高考数学一轮复习考点探究与题型突破第33讲数系的扩充与复数的引入(原卷版+解析)

第33讲数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.考点1复数的概念[名师点睛]1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))＝z.[典例]1．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．(2023·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．(2023·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．1 B． C．2 D．4．（多选）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则[举一反三]1．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．2．(2023·北京八十中模拟预测）已知，，(i为虚数单位)，则（

）A． B．1 C． D．33．（多选）(2023·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（

）A．恒成立 B．z可能是纯虚数C．可能是实数 D．的最大值为4．(2023·浙江省临安中学模拟预测）复数满足，则的虚部为__________，__________．考点2复数的四则运算[名师点睛](1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.[典例]1．(2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．2．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．253．(2023·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2[举一反三]1．(2023·山东临沂·模拟预测）若复数满足，其中为虚数为单位，则=A． B． C． D．2．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若，则（

）A．1 B． C．2 D．3．(2023·全国·高考真题（文））若．则（

）A． B． C． D．4．(2023·北京·二模）已知复数满足，则__________，__________．5．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）若是虚数单位，则复数________．（写成最简结果）6．(2023·湖南师大附中三模）已知复数z满足（i为虚数单位），则_________.7．(2023·天津·静海一中模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则________8．(2023·重庆八中模拟预测）已知复数满足，则_________.9．(2023·广东惠州·一模）已知i是虚数单位，则复数的模等于___________.10．(2023·天津·耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数___________.考点3复数的几何意义[名师点睛]1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.[典例]1.(2023·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)，则z1＋z2在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2023·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.13.(多选)(2023·德州二模)已知复数z1＝eq\f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为－1C.zeq\o\al(4,1)＝4D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上[举一反三]1．(2023·北京市第五中学三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）3．（多选）(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（

）A．若，则或B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+iC．若点的坐标为，则对应的点在第三象限D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为4．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知复数z满足，其中是虚数单位，则z的虚部是________，复平面内对应点位于第_______象限．5．(2023·北京·北航实验学校模拟预测）在复平面内，复数对应的点在直线上，则实数___________．6．(2023·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.7．(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.考点4复数与方程[名师点睛](1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.[典例]【例】已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.(1)求实数a，b的值；(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.[举一反三]1．（多选）(2023·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（

）A．可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根C．可能为 D．该方程的各根之和为22．(2023·湖南师大附中一模）已知是关于x的方程的根，则实数_______．3.在复数集内解方程x2－ix＋i－1＝0.第33讲数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).2.复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.考点1复数的概念[名师点睛]1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))＝z.[典例]1．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.2．(2023·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件答案：A分析：根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可【详解】由题意，为纯虚数则设，则；当时，可取，则为纯虚数不成立.故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件故选：A3．(2023·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．1 B． C．2 D．答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】由题意可知，，所以复数的虚部为.故选：A.4．（多选）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：BD分析：对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可【详解】对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误，对于B，由，得，所以或，所以或，所以，所以B正确，对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，对于D，由，得，所以，所以D正确，故选：BD[举一反三]1．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．答案：A分析：先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:2．(2023·北京八十中模拟预测）已知，，(i为虚数单位)，则（

）A． B．1 C． D．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．（多选）(2023·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（

）A．恒成立 B．z可能是纯虚数C．可能是实数 D．的最大值为答案：ABD分析：首先根据题意得到，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.【详解】，对选项A，，，故A正确.对选项B，，当时，为纯虚数，故B正确.对选项C，令，即无解，故C错误.对选项D，，当且仅当时取等号.所以的最大值为，故D正确.故选：ABD4．(2023·浙江省临安中学模拟预测）复数满足，则的虚部为__________，__________．答案：

分析：先根据复数的除法运算求出复数，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.【详解】因为，所以，则的虚部为，，故答案为：；.考点2复数的四则运算[名师点睛](1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.[典例]1．(2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．答案：C分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C2．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25答案：B分析：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．3．(2023·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.4．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2答案：D分析：利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D[举一反三]1．(2023·山东临沂·模拟预测）若复数满足，其中为虚数为单位，则=A． B． C． D．答案：A【详解】因为，所以，，所以，故选A.2．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若，则（

）A．1 B． C．2 D．答案：A分析：根据虚数单位i的性质结合复数的除法运算，可求出z，即可求得.【详解】由题意得，故，故选：A．3．(2023·全国·高考真题（文））若．则（

）A． B． C． D．答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.4．(2023·北京·二模）已知复数满足，则__________，__________．答案：

分析：利用复数的除法化简得到，利用复数的模长公式即得.【详解】∵，∴，.故答案为：；.5．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）若是虚数单位，则复数________．（写成最简结果）答案：分析：由复数的除法运算直接化简可得.【详解】.故答案为：6．(2023·湖南师大附中三模）已知复数z满足（i为虚数单位），则_________.答案：2分析：利用复数的除法运算求得，然后求得【详解】，所以.故答案为：7．(2023·天津·静海一中模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则________答案：分析：根据复数的乘除运算法则，化简得，进而根据共轭复数得到，根据模长公式即可求解.【详解】由得,所以,故.故答案为:8．(2023·重庆八中模拟预测）已知复数满足，则_________.答案：分析：利用复数的除法和乘法运算求解.【详解】.故答案为：9．(2023·广东惠州·一模）已知i是虚数单位，则复数的模等于___________.答案：1分析：根据复数运算化简目标复数，再求其模长即可.【详解】因为，所以模为1.故答案为：1.10．(2023·天津·耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数___________.答案：.分析：根据复数模的运算公式，结合复数除法的运算法则进行运算即可.【详解】，故答案为：.考点3复数的几何意义[名师点睛]1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.[典例]1.(2023·珠海一模)设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)，则z1＋z2在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为复数z1＝i2021＝i，z2＝eq\f(|4－3i|,4＋3i)＝eq\f(5（4－3i）,25)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，所以z1＋z2＝eq\f(4,5)＋eq\f(2,5)i，故z1＋z2在复平面上对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(2,5)))，在第一象限.2.(2023·衡水联考)已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.1答案B解析因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq\r(a2＋（a－1）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2)，所以|z|的最小值为eq\f(\r(2),2).3.(多选)(2023·德州二模)已知复数z1＝eq\f(2,－1＋i)(i为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为－1C.zeq\o\al(4,1)＝4D.满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上答案AB解析由题意，复数z1＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点是(－1，－1)，位于第三象限，所以A正确；复数z1的虚部为－1，所以B正确；zeq\o\al(4,1)＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，得满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，eq\r(2)为半径的圆上，所以D不正确.[举一反三]1．(2023·北京市第五中学三模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】【详解】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.2．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）答案：B【详解】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.3．（多选）(2023·湖北·襄阳四中模拟预测）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（

）A．若，则或B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+iC．若点的坐标为，则对应的点在第三象限D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为答案：BCD分析：由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．【详解】对于选项A，设，只需即可，故错误；对于选项B，复数与分别表示向量与，表示向量的复数为，故正确；对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；故选：BCD．4．(2023·浙江·绍兴一中模拟预测）已知复数z满足，其中是虚数单位，则z的虚部是________，复平面内对应点位于第_______象限．答案：

1

一分析：利用复数除法运算法则计算出z，可得虚部及在复平面内对应点所位于的象限.【详解】，故z的虚部为1，其对应的点在第一象限.故答案为：1；一.5．(2023·北京·北航实验学校模拟预测）在复平面内，复数对应的点在直线上，则实数___________．答案：1【解析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解.【详解】，其在复平面内对应点的坐标为，由题意有：，则.故答案为：1.6．(2023·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.答案：分析：先求解出，从而得到对应点的坐标.【详解】由题意得：，对应的点的坐标为.故答案为：7．(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.答案：分析：利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数满