高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.2复数的三角表示(真题测试)(原卷版+解析)

专题13.2复数的三角表示（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高一课前预习）若，则（

）A．30° B．60° C．90° D．120°2．(2023·全国·高一课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（

）A．＋i B．－＋iC．－－i D．－i3．(2023·全国·高一）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（

）A．负实数 B．纯虚数C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)5．(2023·江苏省天一中学高二期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．(2023·河北张家口·高一期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．(2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·江苏·高一课时练习）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（

）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为10.(2023·全国·高一）以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．11．(2023·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知复数，i为虚数单位，则以下命题正确的是（

）A． B． C． D．12．(2023·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A． B．当，时，C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数三、填空题13．(2023·全国·高一课前预习）计算(cos＋isin)÷＝________．14．(2023·全国·高一课时练习）将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．15.(2023·全国·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为，则__________．16．(2023·江苏泰州·高一期末）欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则______；______.四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)；(3)；(4)．18．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：(1)；(2)19．(2023·全国·高一）计算下列各式：(1)；(2)；(3)．20．(2023·全国·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式(1)；(2)．21．(2023·全国·高一专题练习）设，，，求的值22．(2023·全国·高一课时练习）若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．专题13.2复数的三角表示（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高一课前预习）若，则（

）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：B分析：根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.【详解】由，所以60°.故选：B2．(2023·全国·高一课前预习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（

）A．＋i B．－＋iC．－－i D．－i答案：A分析：根据复数i的辐角及旋转过程确定对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可.【详解】由，顺时针旋转，则对应辐角为，所以对应的复数是.故选：A3．(2023·全国·高一）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．答案：A分析：设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案.【详解】设复数的辐角为，则，所以，，因为，所以当时，满足要求，所以辐角主值为.故选：A4．(2023·全国·高一课时练习）向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（

）A．负实数 B．纯虚数C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)答案：B分析：设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由可得，利用复数除法运算的三角表示即可得出结果.【详解】由题意得，设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由，得或，.所以为纯虚数．故选：B.5．(2023·江苏省天一中学高二期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：C分析：根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．【详解】由棣莫弗公式知，，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．6．(2023·河北张家口·高一期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（

）A． B． C． D．答案：B分析：按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】，故选：B.7．(2023·全国·高三专题练习（文））欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式，得到，再利用复数的除法化简，然后利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为，，所以复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选：B．8．(2023·全国·高三专题练习（文））1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．答案：C分析：根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为所以，故A正确，，故B正确，故C错误，故D正确故选：C二、多选题9．(2023·江苏·高一课时练习）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（

）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为答案：ACD分析：由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．故选：ACD．10.(2023·全国·高一）以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．答案：AD分析：提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD11．(2023·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知复数，i为虚数单位，则以下命题正确的是（

）A． B． C． D．答案：ABD分析：根据共轭复数的定义，复数的四则运算规则复数的三角表示乘方运算规则计算即可.【详解】因为，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误，D正确；故选：ABD.12．(2023·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A． B．当，时，C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数答案：AC分析：根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数有，，而，所以选项A正确；根据复数的三角形式，时，此时，，选项B错误；时，根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；时，，n为偶数时，设,，所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.故选：AC.三、填空题13．(2023·全国·高一课前预习）计算(cos＋isin)÷＝________．答案：分析：根据复数除法的几何意义即可得结果.【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝.故答案为：14．(2023·全国·高一课时练习）将复数1＋i对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．答案：分析：利用复数的三角表示，化简即可得出答案.【详解】.由题意知:.故答案为：15.(2023·全国·高一课时练习）已知复数和的辐角主值分别为，则__________．答案：1分析：由题设条件可得，代两角和的正切公式即可求解【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，则，所以故答案为：16．(2023·江苏泰州·高一期末）欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（其中为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则______；______.答案：

分析：根据所提供的欧拉公式，将相关的数字代入计算即可.【详解】，；故答案为：-2，-1.四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)；(3)；(4)．答案：(1)，图见详解(2)，图见详解(3)，图见详解(4)，图见详解分析：对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三角形式.（1）设复数的模为，辐角主值为．6对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（2）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（3）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．（4）设复数的模为，辐角主值为．对应的向量如下图中，∵，，，又，∴，∴．18．(2023·全国·高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：(1)；(2)答案：(1)(2)分析：根据复数的运算及三角函数诱导公式求解即可.(1)因为，，所以(2)因为，，所以19．(2023·全国·高一）计算下列各式：(1)；(2)；(3)．答案：(1)(2)(3)分析：根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可.(1).(2).(3)方法一：.方法二：.20．(2023·全国·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式(1)；(2)．答案：(1)；(2)当时,；当时，.分析：（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；(1)，，(2).∵当时，，，∴，当时，，，∴.21．(2023·全国·高一专题练习）设，，，求的值答案：分析：将化为三角形式，利用复数三角