高考数学大题精做专题04三角函数与平面向量结合问题(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题04三角函数与平面向量结合问题类型对应典例三角函数的定义与平面向量的运算相结合典例1三角恒等变换与平面向量运算相结合典例2三角函数的图象与平面向量相结合典例3三角函数的性质与平面向量、不等式相结合典例4三角函数图象的性质与平面向量运算相结合典例5平面向量的数量积运算与三角函数相结合典例6三角函数的性质与平面向量的数量积相结合典例7【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点和单位圆上的两点，，点是劣弧上一点，，．（1）若，求的值；（2）设，当的最小值为时，求的值．【思路引导】（1）根据任意角三角函数定义可求得，利用可求得，结合诱导公式可化简求出结果；（2）利用向量坐标表示可得到，可求得，根据二次函数性质可求得，从而利用的最小值构造方程可求得，根据角的范围可求得和，进而根据数量积的坐标运算可求得结果.【典例2】【江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题】在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．【思路引导】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．【典例3】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【思路引导】（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围【典例4】【河南省信阳市2019-2020学年高三第一次教学质量检测】已知函数，其中向量，，，.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得,再将所求变成后,利用两角差的余弦公式求得;(Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.【典例5】【陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高三上学期期中】已知向量，（ω＞0），且函数的两个相邻对称中心之间的距离是．（1）求；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围．【思路引导】（1）首先利用平面向量的数量积的应用求出函数的关系式，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的零点和方程之间的转换的应用，利用函数的定义域和值域之间的关系求出m的范围．【典例6】【辽宁省鞍山市第一中学2019-2020学年高三上学期11月月考】已知实数，，，若向量满足，且.（1）若，求；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围.【思路引导】（1）设出的坐标，结合、、，解方程，先求得的值，再求得的坐标.（2）利用向量模的运算、数量积的运算化简表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.设出的坐标，结合、，解方程，用表示出，根据的取值范围列不等式，解不等式求得的取值范围，进而求得的取值范围.【典例7】【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考】在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．【思路引导】(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得.则向量与的夹角为.(2)原问题等价于任意实数都成立.分离参数可得任意实数都成立.结合三角函数的性质求解关于实数的不等式可得.【针对训练】1.．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知向量，.（1）当，时，若向量，，且，求的值；（2）若函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，当

时，求函数的最大值和最小值．2.已知向量，函数的最大值为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.3.【河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中】已知点，，，设，，其中为坐标原点.（1）设点在轴上方，到线段所在直线的距离为，且，求和线段的大小；（2）设点为线段的中点，若，且点在第二象限内,求的取值范围.4.【河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期12月月考】已知向量，，其中，，函数的图像过点，点与其相邻的最高点的距离为．（1）求函数的单调递减区间；（2）计算的值．5.【河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试】已知向量，设函数.（1）若函数的图象关于直线对称，，求函数的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.6.已知，函数．（1）求的对称轴方程；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．7.【江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及对应的x值．8.已知向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，将函数的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的单调增区间.9.已知向量，，.（1）求函数的最大值及取得最大值时x的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.10.【黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考】已知为坐标原点，，，若.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若时，函数的最小值为，求实数的值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题04三角函数与平面向量结合问题类型对应典例三角函数的定义与平面向量的运算相结合典例1三角恒等变换与平面向量运算相结合典例2三角函数的图象与平面向量相结合典例3三角函数的性质与平面向量、不等式相结合典例4三角函数图象的性质与平面向量运算相结合典例5平面向量的数量积运算与三角函数相结合典例6三角函数的性质与平面向量的数量积相结合典例7【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点和单位圆上的两点，，点是劣弧上一点，，．（1）若，求的值；（2）设，当的最小值为时，求的值．【思路引导】（1）根据任意角三角函数定义可求得，利用可求得，结合诱导公式可化简求出结果；（2）利用向量坐标表示可得到，可求得，根据二次函数性质可求得，从而利用的最小值构造方程可求得，根据角的范围可求得和，进而根据数量积的坐标运算可求得结果.解：（1）由可知：，（2）由题意得：，当时，，解得：【典例2】【江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题】在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．【思路引导】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可；（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．解：（1）因为，，，所以，且.因为，所以，即，所以，即．（2）因为，所以．依题意，．因为，所以．化简得，，所以．因为，所以．所以，即．【典例3】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.试题思路引导：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围试题解析：（1）由题意知．的过图象过点和，所以即解得（2）由（1）知．由题意知．设的图象上符合题意的最高点为，由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入得，因为，所以，因此．由Z得Z，所以函数的单调递增区间为【典例4】【河南省信阳市2019-2020学年高三第一次教学质量检测】已知函数，其中向量，，，.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得,再将所求变成后,利用两角差的余弦公式求得;(Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.解：（Ⅰ）若，则，即，由∴，即，则，则.（Ⅱ）∵不等式在上恒成立，∴，即在上恒成立，当，则，，则当，即时,取得最大值，最大值为，当，即时,取得最小值，最小值为,则,得，即实数m的取值范围是.【典例5】【陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高三上学期期中】已知向量，（ω＞0），且函数的两个相邻对称中心之间的距离是．（1）求；（2）若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围．【思路引导】（1）首先利用平面向量的数量积的应用求出函数的关系式，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的零点和方程之间的转换的应用，利用函数的定义域和值域之间的关系求出m的范围．解：（1）向量，，所以sinωx•cosωxcos2ωx．函数的两个相邻对称中心之间的距离是．所以函数的最小正周期为，由于ω＞0，所以，所以f（x）＝sin（4x）．则f（）sin0．（2）由于f（x）＝sin（4x）．则在上恰有两个零点，即0，即m，由于，所以，在时，函数的图象与y＝m有两个交点，最高点除外．当时，m，当时，m，所以当m时，函数的图象在在上恰有两个零点．【典例6】【辽宁省鞍山市第一中学2019-2020学年高三上学期11月月考】已知实数，，，若向量满足，且.（1）若，求；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围.【思路引导】（1）设出的坐标，结合、、，解方程，先求得的值，再求得的坐标.（2）利用向量模的运算、数量积的运算化简表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得的取值范围.设出的坐标，结合、，解方程，用表示出，根据的取值范围列不等式，解不等式求得的取值范围，进而求得的取值范围.解：（1）设，则，∵，由得，得，得，得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，或，∴当时，，，当时，，，所以或.（2），∵在上为增函数，所以对称轴，即，设，则，又∵，且，∴，.∴，即，，∴，∴.【典例7】【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考】在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．【思路引导】(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得.则向量与的夹角为.(2)原问题等价于任意实数都成立.分离参数可得任意实数都成立.结合三角函数的性质求解关于实数的不等式可得.解析：（1）由题意，，，所以，，设向量与的夹角为,所以.因为，即，所以.又因为，所以,即向量与的夹角为.（2）因为对任意实数都成立，而,所以，即任意实数都成立..因为，所以任意实数都成立.所以任意实数都成立.因为，所以任意实数都成立.所以，即，又因为，所以【针对训练】1.．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知向量，.（1）当，时，若向量，，且，求的值；（2）若函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，当

时，求函数的最大值和最小值．【思路引导】（1）先将和用坐标形式表示出来，然后根据向量平行对应的坐标表示得到的值，然后利用将进行变形即可求值；（2）计算并化简，根据相邻两对称轴之间的距离为求解出的值，然后根据范围即可求解出的最大值和最小值.解：（1）因为，，又因为，所以，又因为，所以，所以；（2），因为相邻两对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，此时，，此时.2.已知向量，函数的最大值为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.【解析】（Ⅰ）因为的最大值为，所以（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到因为所以的最小值为最大值为所以在上的值域为3.【河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中】已知点，，，设，，其中为坐标原点.（1）设点在轴上方，到线段所在直线的距离为，且，求和线段的大小；（2）设点为线段的中点，若，且点在第二象限内,求的取值范围.【思路引导】（1）过点作的垂线，垂足为点，可得出，由锐角三角函数的定义求出，可得出为等边三角形，可求出的值，然后在中利用余弦定理求出；（2）由题中条件求出、、的坐标，化简的解析式为，再根据的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出的取值范围.解：（1）过作的垂线，垂足为，则，在直角三角形中，，又，，所以为正三角形.所以，从而.在中，；（2），点为线段的中点，，且点在第二象限内，，，从而，，，，则，因为，所以，从而，，因此，的取值范围为.4.【河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期12月月考】已知向量，，其中，，函数的图像过点，点与其相邻的最高点的距离为．（1）求函数的单调递减区间；（2）计算的值．【思路引导】（1）先求出，则为函数的图象的一个最高点，又点与其相邻的最高点的距离为，所以，可得，再将点代入求出即可求出，最后令解之即可求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的最小正周期，则求出、、、的值代入计算即可.解：（1）因为，，则点为函数的图象的一个最高点．点B与其相邻的最高点的距离为，，得．函数的图象过点，即.，．，由，得，．的单调递减区间是，．（2）由（1）知，，是周期为的周期函数，且，，，而，5.【河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试】已知向量，设函数.（1）若函数的图象关于直线对称，，求函数的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.思路引导：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数，利用函数的图象关于直线对称，且可得，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当时，求出函数的单调性，函数有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数的取值范围.试题解析：解：向量，，（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．（2）由（1）知，∵，∴，∴，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减．又，∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．6.已知，函数．（1）求的对称轴方程；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（I）利用平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用可得对称轴方程；（II）原不等式化为，利用可得结果；（Ⅲ）恒成立，等价于，利用，求得，可得，从而可得结果.【详解】（I），令，解得．∴的对称轴方程为．（II）由得，即，∴．故x的取值集合为．（Ⅲ）∵，∴，又∵在上是增函数，∴，又，∴在时的最大值是，∵恒成立，∴，即，∴实数的取值范围是．7.【江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题】在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及对应的x值．【思路引导】（1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）由题意得1sin（2x），再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．解：（I）设，又所以所以所以当时，最小值为．（II）由题意得，则因为，所以所以当时，即时，取