高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)5.3.2函数的极值与最大(小)值(原卷版+解析)

5．3．2函数的极值与最大（小）值【题型归纳目录】题型一：求函数的极值题型二：由极值求参数的值或取值范围题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题题型四：不含参函数的最值问题题型五：含参函数的最值问题题型六：由函数的最值求参数问题题型七：导数在解决实际问题中的应用题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题题型九：利用导数研究恒成立问题题型十：利用导数研究不等式问题题型十一：利用导数证明不等式题型十二：利用导数研究零点问题【知识点梳理】知识点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．知识点二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．知识点三、函数极值与最值的简单应用1、不等式恒成立，求参数范围问题．一些含参不等式，一般形如，若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．2、证不等式问题．当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．【典型例题】题型一：求函数的极值例1．(2023·北京大兴·高二期中）已知函数，则（

）A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值例2．(2023·四川·雅安中学高二阶段练习（文））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（

）A． B． C． D．例3．(2023·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））关于函数的极值，下列说法正确的是（

）A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数变式1．(2023·全国·高二课时练习）函数（

）A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值变式2．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值变式3．(2023·四川资阳·高二期末（文））函数的极大值为（

）A． B． C．1 D．2变式4．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知函数，则的极大值点为（

）A．1 B． C．－1 D．2变式5．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．变式6．(2023·全国·高二课时练习）设函数，求的极大值点与极小值点.【方法技巧与总结】函数极值和极值点的求解步骤（1）确定函数的定义域．（2）求方程的根．（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．题型二：由极值求参数的值或取值范围例4．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例5．(2023·福建省漳州市第八中学高二期末）函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2例6．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．变式7．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若是函数的极值点，则a为（

）A． B．0 C．1 D．2变式8．(2023·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或变式9．(2023·北京市第三十五中学高二期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．变式10．(2023·四川凉山·高二期中（理））设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．变式11．(2023·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高二阶段练习）函数在处有极值10，则为（

）A． B．15 C．或15 D．不存在变式12．(2023·全国·高二专题练习）若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式13．(2023·全国·高二课时练习）已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】已知函数的极值求参数的方法（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题例7．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.例8．(2023·全国·高二课时练习）已知函数．(1)求证：有且仅有两个极值点的；(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．例9．(2023·重庆·高二阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若直线与的图像有三个不同的交点，求实数的范围.变式14．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有三个零点，求的取值范围．变式15．(2023·四川遂宁·高二期末（理））已知函数在和处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．变式16．(2023·湖北·武汉市第四十三中学高二期中）已知函数在与处都取得极值.(1)求，的值；(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．题型四：不含参函数的最值问题例10．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．例11．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为___________.例12．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数，则在上的最大值为___________.变式17．(2023·陕西·长安一中高二期末（理））已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．变式18．(2023·北京顺义·高二期末）函数的最小值为___________.变式19．(2023·广东揭阳·高二期末）函数的最大值为___．变式20．(2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数在区间上的最大值为______．【方法技巧与总结】求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求，解方程．（3）列出关于，，的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．题型五：含参函数的最值问题例13．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调性；(3)求函数在上的最小值．例14．(2023·浙江·高二期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．例15．(2023·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数，求：(1)求函数的单调区间；(2)求函数在的最小值.变式21．(2023·山东德州·高二期末）已知函数．(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；(2)当时．求函数f（x）的最大值．【方法技巧与总结】含参数的函数最值问题的两类情况（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．题型六：由函数的最值求参数问题例16．(2023·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．例17．(2023·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．例18．(2023·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.变式22．(2023·广东佛山·高二期末）已知函数的最小值为，则a的值为______．变式23．(2023·福建·泉州科技中学高二期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．变式24．(2023·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.变式25．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．变式26．(2023·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．变式27．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是___________.【方法技巧与总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．题型七：导数在解决实际问题中的应用例19．(2023·全国·高二课时练习）金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．）(2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？例20．(2023·广西·兴安县第二中学高二期中（文））现有一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．(1)试把方盒的容积表示为的函数；(2)当为何值时，方盒的容积最大？并求出方盒的容积的最大值．例21．(2023·江西抚州·高二期中（理））已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．(1)求比例系数；(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？变式28．(2023·四川·成都七中高二期中（理））第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？变式29．(2023·湖南·高二课时练习）如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%）【方法技巧与总结】解决最优问题应从以下几个方面入手（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题例22．(2023·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．例23．(2023·江苏连云港·高三期中）已知函数其中是自然对数的底数，为正数(1)若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；(2)若，求在区间上的最大值；(3)设函数在区间上是减函数，求的取值范围．例24．(2023·四川泸州·一模（文））已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为．(1)求函数的解析式；(2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围．变式30．(2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)讨论的极值点的个数.变式31．(2023·湖北·高三期中）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．【方法技巧与总结】（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．题型九：利用导数研究恒成立问题例25．(2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.例26．(2023·北京·高二期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围.例27．(2023·广西北海·高二期末（理））已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.变式32．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．变式33．(2023·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．变式34．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知函数（1）求的极值点；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．变式35．(2023·福建三明·高二期中）设函数.（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，恒成立，求的范围.【方法技巧与总结】解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤题型十：利用导数研究不等式问题例28．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例29．(2023·陕西师大附中高二期中（文））是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例30．(2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．变式36．(2023·云南·罗平县第一中学高二期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式37．(2023·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．变式38．(2023·四川遂宁·高二期末（文））定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．题型十一：利用导数证明不等式例31．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数，．(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若，存在两个极值点，，证明：．例32．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）证明：当时，．例33．(2023·山东菏泽·高二期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；(2)证明：f（x）≥1.变式39．(2023·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知函数.(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；(2)证明：.变式40．(2023·江苏·高二课时练习）求证：当时，．变式41．(2023·全国·高二课时练习）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，试证明．变式42．(2023·广东中山·高二期末）已知函数在处有极值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：．变式43．(2023·全国·高二单元测试）已知函数．（1）若，求的极值；（2）证明：当时，．变式44．(2023·全国·高二课时练习）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．【方法技巧与总结】利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．题型十二：利用导数研究零点问题例34．(2023·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.例35．(2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)求的导函数；(2)若在上有零点，求的取值范围．例36．(2023·全国·高二期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若至少有两个零点，求a的取值范围．变式45．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知，函数．(1)求函数的极值：(2)若函数无零点，求的取值范围．变式46．(2023·天津·南开中学高二期中）已知函数在处取得极值.(1)求在上的最小值；(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.变式47．(2023·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝－1，（1）求f(x)的单调区间；（2）当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．变式48．(2023·黑龙江·齐齐哈尔市教育局高二期末（文））已知函数的图像过点.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.变式49．(2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．变式50．(2023·北京海淀·高二期末）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围．【方法技巧与总结】解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题．【同步练习】一、单选题1．(2023·全国·高二专题练习）若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件2．(2023·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二课时练习）如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高二单元测试）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（

）．A．函数在内一定不存在最小值B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点D．函数在内可能没有零点5．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．6．(2023·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数的导函数的图像如图所示，以下结论：①在区间上有2个极值点②在处取得极小值③在区间上单调递减④的图像在处的切线斜率小于0正确的序号是（

）A．①④ B．②③④ C．②③ D．①②④7．(2023·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．(2023·广东·饶平县第二中学高二开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·江西·景德镇一中高二期中）已知函数，则（

）A．恒成立 B．是上的减函数C．在得到极大值 D．在区间内只有一个零点10．(2023·浙江·高二阶段练习）已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（

）A．B．C．若，则D．过仅能做曲线的一条切线11．(2023·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（

）A．有极大值，也有极小值B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点12．(2023·江苏苏州·高二期末）已知函数，当时，的取值范围是，则实数的值可以是（

）A． B． C．1 D．2三、填空题13．(2023·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．14．(2023·全国·高二单元测试）设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是______．15．(2023·全国·高二专题练习）定义域为的函数图象的两个端点为、，是图象上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点(点与点可以重合)，我们称的最大值为该函数的“曲径”.则定义域为上的函数的曲径是___________.16．(2023·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知函数，则下列说法正确的是__________．①有且只有一个极值点；

②设，则与的单调性不同；③有个零点；

④在上单调递增.四、解答题17．(2023·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））已知函数(1)求在处的切线的方程.(2)求的单调区间和极值.18．(2023·全国·高二单元测试）已知．(1)若有最值，求实数a的取值范围；(2)若当时，，求实数a的取值范围．19．(2023·全国·高二课时练习）求下列函数的驻点，并判断其是不是极值点，若是，求出对应的极值；若不是，请说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)．20．(2023·陕西·无高二期中（理））已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.21．(2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求处的切线方程；(2)求证：有且仅有一个极值点；(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.22．(2023·江西·上高二中高二阶段练习（文））己知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．23．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，一个圆柱内接于半径为6的半球面，设内接圆柱的高为，体积为.(1)建立关于的函数关系，并指出的取值范围；(2)利用导数，求出圆柱的最大体积.5．3．2函数的极值与最大（小）值【题型归纳目录】题型一：求函数的极值题型二：由极值求参数的值或取值范围题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题题型四：不含参函数的最值问题题型五：含参函数的最值问题题型六：由函数的最值求参数问题题型七：导数在解决实际问题中的应用题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题题型九：利用导数研究恒成立问题题型十：利用导数研究不等式问题题型十一：利用导数证明不等式题型十二：利用导数研究零点问题【知识点梳理】知识点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．知识点二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．知识点三、函数极值与最值的简单应用1、不等式恒成立，求参数范围问题．一些含参不等式，一般形如，若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．2、证不等式问题．当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．【典型例题】题型一：求函数的极值例1．(2023·北京大兴·高二期中）已知函数，则（

）A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值答案：C【解析】由题意函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.故选：C.例2．(2023·四川·雅安中学高二阶段练习（文））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，即函数为奇函数，，当时，，当时，，所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.故选：D.例3．(2023·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））关于函数的极值，下列说法正确的是（

）A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数答案：D【解析】对于A选项，取，则，，当时，，故不是函数的极值点，故A不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.故选：D.变式1．(2023·全国·高二课时练习）函数（

）A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值答案：C【解析】，当时，，所以在上单调递减，因此函数无最大值和最小值，也无极值，故选：C变式2．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值答案：B【解析】由题意得，令，解得或，当x变化时，、变化如下x-1+0-0+极大值极小值所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，当时，取得极小值，故A错误，故选：B变式3．(2023·四川资阳·高二期末（文））函数的极大值为（

）A． B． C．1 D．2答案：D【解析】的定义域为，，令，解得：或，令，解得：，所以在，上单调递增，在上单调减，所以在上取得极大值，所以.故选：D.变式4．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知函数，则的极大值点为（

）A．1 B． C．－1 D．2答案：B【解析】因为，所以f（x）在，上单调递减，在上单调递增，所以f（x）的极大值点为．所以B正确.故选：B.变式5．(2023·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，从而得到，即，所以．因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为．（2），由，得，由，得或，所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，所以函数的极大值点是．变式6．(2023·全国·高二课时练习）设函数，求的极大值点与极小值点.【解析】.令，得；令，得或，故的单调增区间为，单调减区间为及.当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，故函数f（x）有极大值点为，极小值点为.【方法技巧与总结】函数极值和极值点的求解步骤（1）确定函数的定义域．（2）求方程的根．（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．题型二：由极值求参数的值或取值范围例4．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，则，解得.故选：D.例5．(2023·福建省漳州市第八中学高二期末）函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2答案：A【解析】因为在处有极值，所以，解得所以故选：A例6．(2023·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】；在上没有极值，，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.变式7．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若是函数的极值点，则a为（

）A． B．0 C．1 D．2答案：D【解析】，是函数的极值点，所以，所以.故选：D.变式8．(2023·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或答案：B【解析】，又时有极值10，解得或当时，此时在处无极值，不符合题意经检验，时满足题意故选：B变式9．(2023·北京市第三十五中学高二期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．答案：B【解析】由，又有极大值、极小值，所以有两个变号零点，则，整理得，可得或.故选：B变式10．(2023·四川凉山·高二期中（理））设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，因为函数f(x)＝lnx＋在内有极值，所以在内有解，即在内有解，，设，当时，单调递减，所以，要想方程在时有解，只需，故选：A变式11．(2023·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高二阶段练习）函数在处有极值10，则为（

）A． B．15 C．或15 D．不存在答案：B【解析】由，得则，解之得或当时，，则在定义域上单调递增，在处无极值，不符合题意，舍去.当时，，则在处取极小值10，符合题意.则故选：B变式12．(2023·全国·高二专题练习）若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】∵在定义域R内不存在极值，∴有两个相等的实数根或没有实数根，∴，∴．故选：D变式13．(2023·全国·高二课时练习）已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】（1）当时，当时，，当时，，则在处取到极小值，不符合题意；（2）当时，函数无极值，不符合题意；（3）当时，当时，，当时，，则在处取到极大值，符合题意；（4）当时，，函数无极值，不符合题意；（5）当时，当时，，当时，，则在处取到极小值，不符合题意；综上所述，故选：．【方法技巧与总结】已知函数的极值求参数的方法（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题例7．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.【解析】（1），因为在处取得极值3，所以，即，解得.，经验证，满足题意，所以（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.由（1）知，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递增3单调递减单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为.作函数图象如下：所以实数的取值范围是.例8．(2023·全国·高二课时练习）已知函数．(1)求证：有且仅有两个极值点的；(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．【解析】（1）依题意，，令，即，因为恒成立，则有两个根，不妨令，即，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，分别是的极大值点和极小值点，所以有且仅有两个极值点的．（2）由（1）知是关于x的方程的两根，即有，，因，则，解得或，当时，，，则，，由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，即，解得；当时，，，则，，函数在，上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，即，解得，所以，当时，；当时，．例9．(2023·重庆·高二阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若直线与的图像有三个不同的交点，求实数的范围.【解析】（1）因为，所以，由，解得或，所以的增区间为，由，解得，所以的减区间为，综上，的增区间为，，减区间为；（2）由（1）知，当，函数取得极大值，当，函数取得极小值，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知.变式14．(2023·甘肃酒泉·高二期末（理））已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）由题可得，由题意得即解得，，，所以．（2）因为，令，得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．（3）因为，，由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，依题意，要使有三个零点，则，即，解得，所以的取值范围为．变式15．(2023·四川遂宁·高二期末（理））已知函数在和处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．【解析】（1）由题可得，由题意，得，则，解得，经检验，此时满足在和处取得极值，所以；（2）令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵，∴由，解得或，由，解得，∴在时取得极大值，在时取得极小值，依题意得，解得，故m的取值范围为．变式16．(2023·湖北·武汉市第四十三中学高二期中）已知函数在与处都取得极值.(1)求，的值；(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.【解析】（1）由求导得：，依题意，，解得，此时，，当或时，，当时，，即，是函数的极值点，所以.（2）由（1）知，，令，，由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取极大值，当时，取极小值，因方程有三个实数根，则函数有三个零点，于是得，解得，所以实数的取值范围是.【方法技巧与总结】（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．题型四：不含参函数的最值问题例10．(2023·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．答案：0【解析】因为定义域为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．故答案为：．例11．(2023·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为___________.答案：1【解析】函数，，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以，所以在时单调递增，其最大值为.故答案为：1例12．(2023·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数，则在上的最大值为___________.答案：16【解析】由题意，得，，时，，递减，时，，递增，所以，又16，，所以最大值为16．故答案为：16．变式17．(2023·陕西·长安一中高二期末（理））已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．答案：16【解析】因为，所以，设，因为为偶函数，，，解得．因此，所以，令，解得，，．当时，；当时，；当时，；当，时，．在区间，上是增函数，在区间，、，上是减函数又，的最大值为．故答案为：变式18．(2023·北京顺义·高二期末）函数的最小值为___________.答案：1【解析】，由得，得，在上递减，在上递增，所以的极小值也是最小值为．故答案为：1．变式19．(2023·广东揭阳·高二期末）函数的最大值为___．答案：【解析】函数，∴当时，单调递增，所以，当时，，，函数单调递减，所以；综上，函数的最大值为.故答案为：.变式20．(2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数在区间上的最大值为______．答案：【解析】对求导，可得：故在区间上单调递减，在区间单调递增可得：，，可得：故在区间上的最大值为故答案为：【方法技巧与总结】求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求，解方程．（3）列出关于，，的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．题型五：含参函数的最值问题例13．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调性；(3)求函数在上的最小值．【解析】（1）当时，，则，所以，，所以曲线在处的切线方程为.（2）由题意得，因为恒成立，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；②当时，在单调递减，在单调递增，；③当时，在上单调递增，.例14．(2023·浙江·高二期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．【解析】（1）由可得，当时，即，，单调递增；当时，即，在上，，单调递增；在上，，单调递减；当时，即，在上，，单调递增；在上，，单调递减；（2）当时,,由（1）知在上，，单调递增；在上，，单调递减，所以；，所以；所以；令，当时，单调递增，则，即；当时，，，单调递减，则，即，故的取值范围为.例15．(2023·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数，求：(1)求函数的单调区间；(2)求函数在的最小值.【解析】（1）由题设，，令，解得；令，解得.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知，当时在上单调递减，，当时，在上单调递减，在上单调递增，.变式21．(2023·山东德州·高二期末）已知函数．(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；(2)当时．求函数f（x）的最大值．【解析】（1）由题意可知，所以，即3-3a=0解得a=1，经检验a=1，符合题意．所以a=1．（2）由（1）知，令，，当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－0＋－7+6a单调递增单调递减单调调增2－3a，由上可知，所以的最大值为．当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：x－21＋0－－7+6a单调递增单调递减2－3a，由上可知，所以f（x）的最大值为．当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，综上所述，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为－7+6a．【方法技巧与总结】含参数的函数最值问题的两类情况（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．题型六：由函数的最值求参数问题例16．(2023·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．答案：【解析】当时，，函数单调递增，且无最大值，当时，，，当时，，当时，，当时，取得极大值也是最大值为，要使有最大值，则，，故答案为：．例17．(2023·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．答案：1【解析】的定义域为，，当时，，在区间上递增，没有最小值.当时，在区间递减；在区间递增.所以在区间上的最小值为.故答案为：例18．(2023·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.答案：1或.【解析】因为，，当时，，所以是上的减函数，函数无最小值，不符合题意；当时，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，由，得，解得或.故答案为：1或.变式22．(2023·广东佛山·高二期末）已知函数的最小值为，则a的值为______．答案：-3【解析】函数的定义域为R，.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的最小值为，解得：.故答案为：-3.变式23．(2023·福建·泉州科技中学高二期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．答案：【解析】，所以，所以，当时，单调递增，所以当时，，此时值域为R，符合题意；当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，所以满足题意；当时，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，要想值域为R，则要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是故答案为：.变式24．(2023·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.答案：【解析】，令解得；令，解得或由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，，解得故答案为：变式25．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．答案：【解析】，当时，单调递减；当或时，单调递增，∴在取得极大值，处取得极小值.令，整理得，解得：或∵函数在上存在最小值，∴，解得.故答案为：.变式26．(2023·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．答案：【解析】由题设，，令即，则，又函数在上有最大值，即存在极大值，则，可得，令，则，所以当时，，故在上递减，所以上，上，满足在上存在极大值.综上，.故答案为：变式27．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是___________.答案：【解析】因为函数，所以，所以对，函数的值域为；由，，得，当时，，函数单调递减，不符合题意，所以，令，解得，则，否则不符题意则函数在上单调递减，在上单调递增，故，作出函数在上的大致图象，如图，由图象可知，要使对，使得成立，则，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.【方法技巧与总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．题型七：导数在解决实际问题中的应用例19．(2023·全国·高二课时练习）金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．）(2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？【解析】（1）由题意，当时，；当时，.所以.（2）当时，，令，解得.故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，故.当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万斤时，所获年利润最大，为9万元.例20．(2023·广西·兴安县第二中学高二期中（文））现有一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．(1)试把方盒的容积表示为的函数；(2)当为何值时，方盒的容积最大？并求出方盒的容积的最大值．【解析】（1）由题意知：方盒的底面是边长为的正方形，高为，.（2），当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，当时，.例21．(2023·江西抚州·高二期中（理））已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．(1)求比例系数；(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？【解析】(1)设每小时的燃料费为，则，当，每小时的燃料费为720元，代入得．(2)由（1）得．设全程燃料费为y，则，所以，令，解得（舍去）或，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以当时，y取得最小值，故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．(3)由（2）得当时，则y在区间上单调递减，所以当时，y取得最小值；若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，则当时，y取得最小值．综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．变式28．(2023·四川·成都七中高二期中（理））第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)由，得，所以.(2)由（1）知，，令，得，所以.当时，，则在区间内为减函数；当时，，则在区间内为增函数.所以在处取得最小值，此时.故需新建9个桥墩才能使y最小.变式29．(2023·湖南·高二课时练习）如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%）【解析】设，，设公路每千米的运费为，则铁路每千米的运费为，则配件厂到工厂A所需的总运费为令，即，得，解得（不合题意，舍去）当时，；当时，，即当时，函数取最小值.故处选在距点处km时运费最省.【方法技巧与总结】解决最优问题应从以下几个方面入手（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题例22．(2023·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．【解析】（1）当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，即函数在区间上的值域.（2）因为，，则，当时，所以在定义域上单调递增，不存在极值；当时令，解得或，又，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，，在处取得极小值，，当时令，解得或，又，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，，在处取得极小值，，综上可得：当时无极值，当时，，，当时，，．例23．(2023·江苏连云港·高三期中）已知函数其中是自然对数的底数，为正数(1)若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；(2)若，求在区间上的最大值；(3)设函数在区间上是减函数，求的取值范围．【解析】（1）由可得，由已知在处取得极值，所以,即，，又,即，.（2），，，当时，时，单调递减，当时，单调递增;当时，时，单调递减；故函数在区间上的最大值为：或.又，当，即时，函数的最大值为；当，即时，函数的最大值为.（3），在上是减函数，在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，又，当且仅当时等号成立..例24．(2023·四川泸州·一模（文））已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为．(1)求函数的解析式；(2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围．【解析】（1），则，由题意得，解得，，经检验，满足题意，（2），当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，若在区间上存在最小值，则，故m的取值范围为．变式30．(2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)讨论的极值点的个数.【解析】（1）当时，，，故在上单调递增，，.（2）,①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点.②当时,令,即，解得:或，令,即，解得故此时在递增,在递减,在递增,所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2，综上所述:时,无极值点，时,有2个极值点.变式31．(2023·湖北·高三期中）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．【解析】（1）若，有，定义域为则，得；得或所以，的减区间是，增区间是，；（2）∵，即：∴∴∴∴当或时，；当时，∴在，上递增，在上递减∴的极大值为，的极小值为.又∵当时，，当时，，．【方法技巧与总结】（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．题型九：利用导数研究恒成立问题例25．(2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】（1）解:由题知在上恒成立,即,,只需即可,即,记,,,,,在单调递减,;（2）由题知,在上单调递增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,记,,,,在单调递增,,只需即可,综上:.例26．(2023·北京·高二期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）∵，∴，令，解得：，所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，即函数单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由题可知，由（1）可知，当时，函数有最小值，∴，即，故的取值范围为.例27．(2023·广西北海·高二期末（理））已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为（2）在恒成立，则在恒成立即在恒成立令令，，，，则在上恒成立在上单调递增，在单调递增，在恒成立，则的范围是.变式32．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．【解析】（1）∵∴，由得或，且当或时，，当时，，∴的单调增区间为和，单调减区间为（2）依题意可得在上恒成立，令，则，令，易知在上单调递增，∵，∴，又∵，∴，使得，即有，且在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，即m的取值范围为．变式33．(2023·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题设，，又，，解得，．（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，∴实数的取值范围为．变式34．(2023·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知函数（1）求的极值点；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由题设，，∴时，，单调递减；时，，单调递增减；∴是的极小值点，无极大值点.（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，令，则，∴时，，递减；时，，递增；∴，故.变式35．(2023·福建三明·高二期中）设函数.（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，恒成立，求的范围.【解析】（1）由得：，且.由题意得：，即，又在切线上.∴，得.（2）当时，，得，当时，，当时，，此时.∴，即在上单调递增，则，要使恒成立，即，∴.【方法技巧与总结】解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤题型十：利用导数研究不等式问题例28．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．例29．(2023·陕西师大附中高二期中（文））是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】构造，则，因为定义域为，且，所以所以函数在上单调递增，不等式可化为：，即，所以有，解得：.即不等式的解集为：.故选：D例30．(2023·江西·金溪一中高二阶段练习（理））设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】构造函数，所以，又因为，所以，在上单调递增，因为，所以，不等式，可整理为，即，因为函数在上单调递增，所以.故选：D.变式36．(2023·云南·罗平县第一中学高二期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】令，

因为定义在上的函数满足，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式可转化为，即，所以ex＞10，所以x＞ln10，所以不等式的解集为.故选：B.变式37．(2023·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以.原不等式可化为，即.令，则，故在上单调递减，且由所以.故选：B.变式38．(2023·四川遂宁·高二期末（文））定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】令，则，∴在R上单调递减，又∵，∴，即，∴.故选：C.【方法技巧与总结】解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．题型十一：利用导数证明不等式例31．(2023·陕西·西安中学高二期中）已知函数，．(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若，存在两个极值点，，证明：．【解析】（1）∵，又在区间上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立；设，则，当时，，∴单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．（2）由（1）知：，满足．∴，不妨设，则．∴，则要证，即证，即证，也即证成立．设函数，则，∴在单调递减，又．∴当时，，∴，即.例32．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）证明：当时，．【解析】由题设，要证，只需证即可，令，则，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；故，即在上恒成立，∴，得证．例33．(2023·山东菏泽·高二期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；(2)证明：f（x）≥1.【解析】(1)因为，所以切线斜率为，又，所以切线方程为，即；(2)由解得，由解得，所以在单调递减，在单调递增，所以.变式39．(2023·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知函数.(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；(2)证明：.【解析】(1)当时，，由，得.设函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，且在上有2个零点.所以a的取值范围为.(2)证明：要证，只需证.当时，，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立.设函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当且仅当时，等号成立.故，因为，所以等号取不到，所以，即，所以.变式40．(2023·江苏·高二课时练习）求证：当时，．【解析】令，，则，所以单调递增的，∴，即，∴.变式41．(2023·全国·高二课时练习）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，试证明．【解析】（1）因为，所以．令，得；令，得．所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）由（1）知在上单调递减，所以时，，即，所以，即．变式42．(2023·广东中山·高二期末）已知函数在处有极值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：．【解析】（Ⅰ）由已知，，则

解得，

经检验，符合题意.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，．要证，只需证．即．

令，则．

令，解得．

，的变化情况如下表所示．1－0+单调递减1单调递增所以，时，有最小值．故成立变式43．(2023·全国·高二单元测试）已知函数．（1）若，求的极值；（2）证明：当时，．【解析】（1）,当时,；当时,当变化时,的变化情况如下表：单调递增单调递减因此,当时,有极大值,并且极大值为，没有极小值.（2）令函数,由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.又故在存在唯一零点.设为,则当时,；当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减又，所以，当时,.故.变式44．(2023·全国·高二课