浙教版八年级数学下册专题2.1一元二次方程(知识解读)(原卷版+解析)

专题2.1一元二次方程（知识解读）【学习目标】1.掌握一元二次方程有关概念；2.会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；3.会用整体思想求解【知识点梳理】知识点1：一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等号两边都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。知识点2：一元二次方程的一般形式：一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。知识点3：一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点4：一元二次方程的重要结论：（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【典例分析】【考点1：一元二次方程的概念】【典例1】（2022秋•惠城区校级期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．y2+x﹣5＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0【变式1-1】（2022秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0【变式1-2】（2022秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+1＝0 B．2x＞2 C． D．x2+1＝5【典例2】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【变式2-1】（2020春•福山区期末）方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，字母a的取值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．0【变式2-2】（2021秋•盐池县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0【考点2：一元二次方程的一般形式】【典例3-1】（2022秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（）A．x2+6x﹣3＝0 B．x2+6x﹣1＝0 C．x2﹣6x+1＝0 D．x2﹣6x+3＝0【典例3-2】（2021秋•荆州月考）把方程x2+2x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣1，﹣6 B．1，﹣1，6 C．1，5，6 D．1，5，﹣6【变式3-1】（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（）A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0【变式3-2】（2021秋•川汇区期中）把方程x2＝2（x﹣3）化成一般式x2+mx+n＝0，则正确的是（）m＝2，n＝6 B．m＝2，n＝﹣6 C．m＝﹣2，n＝6D．m＝﹣2，n＝﹣6【典例4】（2022秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（）A．5，81 B．5x，81 C．5，﹣81 D．﹣5x，﹣81【变式4-1】（2022秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9【变式4-2】（2022秋•修水县期中）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6【考点3：一元二次方程的解】【典例5】（2022秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【变式5-1】（2021秋•龙江县期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【变式5-2】（2022•南京模拟）一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2【典例6】（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12【变式6-1】（2021秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【变式6-2】（2022秋•天河区校级期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021专题2.1一元二次方程（知识解读）【学习目标】1.掌握一元二次方程有关概念；2.会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；3.会用整体思想求解【知识点梳理】知识点1：一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等号两边都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。知识点2：一元二次方程的一般形式：一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。知识点3：一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点4：一元二次方程的重要结论：（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【典例分析】【考点1：一元二次方程的概念】【典例1】（2022秋•惠城区校级期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．y2+x﹣5＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0【答案】D【解答】解：A、y2+x﹣5＝0，是二元二次方程，故A不符合题意；B、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），是一元二次方程，故B不符合题意；C、x2+＝1，不是一元二次方程，故C不符合题意；D、x2+1＝0，是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．【变式1-1】（2022秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0【答案】D【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【变式1-2】（2022秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+1＝0 B．2x＞2 C． D．x2+1＝5【答案】D【解答】解：A．方程x+1＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；B.2x＞2是一元一次不等式，选项B不符合题意；C．方程＝4是分式方程，选项C不符合题意；D．方程x2+1＝5是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．【典例2】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【答案】C【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．【变式2-1】（2020春•福山区期末）方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，字母a的取值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．0【答案】B【解答】解：∵方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，∴a2﹣7＝2，且a+3≠0．解得a＝3．故选：B．【变式2-2】（2021秋•盐池县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0【答案】A【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，解得a≠1．故选：A．【考点2：一元二次方程的一般形式】【典例3-1】（2022秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（）A．x2+6x﹣3＝0 B．x2+6x﹣1＝0 C．x2﹣6x+1＝0 D．x2﹣6x+3＝0【答案】D【解答】解：将方程x2＝3（2x﹣1）转化为一般形式得x2﹣6x+3＝0．故选：D．【典例3-2】（2021秋•荆州月考）把方程x2+2x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣1，﹣6 B．1，﹣1，6 C．1，5，6 D．1，5，﹣6【答案】B【解答】解：将原方程转化为一般形式为x2﹣x+6＝0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．故选：B．【变式3-1】（2022秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（）A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0【答案】B【解答】解：将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得2x2﹣5x+8＝0．故选：B．【变式3-2】（2021秋•川汇区期中）把方程x2＝2（x﹣3）化成一般式x2+mx+n＝0，则正确的是（）m＝2，n＝6 B．m＝2，n＝﹣6 C．m＝﹣2，n＝6D．m＝﹣2，n＝﹣6【答案】C【解答】解：∵将原方程转化成一般式为x2﹣2x+6＝0，∴m＝﹣2，n＝6．故选：C．【典例4】（2022秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（）A．5，81 B．5x，81 C．5，﹣81 D．﹣5x，﹣81【答案】C【解答】解：一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式为4x2+5x﹣81＝0，∴一次项系数为5，常数项为﹣81，故选：C．【变式4-1】（2022秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9【答案】B【解答】解：去括号得3x2﹣9＝5x，移项得3x2﹣5x﹣9＝0，所以二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为﹣9．故选：B．【变式4-2】（2022秋•修水县期中）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6【答案】A【解答】解：一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为﹣6，故选：A．【考点3：一元二次方程的解】【典例5】（2022秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，解得m＝﹣1．故选：C．【变式5-1】（2021秋•龙江县期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】