高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题13含参数二次函数的最值问题(原卷版+解析)

微专题13含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（

）A．10，5 B．10，1C．5，1 D．以上都不对例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；(3)在区间上的最大值为，求实数的值．例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值.例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)当时，求函数的最小值(2)求函数的最小值为．例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数的增区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值．例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．题型三：定轴动区间型例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．(1)求的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，若函数最小值为2，求的值．例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．题型四：动轴动区间型例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数(1)当时，解关于的不等式(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，(1)当时，写出函数的单调递增区间；(2)当时，求函数在区间上的最小值；(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(

)A． B．－3 C．或－3 D．4例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．【过关测试】一、单选题1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；②函数的图象恒过定点；③函数有两个零点；④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．其中真命题的序号为（

）．A．①② B．②④ C．①④ D．②③2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（

）A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（

）A．单调递增且最大值为2 B．单调递增且最小值为2C．单调递减且最大值为-2 D．单调递减且最小值为-24．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．46．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（）.A．7 B．11 C．12 D．168．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（

）A． B．C．图象的对称轴为直线 D．f（x）的最小值为－1二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．110．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（

）A． B． C．最大值 D．最小值11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（

）A．在区间上无最大值B．在区间上最小值为C．在区间上既有最大值又有最小值D．在区间上最大值，有最小值12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（

）A．有最小值6 B．有最小值12C．有最大值26 D．有最大值182三、填空题13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______15．(2023·全国·高一专题练习）若函数在上的最小值为．则____．16．(2023·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．四、解答题17．(2023·全国·高一专题练习）如图，抛物线与轴交于点，，交轴于点C．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当时，函数有最小值，求的值．18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，其中．(1)若函数的图象关于直线对称，求的值；(2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．20．(2023·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数在区间上有最大值4，最小值0.(1)求函数的解析式；(2)设，且在的最小值为，求的值.21．(2023·全国·高一课前预习）（1）已知函数在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a的值；（2）已知函数，x∈[-1，1]，求函数的最小值．22．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最小值；(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．微专题13含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．(2023·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（

）A． B． C． D．最小值是，无最大值答案：C【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．故选：C．例2．(2023·全国·高一课前预习）函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（

）A．10，5 B．10，1C．5，1 D．以上都不对答案：B【解析】因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选：B.例3．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数的图像经过点，则函数在上的最小值为___________.答案：【解析】由题知，，解得则，所以当时，有最小值.故答案为：例4．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，当上时的最小值是________答案：-2【解析】，则二次函数在上单调递增，在上单调递减，在上，当时有最小值－2，故答案为：-2.例5．(2023·广西南宁·高一期末）已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______答案：80【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.故答案为：80题型二：动轴定区间型例6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最小值为．（1）求函数的解析式．（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，．若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以当时，，此时；当时，，此时函数在区间上单调递减，所以．综上，（2）因为时，，所以当时，，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或，所以实数t的取值范围为．例7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由，故在上递增，在上递减，当，则上递减，故最大值，当，则最大值，当，则上递增，故最大值，综上，的最小值为.故选：C例8．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．(1)若函数为偶函数，求实数的值；(2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；(3)求函数在区间上的最小值．【解析】（1）因为定义在上的函数为偶函数，所以，都有成立，即，都有成立，解得．（2）因为函数图象的对称轴为，所以要使函数在上具有单调性，则，或，即或，则的取值范围为．（3）①若函数在上单调递减，则，即，此时函数在区间上的最小值为．②若函数在上单调递增，则，即，此时函数在区间上的最小值为．③若函数在上不单调，则，即，此时函数在区间上的最小值为．综上所述，函数在区间上的最小值为.例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)求在上的最小值；(3)在区间上的最大值为，求实数的值．【解析】(1)时，，结合函数图像得：在上的最大值是，最小值是；(2)的对称轴是，①当，即时，函数在上递增，当时，取到最小值；②当，即时，函数在上先递减后递增，当时，取到最小值；③当，即时，函数在上递减，当时，取到最小值，综上所得，当时，最小值；当时，取到最小值；当时，取到最小值.(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在内的可能情况知，中必有一个是最大值；若，代回验证：，符合最大；若，，代回验证：，符合最大；或．例10．(2023·广东湛江·高一期末）已知函数.其中，且.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值.【解析】(1)由题知，函数，其中当时，则函数在区间单调递减，在区间单调递增；当时，，则函数在区间递增∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.(2)因为，所以当即时，函数在递增，在递减且，，若，即时，，若，即时，，当即时，函数在递增，在递减，在递增，且，，而时，，即，所以时，，∴综上所述，当时，；当时，.例11．(2023·上海师大附中高一期末）已知函数（常数）.(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.【解析】(1)当时，函数，设且，则，因为，可得又由，可得，所以所以，即，所以函数是上是严格增函数.(2)由函数的定义域为关于原点对称，当时，函数，可得，此时函数为奇函数；当时，，此时且，所以时，函数为非奇非偶函数.(3)，当时,,函数在区间的最小值为；当时,函数的对称轴为：.若,在区间的最小值为；若,在区间的最小值为;若,在区间的最小值为；当时,,在区间的最小值为.综上所述：；例12．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)当时，求函数的最小值(2)求函数的最小值为．【解析】(1)，由，可知;由，可知.所以．(2)，1)当，在单调递减，在单调递增，故；

2)当，在单调递减，在单调递增，,

3)当，在单调递减，在单调递增，；

所以例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数的增区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值．【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由对称性即可补充完整图象，如图所示：由图可知，函数的递增区间为和；（2）根据题意，当时，，所以，因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，（3）当时，，对称轴为，当，即时，在上递增，所以；当，即时，在上递减，所以；当，即时，在上递减，在上递增，所以，综上，函数的最小值．例14．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数(1)函数f(x)在区间[1，3]有单调性，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值h(a)．【解析】(1)，在区间上单调，则或，所以或；(2)时，，在上是增函数，，时，，时在上是减函数，，综上，，题型三：定轴动区间型例15．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最小值；【解析】（1）因为函数的图象过点，所以又，所以，解得，所以；（2），，当时，即时，函数在上单调递减，所以，当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，所以；当时，函数在上单调递增，所以．综上：例16．(2023·江苏·高一单元测试）二次函数满足且．(1)求的解析式；(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．(3)设函数在区间上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)设，．则．从而，，又，，又，．(2)因为当时，不等式恒成立，所以在上恒成立．令，，．当时，单调递减，当时，，

所以．(3)当，即时，在单调递减，；当，即时，则在单调递减，单调递增，；当时，则在单调递增，．.例17．(2023·全国·高一期中）已知二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当（）时，求函数的最小值（用表示）．【解析】（1）因为二次函数，且满足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.（2）因为是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，，综上例18．(2023·全国·高一专题练习）已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．【解析】（1）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，函数在区间上的值域是；（2）当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；（3）函数的对称轴为，①当，即时，函数在上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当，即时，a时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．④当，即时，函数在上是减函数，故当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为．综上，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为，当时，函数的最大值为，最小值为例19．(2023·江苏南通·高一开学考试）已知关于的函数(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，若函数最小值为2，求的值．【解析】（1）因为，对称轴为，开口向上，若，则当时，函数有最大值为，若，则当时，函数有最大值为（2）若，则当时函数有最小值为，即，，不符合条件；若，则当时函数有最小值为，可得，符合条件；若，则当时函数有最小值为，即，解得，不符合条件；综上，的值为例20．(2023·全国·高一专题练习）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设，对称轴为，在区间上的最大值是．由已知得，．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，综上所述，得的表达式为：．题型四：动轴动区间型例21．(2023·江苏·楚州中学高一期中）已知函数(1)当时，解关于的不等式(2)函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．【解析】(1)不等式为，即，由可得；由可得或，故原不等式解集为.(2)因为由于，由题意或，若时，则，且或，当时，，不满足题意，舍去；当时，；若，则，且或当时，，当，符合题意；当，与题设矛盾，故舍去；当时，；综上所述：或，符合题意.例22．(2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．【解析】（1）当时，不等式，即为，即，所以，所以或，所以原不等式的解集为．（2），由题意或，这时解得，若，则，所以；若，即，所以，则，综上，或．例23．(2023·四川巴中·高一期中）已知，函数．(1)设，判断函数的奇偶性，请说明理由；(2)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）【解析】(1)当时，，其图象如图所示：由图象知：函数既不是奇函数也不偶函数；(2)，当时，由，解得，因为函数在区间上既有最大值又有最小值，如图所示：所以，，当时，由，解得，因为函数在区间上既有最大值又有最小值，如图所示：所以，.例24．(2023·江苏苏州·高一期末）已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数,故m＝0.(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在上单调递减，其中，，令得，，所以时，，.时，所以，因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为.例25．(2023·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知，函数，(1)当时，写出函数的单调递增区间；(2)当时，求函数在区间上的最小值；(3)设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）【解析】（1）当时，由二次函数的性质知，单调递增区间为，，，.（2）因为，，时，所以当，即时，（2）当，即时，（1）（3）①当时，图象如上图左所示由得，②当时，图象如上图右所示由得，例26．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．答案：【解析】，，令，得或．因为，，所以的最小值，的最大值，所以．故答案为：.例27．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）【解析】（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.所以恒成立，所以.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上的值得范围为，其中时，，函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；所以当时，，当时，.（3）因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，当时，当时，令，可得因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.题型五：根据二次函数的最值求参数例28．(2023·全国·高一专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．(1)求抛物线与轴的另一个交点坐标．(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．【解析】（1）方法一：∵抛物线经过（2，c）和（0，c），∴抛物线的对称轴为直线，∴（－1，0）的对称点为（3，0），即抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；方法二：将（－1，0），（2，c）分别代入得，解得，∴抛物线的表达式为，令得，，解得，，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．（2）∵，∴，，∴当时，当时取得最大值4，即，当或时取得最小值N，∵，∴，令得，，解得（舍去），，∴．例29．(2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(

)A． B．－3 C．或－3 D．4答案：C【解析】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．综上可知，a的值为或－3．故选：C．例30．(2023·全国·高一课时练习）函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】易得函数，若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．综上，实数a的取值范围是．故选:D.例31．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数的最小值是3，最大值是4，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】二次函数，由解得或，画出二次函数的图象如下图所示，由图可知，的取值范围是.故答案为：例32．(2023·湖北黄石·高一期末）已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．答案：【解析】因为，对称轴为，当时：在上单调递减，所以，无解；当时：在上单调递增，所以，解得：或，或，又，所以，;当时：在上单调递增，在上单调递减，此时，与矛盾；综上所述：，，此时故答案为：.【过关测试】一、单选题1．(2023·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数的图象过点，则；②函数的图象恒过定点；③函数有两个零点；④若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是．其中真命题的序号为（

）．A．①② B．②④ C．①④ D．②③答案：B【解析】①设幂函数为，因为的图象过点，所以，解得，则，在上递减，在上递减，所以，故错误；②令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，故正确；③令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示，由图象知：有1个交点，即函数有1个零点，故错误；④函数的图象，如图所示：，由图象知：若在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是，故正确．故选：B2．(2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上的最大值是M，最小值m，则（

）A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关答案：A【解析】函数的图象开口朝上，且对称轴为直线，①当时，在上单调递减，则，，此时，故的值与a无关，与b有关，②当时，在上单调递增，则，，此时，故的值与a无关，与b有关，③当时，，若时，，有，，故的值与a无关，与b有关，若时，，有，，故的值与a无关，与b有关，综上：的值与a无关，与b有关.故选：A.3．(2023·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（

）A．单调递增且最大值为2 B．单调递增且最小值为2C．单调递减且最大值为-2 D．单调递减且最小值为-2答案：A【解析】因为的图象开口向上，且对称轴为，所以在区间[2，4]上单调递增，最小值为，最大值为，又因为是奇函数，所以在区间上单调递增，且最小值为-2，最大值为2.故选：A4．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1.由，，当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意；当，时，，符合题意；当，时，，化简得又由当时，根据二次函数的性质，的值域为，当时，，必有，可得.综上，实数a的取值范围是.故选：B.5．(2023·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4答案：D【解析】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．6．(2023·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】当时，，易知当时，，因为，所以，所以当时，；当时，，综上，当时，．故选：D．7．(2023·河北省博野中学高一开学考试）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，则（m+2)(n+2）的最小值是（）.A．7 B．11 C．12 D．16答案：D【解析】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两个实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴（m+2)(n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1)2+7．∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t)2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1)2+7=16．故选：D．8．(2023·陕西商洛·高一期末）若函数满足，，则下列判断错误的是（

）A． B．C．图象的对称轴为直线 D．f（x）的最小值为－1答案：C【解析】由题得，解得，，所以，因为，所以选项A正确；所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；因为的对称轴为，所以选项C错误．故选：C二、多选题9．(2023·全国·高一课时练习）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．1答案：BC【解析】当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.10．(2023·全国·高一课时练习）定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（

）A． B． C．最大值 D．最小值答案：ABC【解析】由题可知，函数为定义在上的奇函数，则，已知在上的解析式，则当时，，则，所以当时，，可知，，且最大值为，无最小值，所以在上正确的结论是ABC.故选：ABC.11．(2023·浙江省龙游中学高一期中）已知函数，则下列结论有可能正确的是（

）A．在区间上无最大值B．在区间上最小值为C．在区间上既有最大值又有最小值D．在区间上最大值，有最小值答案：BCD【解析】二次函数图象的对称轴为直线.①当时，函数在区间上单调递增，则，；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，；③当时，函数在区间上单调递减，此时，.故A错误，BCD可能正确.故选：BCD.12．(2023·全国·高一单元测试）若，，那么（

）A．有最小值6 B．有最小值12C．有最大值26 D．有最大值182答案：AC【解析】因为，，所以，解得，即函数的定义域为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：AC三、填空题13．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）已知、两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最小值为______．答案：【解析】因为、两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为，又点在反比例函数的图象上，点在—次函数的图象上，所以，整理得，所以，即，所以，故二次函数，二次项系数为，故函数有最小值，最小值为．故答案为：14．(2023·全国·高一专题练习）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为______答案：4【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，当时，的最大值在处取得，，由二次函数的对