2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(3−4i)z=2i，则|z|=(

)A.1 B.15 C.25 2.已知e1,e2是夹角为60°的单位向量，则a=−2eA.150° B.120° C.60° D.90°3.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为(

)A.54m B.47m C.50m D.44m4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2−c2=4，C=A.33 B.233 5.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，A′B′=B′C′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(

)A.2

B.3

C.56.已知a，b，c是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若a⊥b，b⊥c，则a/​/c

B.若a与b异面，则至多有一条c与a，b都垂直

C.若α/​/β，b⊥β，c⊥b，则c一定平行于α和β

D.若c⊂α，b⊂β，α⊥β，则存在a同时垂直c，b7.古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，则此“阳马”外接球的表面积为(

)A.41π2 B.41π4 C.8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1=2,D,E分别为棱BC，BB1的中点，FA.66

B.34

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若复数z=i1+i.则复数z−在复平面内对应的点位于第一象限

B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i，则|z|=1

C.3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n为实数)在复数集内的一个根，实数n的值为26

D.若复数z满足若10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形

C.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形

D.若11.已知平面α/​/平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA=6，PD=8，AC=9，则BD的长为(

)A.16 B.24 C.14 D.24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.向量p在基底{a,b}下的坐标为(1,2)，则向量p在基底13.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则a+b+csinA+sinB+sinC=______．14.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为DA=52m，CB=5m.又测得AB的长为5m，CD的长为5四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．

(1)求满足a=mb+nc的实数m，n．

(2)若d满足16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，BC=2,∠BCD=π6,△BCD的面积为3+12．

(1)求BD；

(2)17.(本小题15分)

如图，已知直角三角形ABC的斜边BC/​/平面α，A在平面α上，AB，AC分别与平面α成30°和45°的角，BC=6．

(1)求BC到平面α的距离；

(2)求平面ABC与平面α的夹角．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF//CD；

(2)若AB=2，∠DAB=60°，PD=42，求直线BE与平面PAD19.(本小题17分)

如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A，B，C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形．

(1)求证：平面POA⊥平面PBC；

(2)若圆锥底面半径为2，高为22，求点A到平面PBC的距离．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：(3−4i)z=2i⇒z=2i3−4i=2i(3+4i)(3−4i)(3+4i)=6i−825=−825+625【解析】解：由题意得：a⋅b=(−2e1−e2)⋅(3e1−2e2)=−6e12+e1⋅e2+2e22=−6+1×1×12+2=−7【解析】解：由题可得在直角△ABM中，∠AMB=45°，|AB|=36，

所以|AM|=362，

在△AMC中，∠AMC=180°−60°−45°=75°，∠MAC=15°+45°=60°，

所以∠ACM=180°−75°−60°=45°，

所以由正弦定理可得|AM|sin45∘=|CM|sin60∘，

所以|CM|=362×3222=36【解析】解：由余弦定理可知cosC=a2+b2−c22ab，

所以cosπ3=(a+b)2−c2−2ab2ab【解析】解：根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，

如图，

由斜二测法则知AB=2A′B′=2，BC=B′C′=1，

所以AC=AB2+BC6.【答案】D

【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

对于A，令a=AB，b=AD，c=AA1，符合题意，但是a⊥c，故A错误；

对于

B，令a=AB，b=CC1，两直线异面，

在正方体中与BC平行或重合的直线与异面直线都垂直，故B错误；

对于C，令α为平面ABCD，β为平面A1B1C1D1，b=BB1，BC⊥b，符合α/​/β，b⊥β，c⊥b，

但BC⊂平面ABCD，故C错误；

对于D，令α为平面ABCD，β为平面BB1C7.【答案】D

【解析】解：因为四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，AB=BC=4，PA=3，

将四棱锥P−ABCD补成以AB，AD，AP为邻边的长方体，

则长方体体对角线即为外接球的直径，

所以PB=PD=AB2+AP2=5，

设外接球的半径为R，

所以(2R)2=AB2+AD2+AP【解析】解：由于三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，BB1=2，

所以CC1⊥底面ABC，CF⊂底面ABC，

所以CC1⊥CF，

故C1F=C1C2+CF2=2+FC2，

故当CF⊥AB时，CF最小，线段C1F的长度取最小值，

由于线段C1F的最小值为5，即2+CF2=5，

解得CF=9.【答案】BCD

【解析】解：对于A，复数z=i1+i=12+12i，所以复数z−=12−12i在复平面内对应的点位于第二象限，选项A错误；

对于B，由(1+2i)z=2+i，则|1+2i||z|=|2+i|，解得|z|=1，选项B正确；

对于C，由题意知，3+2i和3−2i是方程2x2+mx+n=0两根，则n2=(3+2i)(3−2i)=13，解得n=26，选项C【解析】解：对于A，因为sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，所以A>B，A正确；

对于B，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，B正确；

对于C，因为acosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，

即△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；

对于D，因为三角形有两解，所以bsinA<a<b，即a的取值范围为(1,2)，D【解析】解：连接AB，CD，

当P在平面α与平面β的同侧时，

∵α/​/β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，

∴AB/​/CD，可得PAAC=PBBD，

∵PA=6，AC=9，PD=8，

∴69=8−BDDB，解得BD=245；

当P在平面α与平面β之间时，

同理可得PAPC=PBPD，

∵PA=6，AC=9，PD=8，

∴63=PB812.【答案】(3【解析】解：由已知得p=a+2b①，

设m=a+b，n=a−b，解得a=m+n2，b=m−n【解析】解：∵∠A=60°，b=1，c=4，

∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=1+16−2×1×4×12=13，可得a=13【解析】解：如图，作BE//AD且BE=AD，连接DE，又AD⊥AB，则四边形ABED是矩形，

BE⊥AB.又BC⊥AB，所以∠CBE是所求二面角的平面角，

因为DE/​/AB，BC⊥AB，则BC⊥DE，

又BE⊥DE，BC∩BE=B，BC，BE⊂平面BCE，

所以DE⊥平面BCE，而CE⊂平面BCE，

所以DE⊥CE，DE=AB=5，

所以CE=DC2−DE2=25×6−25=55，BE=AD=52，

由题可知BC=5，

则15.【答案】解：(1)根据题意，向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，

若a=mb+nc，则有3=−m+4n2=2m+n，

解得m=59,n=89

(2)设d=(x,y)，

由题意可得a+b=(2,4)，

因为d//(a+b)，则4x−2y=0，①

又|【解析】(1)由向量的坐标运算列方程组，解出即可；

(2)设d=(x,y)，由向量共线的坐标表示和模长计算解出即可．

16.【答案】解：(1)因为BC=2,∠BCD=π6,△BCD的面积为3+12，

即S△BCD=12BC⋅CD⋅sin∠BCD=3+12，

解得CD=3+1；

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2【解析】(1)由△BCD的面积可得CD的值，再由余弦定理可得BD的大小；

(2)由正弦定理可得sin∠BAD及cos∠BAD的大小，在三角形中，由两角和的正弦公式进而可得17.【答案】解：(1)过B作BE⊥α，垂足为E，过C作CF⊥α，垂足为F，连AE、AF、EF，

则∠BAE=30°，∠CAF=45°，

设BC到平面α的距离为d，因为BC/​/平面α，所以BE=CF=d，

在直角三角形BEA中，sin30°=dAB，所以AB=d12=2d，

在直角三角形CAF中，AC=2d，

在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，则36=2d2+4d2，

得d=6；

(2)由(1)知，AB=26,AC=23，

则S△ABC=12AB⋅AC=62，

在△AEF中，【解析】(1)过B作BE⊥α，垂足为E，过C作CF⊥α，由题意可得∠BAE=30°，∠CAF=45°，设BC到平面α的距离为d，因为BC/​/平面α，所以BE=CF=d，在两个直角三角形中，可得AC，AB的表达式，再在ABC中，由勾股定理可得d的值；

(2)由(1)可知△ABC的面积，由余弦定理可得∠EAF的余弦值，进而求出它的正弦值，进而求出△AEF的面积，求出两个面积之比，即求出平面ABC与平面α的夹角．18.【答案】(1)证明：∵平面ABE与直线PC相交于点F，∴平面ABE∩平面PCD=EF，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB/​/CD，

∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB/​/平面PCD，

∵AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PCD=EF，∴EF/​/CD；

(2)解：连接BD，取AD中点H，连接BH、EH，

∵菱形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，

∵H是AD中点，∴BH⊥AD，

∵PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PD，

∵PD、AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴BH⊥平面PAD．

∴∠BEH是直线BE与平面PAD的所成角，

∵E是PD中点，PD=42，∴DE=12PD=22．

∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，

∵H为AD中点，∴DH=12AD=1，Rt△DEH中，EH=DE2+DH2=3，

∵等边△ABD【解析】(1)根据线面平行的判定定理，证出AB/​/平面PCD，然后根据平面ABE∩平面PCD=EF，利用线面平行的性质定理证出EF//CD；

(2)连接BD，取AD中点H，连接BH、EH，根据线面垂直的判定定理，证出BH⊥平面PAD，可得∠BEH是直线BE与平面PAD的所成角，然后在Rt△BEH中利用锐角三角函数的定义算出答案．19.【答案】解：(1)证明：连结A