高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天专题强化三天体运动中的三种典型问题学案新人教版

专题强化三天体运动中的三种典型问题一、近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题1．同步卫星和赤道上物体：角速度相同，同步卫星轨道半径大，则线速度大。2．同步卫星和近地卫星：向心力都是由万有引力提供，是轨道半径不同的两个地球卫星，都满足v＝eq\r(\f(GM,r))，因此近地卫星的速度大。3．近地卫星和赤道上物体：做圆周运动的半径相同，由1、2结论可知，近地卫星的线速度最大。4．特别注意：赤道上物体的向心力由万有引力和支持力的合力提供，所以Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)不适用。例1a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为a1；b处于近地轨道上，运行速度为v1；c是地球同步卫星，离地心距离为r，运行速度为v2，加速度为a2；d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为R，则有(C)A．a的向心加速度等于重力加速度gB．d的运动周期有可能是20小时C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)D．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)[解析]本题考查地球表面的物体与卫星做圆周运动时的区别和联系。同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大。由eq\f(GMm,r2)＝ma可知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运行周期大于c的周期24h，故B错误；由a＝ω2r得，eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)，故C正确；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r,R))，故D错误。名师点拨卫星与赤道上物体运行问题解题技巧同步卫星是近地卫星与赤道上物体的联系桥梁，同步卫星与近地卫星符合相同规律，轨道半径越大，周期T越大，线速度v，角速度ω，向心加速度an越小；同步卫星与赤道上物体有相同的角速度ω和周期T。二、卫星的变轨与对接问题1．卫星的变轨两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的关系Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)轨迹变化由圆变为外切椭圆，或由椭圆变为外切圆由圆变为内切椭圆，或由椭圆变为内切圆速度和加速度变化两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度2．卫星的对接在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接。例2(多选)若“嫦娥四号”从距月面高度为100km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(AD)A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道ⅡB．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变[解析]要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；根据牛顿第二定律，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。名师点拨卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析(1)速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1，v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA，vB。在A点加速由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，则vA>v1，在B点加速由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因为在A点卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。(3)周期：设卫星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1，T2，T3，轨道半径分别为r1，r2(半长轴)，r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ轨道的机械能分别为E1，E2，E3，则E1<E2<E3。三、卫星的追及相遇问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。例3(2023·安徽池州联考)A、B两颗人造地球卫星在同一个平面内同向做匀速圆周运动，B星的轨道半径大于A星的轨道半径。A星绕地球做圆周运动的周期为2小时，经观测每过t小时A、B两颗卫星就会相遇(相距最近)一次。则A、B两颗卫星的轨道半径之比为(D)A．eq\r(1＋\f(2,t)3) B．eq\r(1－\f(2,t)3)C．eq\r(3,1＋\f(2,t)2) D．eq\r(3,1－\f(2,t)2)[解析]本题考查不同轨道卫星相距最近时的轨道半径关系的情况。A星运动的周期为T1＝2h，轨道半径为r1，设B星运动周期为T2，轨道半径为r2，经过t小时A、B两卫星就会相遇一次，表明A星比B星多转一圈，有(eq\f(2π,T1)－eq\f(2π,T2))t＝2π，解得T2＝eq\f(2t,t－2)小时；根据开普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，得A、B两卫星的轨道半径之比为eq\r(3,1－\f(2,t)2)，选项D正确，A、B、C错误。〔专题强化训练〕1．(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是(BCD)A．eq\f(v2,v3)＝eq\r(6) B．eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)C．eq\f(a2,a3)＝49 D．eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)[解析]近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，两卫星的轨道半径之比为1︰7，所以eq\f(v2,v3)＝eq\f(\r(7),1)，故A错误；地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度，根据v＝ωr，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1︰7，所以eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)，故B正确；根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝ma，a＝eq\f(GM,r2)，两卫星的轨道半径之比为1︰7，则eq\f(a2,a3)＝49，C正确；同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，根据a＝rω2，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1︰7，所以eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)，故D正确。2．(2023·苏州期中)(多选)如图所示，人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，然后在A点(近地点)点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在点B(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。关于卫星的发射和变轨，下列说法正确的是(CD)A．卫星在圆轨道Ⅰ上运行时的向心加速度和周期大于在圆轨道Ⅲ上的向心加速度和周期B．卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，动能减小，重力势能增大，机械能守恒C．若卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，经过A点时的速度大于经过B点时的速度D．如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则在该轨道上运行的任何卫星，其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同[解析]本题考查卫星变轨问题及不同轨道卫星运行参数的比较。根据卫星的运行规律，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，可知轨道半径越大，卫星的线速度、角速度以及向心加速度越小，周期越大，A错误；卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，变轨需要点火加速，因此机械能不守恒，故B错误；卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，根据开普勒第二定律可知，近地点的速度大，则卫星经过A点时的速度大于经过B点时的速度，故C正确；如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则卫星定位在赤道上空，因此在该轨道上运行的任何卫星，其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同，故D正确。3．(多选)如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T。若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的是(AC)A．在地球两极，地表重力加速度是eq\f(4π2r3,T2R2)B．卫星B的运行周期是eq\f(2Tt,T＋t)C．卫星B的轨道半径是req\r(3,\f(2t,2t＋T)2)D．若卫星B通过变轨与A对接之后，B的机械能可能不变[解析]本题考查卫星的追及、相遇问题。对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得地球的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，在地球两极，根据万有引力等于重力，可得m′g＝Geq\f(Mm′,R2)，联立解得g＝eq\f(4π2r3,R2T2)，故A正确；卫星A的运行周期等于地球自转周期T，设卫星