2023-2024学年安徽省宣城市高一下学期期末调研测试数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省宣城市高一下学期期末调研测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度(单位：m/s)的数据分别为42，38，45，43，41，47，46，44，则这组数据中的75%分位数是(

)A.44.5 B.45 C.45.5 D.462.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinC，2b=3c，则aA.2 B.3 C.23 D.3.若向量a，b满足a=(1,1)，|b|=1，且(a−b)⋅bA.30∘ B.45∘ C.60∘4.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(

)A.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件

B.事件“至少一次击中”与事件“至多一次击中”为互斥事件

C.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

D.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件5.在△ABC中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且DE=λAB+μAC，则A.−12 B.−1 C.126.如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为(

)

A.13 B.23 C.7.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是(

)

A.110 B.710 C.358.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，B1P=2PC，D1Q=3QA.35 B.153 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=2−i1+2i，(其中i为虚数单位)，则下列说法中正确的是(

)A.z+z=0 B.z的虚部为−i

C.z⋅z=110.在△ABC中，若sinC+sin(B−A) =sin2A，则A.等比三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形11.如图，在正三棱锥P−ABC中，PB=2AC=26，D，E分别是棱AC，PB的中点，M是棱PC上的任意一点，则下列结论中正确的是A.PB⊥AC

B.异面直线DE与AB所成角的余弦值为13

C.AM+MB的最小值为42

D.三棱锥P−ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若样本中男生有33人，则n=

．13.如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AC=2，BC=4，∠ACB=60∘，则点A到平面SBC的距离为

．

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠ACB=60∘，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD=2，则△ABC面积的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，c=2bcosB，(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为334，求BC边上中线16.(本小题15分)已知|a|=2，|b(1)求|(2)当实数k为何值时，ka−2b与(3)若a，b不共线，ka−b与4a17.(本小题15分)

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且∠PAB=π3．(1)求证：平面PBE⊥平面PAB;(2)求三棱锥P−ABE的体积和表面积．18.(本小题17分)

某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中a的值;(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数;(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在[50,70)内的概率．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3．

(1)若AD⊥PB，求：向量CP在向量DA上的投影向量的模;(2)当AD⊥PB，且AD=1时，四棱锥P−ABCD是否有外接球?若有，请求出四棱锥P−ABCD的外接球的表面积；(3)若AD⊥DC，且AD=3，求二面角A−CP−D的正切值．答案解析1.【答案】C

【解析】解：将最终的成绩(环数)从小到大重新排列：38，41，42，43，44，45，46，47，

8×75%=6，则75%分位数为45+462=45.5，

故选：2.【答案】D

【解析】

解：因为sinA=2sinC，

所以a=2c，

又2b=3c，

所以b=32c，

所以3.【答案】B

【解析】解：向量a、b满足：|a|=2，|b|=1，∵(a−b)⋅b=0，∴a·b=1，

可得a·b=|a||b|cos4.【答案】A

【解析】解：A事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，正确；

B：事件“至少一次击中”与事件“至多一次击中”为互斥事件，不对，可以同时发生；

C：事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件，不对，可以同时发生；

D：事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件，不对，可以同时发生；5.【答案】A

【解析】解：DE=DC+6.【答案】C

【解析】解：在正四面体ABCD中，设O为底面BCD的中心，则AO⊥平面BCD，

因为F为BC的中点，所以D，O，F三点共线，

设正方体的棱长为a，则DF=32a，DO=32a×23=33a，

设H为DO中点，因为E为AD中点，则EH//AO，所以EH⊥平面BCD，

则∠EFH为EF与平面BCD所成角，

EH=17.【答案】B

【解析】解：易知五个三角形面积从大到小以此为：4，4，2，1，1

从中任意取2个三角形，总共有4+3+2+1=10种取法，

只有取出4，4，；4，2；4，2这三种不符合要求，其他7种均符合要求

故答案为78.【答案】D

【解析】解：延长BP交CC1于点R，则CRB1B=CPB1P=12，即R为CC1中点，

连接QR，取A1B1中点H，连接BH，则BH

//QR，

所以B，H，Q，R四点共面，BH=BR=2QR=25，QH=17，RH=26，

在△BRH中，RH边上的高9.【答案】AC

【解析】解：对于选项A，∵z=2−i1+2i=2−i1−2i5=−i，

∴z+z=−i+i=0，故A对；

对于选项B，，z的虚部为−1，故B错；

对于选项C，z⋅10.【答案】BC

【解析】解：因为在△ABC中，所以A+B+C=π，

所以sin⁡C=sin⁡[π−(A+B)]=sin⁡(A+B)，

所以由题意有：

sin(B+A)+sin(B−A)=sin2A，

即sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA−cosBsinA=2sinAcosA，

所以cosA(sinA−sinB)=0，

所以cosA=0或sinA−sinB=0，若cosA=0，则A=π2，此时△ABC为直角三角形，

若sinA−sinB=0，因为A+B+C=π，所以A=B，此时△ABC为等腰三角形11.【答案】ACD

【解析】解：如图1，连接PD，BD.由正三棱锥的性质可知PA=PC，AB=AC=BC．

因为D是棱AC的中点，所以AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD．

因为PB⊂平面PBD，所以PB⊥AC，故A正确；

如图1，取BC的中点F，连接DF，EF，DE.因为D，F分别是棱AC，BC的中点，所以DF/​/AB，DF=3，

则∠EDF是异面直线DE和AB所成的角(或补角)．

作PO⊥BD，EH⊥BD，垂足分别是O，H．

因为AB=AC=BC=23，所以BD=3．

因为AC⊥平面PBD，

PO⊂平面PBD，

所以AC⊥PO，

又PO⊥BD，AC∩BD=D，AC，BD⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，

则O为平面ABC的中心，故OB=2OD=2．

因为E是棱PB的中点，且PO//EH，所以H是OB的中点，所以OH=HB=1．

因为PB=26，BO=2，所以PO=25，所以EH=5，则DE=3．

因为E，F分别是棱PB，BC的中点，所以EF=6．

在△DEF中，由余弦定理可得cos∠EDF=DE2+DF2−EF22DE⋅DF=33，故B错误；

将平面PAC和平面PBC展开到一个平面上，如图2，连接AB．

所以AB⊥PC垂足为M时，AM+MB取得最小值，

因为PA=PB=PC=26，AC=BC=23，

12.【答案】60

【解析】解：由分层随机抽样的定义可得33n=900−405900，解得n=60．13.【答案】2【解析】解：在ΔABC中，AB2=AC2+BC2−2AC·BC·cos∠ACB=4+16−2×4×2×12=12，

AB=23，AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC，

因为SA⊥平面ABC，AC、AB⊂平面ABC，

所以SA⊥AC14.【答案】4【解析】解：在ΔABC中，S△ABC=12absin∠ACB=12b×CD×sin∠ACD+115.【答案】解：(1)∵c=2bcosB，

由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，即sinC=sin2B，

∵C=2π3，

∴当C=2B时，B=π3，即C+B=π，不符合题意，舍去，

∴C+2B=π，

∴2B=π3，即B=π6．

(2)∵△ABC面积为S△ABC=334，

∵A=B=π6，

∴a=b，

∴S△ABC=【解析】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，三角形面积公式，属于中档题．

(1)根据已知条件，运用正弦定理，即可求解B的大小．

(2)由题意，通过三角形面积公式，可求得a的值，再结合余弦定理即可求解．16.【答案】解：(1)因为|a|=2，|b|=3，(a+b)⋅b=8，

所以(a+b)·b=a·b+b2=a·b+9=8，得a·b=−1，

则|a+b|=(a+b)2

=a2+2a⋅b+b2

=【解析】本题考查了向量的数量积、向量垂直和向量平行，是基础题．

(1)先得出a·b=−1，再由|a+b|=(a+17.【答案】解：(1)由题可知PA⊥PE，PE=DE=1，BE=EC2+BC2=5，

因为AP=AB，∠PAB=π3，

所以△PAB为等边三角形，所以PB=2，

所以PB2+PE2=5=BE2，所以PB⊥PE．

因为PB∩PA=P，PB，PA⊂平面PAB，

所以PE⊥平面PAB．

又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

(2)由(1)得PE⊥平面PAB，所以VP−ABE=VE−PAB，

由三角形面积公式得S△PAB=12PA×PB×sinπ3【解析】本题考查了面面垂直的判定、棱锥的表面积和体积，是中档题．

(1)先得出PE⊥平面PAB，由面面垂直的判定即可得证；

(2)根据棱锥的表面积和体积公式计算即可．18.【答案】解：(1)0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+20a+0.0025×20=1，

解得：a=0.01．

(2)数学成绩在：30,50

频率

0.0050×20=0.1

，50,70

频率

0.0050×20=0.1

，70,90

频率

0.0075×20=0.15

，90,110

频率

0.0200×20=0.4

，110,130

频率

0.0100×20=0.2

，130,150

频率

0.0025×20=0.05

，样本平均值为：

40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩的平均数93分．由(1)知样本数据中数学考试成绩在90分以下所占比例为0.1+0.1+0.15=0.35，在110分以下所占比例为0.35+0.4=0.75因此，中位数一定位于90,110内，中位数为90+20×0.15据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩中位数约为97.5分.(3)解：由题意可知，50,70分数段的人数为100×0.1=10

(人)，70,90分数段的人数为100×0.15=15

(人)．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在50,70分数段内抽2人，分别记为A1，A2，

需在70,90分数段内抽3人，分别记为B1，B设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段50,70内”为事件A，则样本空间Ω=A1A而A的对立事件A=B1所以PA=310，所以P(A)=1−P(A)=710，即抽取的这

【解析】本题主要考查频率分布直方图，考查平均数，考查用样本估计百分位数，考查古典概型的计算及应用，考查对立事件，属于中档题．

(1)利用频率和为1，求出a的值；

(2)先估计中位数位于[90,110)内，再列式求解；

(3)由题意知，求出50,70和70,90分数段的人数，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段50,70内”为事件A，求出对立事件P(A19.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，

又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB．

因为BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，

根据平面知识可知AD/​/BC，再由前面推导知，

可知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，

所以向量CP在向量DA上的投影向量的模即为向量CB的模长1