新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课后提能训练新人教A版必修第二册

第六章6.2A级——基础过关练1．(多选)对于随意一个四边形ABCD，下列式子能化简为eq\o(BC,\s\up6(→))的有()A．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】ABD【解析】在A中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))．2．下列各式中运算的结果与向量eq\o(AC1,\s\up6(→))共线的有()①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【解析】由向量加法法则可知都对．3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向()A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反【答案】A【解析】因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，所以a＋b与a同向．4．若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2km B．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2km D．向东北方向航行(1＋eq\r(3))km【答案】B【解析】如图，易知tanα＝eq\f(1,\r(3))，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．又|a＋b|＝2km．故选B．5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)【答案】B【解析】由正六边形知eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2．故选B．6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有()A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向D．若a与b同向，则a＋b与b同向【答案】ACD【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝()A．eq\o(OH,\s\up6(→)) B．eq\o(OG,\s\up6(→))C．eq\o(FO,\s\up6(→)) D．eq\o(EO,\s\up6(→))【答案】C【解析】设a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，则a与eq\o(FO,\s\up6(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up6(→))．8．如图，在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝__________．【答案】eq\o(AC,\s\up6(→))【解析】利用平行四边形法则求解．9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝__________．【答案】1【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝1．10．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))；(2)eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0．证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))．(2)由向量加法的平行四边形法则，∵eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＋(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝0＋0＋0＝0．B级——实力提升练11．(多选)若a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是任一非零向量，则下列结论正确的有()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|【答案】AC【解析】∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．12．已知有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，则()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＞|eq\o(AB,\s\up6(→))| B．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|≥|eq\o(CD,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|≥|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))| D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＜|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|【答案】D【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＜|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|．13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是__________．①|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|；②|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|；③|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2．【答案】①②③【解析】如图，以AB，AC为邻边作▱ABDC，因为∠A＝90°，所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以①正确；因为|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以②正确；由勾股定理知|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2，所以③正确．14．如图，若P为△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，则∠ACB＝__________．【答案】120°【解析】因为