高考数学一轮复习考点探究与题型突破第34讲数列的概念及简单表示法(原卷版+解析)

第34讲数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.考点1由an与Sn的关系求通项[名师点睛](1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.[典例]1.(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列2.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求数列{an}的通项公式.[举一反三]1.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.考点2由数列的递推关系式求通项公式[名师点睛](1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通项.(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.[典例]1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn2.在数列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.3.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.4.(2023·广州调考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________.[举一反三]1．(2023·河南·高三开学考试（文））在数列中，，，则（

）．A．659 B．661 C．663 D．6652．(2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.3.已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式an＝________.考点3数列的性质[名师点睛]1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.2.求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项.[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-42.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)3.(2023·湖北·高三开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.[举一反三]1.(2023·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（

）A． B．0 C． D．2.(2023·浙江·模拟预测）已知数列{}满足，则（

）A． B． C． D．3.(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．4.已知数列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2（n－1）)(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.第34讲数列的概念及简单表示法1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.考点1由an与Sn的关系求通项[名师点睛](1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.[典例]1.(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A.an＝eq\f(1,n（n－1）)B.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))C.Sn＝－eq\f(1,n)D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列答案BCD解析∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n－1)＝eq\f(1,n（n－1）)，又a1＝－1不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2.))2.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求数列{an}的通项公式.解①令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2.[举一反三]1.已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.答案－2n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.答案eq\f(2,2n－1)解析因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2)，又由题设可得a1＝2，满足上式，故an＝eq\f(2,2n－1).考点2由数列的递推关系式求通项公式[名师点睛](1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1代入求出通项.(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.(4)形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.[典例]1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an等于()A.2＋lnn B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn D.1＋n＋lnn答案A解析因为an＋1－an＝lneq\f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分别相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).2.在数列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.答案eq\f(8,n（n＋1）)解析由an＋1＝eq\f(n,n＋2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)，故eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(2,4)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，以上式子累乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－3,n－1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(2,n（n＋1）).因为a1＝4，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）)(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）).3.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.答案2n＋1－3解析设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.4.(2023·广州调考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________.答案an＝2n－1，n∈N*解析因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.[举一反三]1．(2023·河南·高三开学考试（文））在数列中，，，则（

）．A．659 B．661 C．663 D．665答案：D分析：由累加法和等差数列的前项和可求出，代入化简即可求出.【详解】因为，所以，，…，，所以，故．故选：D.2．(2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.答案：分析：先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.【详解】由得，，则，即，又，所以.故答案为：.3.已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式an＝________.答案eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3)解析因为点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋eq\f(1,3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3))).因为a1＝3，所以a1＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))是首项为eq\f(10,3)，公比为4的等比数列.所以an＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3)×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(10,3)×4n－1－eq\f(1,3).考点3数列的性质[名师点睛]1.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.2.求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项.[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4答案：D分析：根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.【详解】因为，，，所以，则，，，…，所以数列是以3为周期的数列，则.故选：D.2.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)答案D解析因为an＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故选D.3.(2023·湖北·高三开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.答案：16分析：根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.【详解】由得,当时，单调递减，且，当时，，故当时，，当时，，且，所以当时，最小.故答案为：16[举一反三]1.(2023·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（

）A． B．0 C． D．答案：C分析：当为奇数时有，