任意多边形的外角和等于360°，

∴十边形的外角和的度数为360°．

故答案为：360°．

12.3

【详解】解：∵△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，

∴BE=AC=5，BC=DE=2，

∴CE=BE−BC=5−2=3，

故答案为：3．

13.3

【详解】解：∵△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE，

∴AC=CE，

∵AE=6，

∴AC=3，

∴BD=AC=3，

故答案为：3．14.−2x+4

【详解】解：2x+m=1①y=m+3②，

由①得，m=1−2x③，

将③代入②得，y=1−2x+3，

即y=−2x+4，

故答案为：−2x+4．15.x=0

【详解】解：由表中可知：当x=−1时，mx+2n=0，当x=0时，mx+2n=−2，

所以−m+2n=02n=−2，

解得：m=−2n=−1，

代入方程2mx+4n=0得：−4x−4=−4，

解得：x=0，

故答案为：x=016.9或12或25

【详解】解：设上层剪开处的刻度是x cm，则得到三段卷尺的长度分别为x cm，2(30−x)cm，[65−x−2(30−x)]=(5+x)cm，

当x=3×2(30−x)时，x=1807(不符合题意，舍去)

当x=3(5+x)时，x=152(不符合题意，舍去)；

当2(30−x)=3x时，x=12；

当5+x=3x时，x=52(不符合题意，舍去)；

当2(30−x)=3(5+x)时，x=9；

当5+x=3×2(30−x)时，x=25．

综上所述，上层剪开处的刻度是9或12或25．17.解：去分母，得3(x−3)−2(2x+1)=−6，

去括号，得3x−9−4x−2=−6，

移项、合并同类项，得−x=5，

两边同时乘以−1，得x=−5．

【详解】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．

18.解：x−y=2①2x+y=16②，

①+②，可得3x=18，

解得x=6，

把x=6代入①，可得：6−y=2，

解得y=4，

∴原方程组的解是x=6y=4【详解】应用加减消元法，求出方程组的解即可．

19.解：解不等式①得：x<−4，

解不等式②得：x≤9，

则不等式组的解集为x<−4，

将不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来如下：

【详解】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

20.解：设甲、乙两种书的单价分别为x元和y元，依题意得，

2x+y=100,3x+2y=165.

解得

x=35,y=30.

答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．；

(2)设该校购买甲种书a本，则购买乙种书(100−a)本，依题意得，

35a+30(100−a)≤3200，

解得

a≤40．

所以该校最多可以购买甲种书40【详解】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

21.解：(1)根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠ACB=180°，

∵∠A=∠B=2∠ACB，

∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB=180°，

∴∠ACB=36°，

∴∠A=2∠ACB=72°；

(2)AB与EC平行，理由如下：

由(1)可知：∠A=∠B=72°，

∴∠ACD=∠A+∠B=144°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠DCE=ACE=12∠ACD=72°，

∴∠DCE=∠B=72°，

【详解】(1)根据三角形内角和定理及∠A=∠B=2∠ACB得∠ACB=36°，进而可得∠A的度数；

(2)由(1)可知∠A=∠B=72°，则∠ACD=∠A+∠B=144°，再由角平分线定义得∠DCE=ACE=12∠ACD=72°，由此得22.解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

(2)由图可得，直线BB′⊥A′C′．

(3)在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积为S四边形BB′C′C=4×3=12．【详解】(1)根据平移的性质作图即可．

(2)由图可得出答案．

(3)求出四边形BB′C′C的面积即可．

23.解：(1)由图形旋转的特征可得：∠E=∠C．

∵∠B=40°，∠BAC=80°，

∴∠C=180°−∠B−∠BAC=60°．

∴∠E=60°．

(2)如图1，当DE在AB下方时．

由图形旋转的特征可得：∠D=∠B=40°．

∵AB//DE，

∴∠BAD=∠D=40°．

∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°．

如图2，当DE在AB上方时．

∵AB//DE，

∴∠BAD+∠D=180°，

∴∠BAD=180°−∠D=180°−40°=140°．

∴∠DAC=360°−∠BAC−∠BAD=360°−80°−140°=140°．

综上所述，∠DAC的度数为40°或140°．

【详解】(1)依据题意，由图形旋转的特征可得：∠E=∠C，再由∠B=40°，∠BAC=80°，可得∠C=180°−∠B−∠BAC=60°，进而可以得解；

(2)依据题意，根据当DE在AB下方时和当DE在AB上方时．分别进行分析即可得解．

24.解：(1)解方程32x−2=12x+1，得x=3，

解不等式x−32>0，得x>3，

所以方程32x−2=12x+1的解不是不等式x−32>0的“友好解”；

(2)解法一：2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，

由②−①，得

3x−4y=3−k，

由32x−2y>7，得：3x−4y>14，

∴3−k>14，

解得k<−11；

解法二：2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，

由②×3+①，得17x=17k+17，

x=k+1，

把x=k+1代入②，得y=k，

∵方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，

∴32(k+1)−2k>7，

解得k<−11；

(3)解法一：由3(x−1)=k，得x=k3+1，

∵k<3，

∴k3<1，

∴k3+1<2，即x<2，

由4x−1<x+2m，得

x<2m+13，

∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1<x+2m的“友好解”，

∴2m+13≥2，

解得

m≥52，

∴m的最小整数值为【详解】(1)根据若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”判断即可；

(2)根据“定义”解答即可；

(3)根据“定义”解答即可．

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