2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点14导数的综合应用(精练)(原卷版+解析)

第14练导数的综合应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．下列说法不正确的是（

）A．若函数满足则函数在处切线斜率为B．函数在区间上存在增区间，则C．函数在区间上有极值点，则D．若任意，都有，则有实数的最大值为2．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．7．已知函数若函数有三个零点，则（

）A． B． C． D．8．若函数在恒有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．10．若过点可作曲线三条切线，则（

）A． B． C． D．11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（

）A．7 B．5 C． D．312．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．13．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．14．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（

）A． B． C． D．15．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．16．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．17．已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或218．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．19．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．20．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（）A．e B．eln3 C．log3e D．321．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．22．已知向量，函数．若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．23．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．25．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．26．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题27．已知函数，，则（

）A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点28．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（

）A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则29．已知a，，满足，则（

）A． B． C． D．30．已知函数，，则（

）A．函数在上无极值点B．函数在上存在唯一极值点C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为D．若，则的最大值为三、填空题31．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________.32．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．33．已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是___________.34．实数x，y满足，则的值为______．35．已知函数有三个零点，且有，则的值为________.36．当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．37．已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则的取值范围为_______．38．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．四、解答题39．已知函数（其中为参数）.(1)求函数的单调区间：(2)若对任意都有成立，求实数的取值集合.40．已知函数.（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.41．已知函数在时有极值0.(1)求函数的解析式；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.42．已知函数，．（1）求函数的极大值；（2）求证：；（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．43．已知函数，，是自然对数的底数．(1)求函数的最小值；(2)若在上恒成立，求实数的值；(3)求证：．第14练导数的综合应用eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．下列说法不正确的是（

）A．若函数满足则函数在处切线斜率为B．函数在区间上存在增区间，则C．函数在区间上有极值点，则D．若任意，都有，则有实数的最大值为【解析】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B正确；对于C，由，可得，当时，，所以函数在区间上没有极值，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确．故选：C2．已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】由题意，不妨设，因为对任意两个不等的正实数，，都有，所以，即，构造函数，则，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为，所以，所以，实数的最小值为.故选：B.3．已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，，故实数的取值范围为．故选：D4．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，即在上有解．令，，则，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．故选：A．5．已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】因为是奇函数并且是上的单调函数，所以问题等价于方程在上有三个不同的实数解，即函数的图象与直线有三个不同的交点，由，得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以的极大值为，极小值为，的取值范围为，故选：C6．若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【解析】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.7．已知函数若函数有三个零点，则（

）A． B． C． D．【解析】要使函数有三个解，则与有三个交点，当时，，则，可得在上递减，在递增，∴时，有最小值，且时，；当时，；当时，；当时，单调递增；∴图象如下，要使函数有三个零点，则，故选：D．8．若函数在恒有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当时，令，则，，设，则，时，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，由此可得大致图象如下图所示，在恒有个零点等价于与恒有个交点，，解得：，的取值范围为.故选：A.9．已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】设，令，令，所以函数在单调递增，在单调递减.所以.令有三个零点.作出函数和的图象如图所示，所以a的取值范围为.故选：B10．若过点可作曲线三条切线，则（

）A． B． C． D．【解析】设切点为，由，故切线方程为，因为在切线上，所以代入切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，则或，所以当，时，，为增函数，当时，，为减函数，且时，，时，，所以只需，解得故选：A11．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（

）A．7 B．5 C． D．3【解析】因为，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，，所以当时，，因为，所以在区间上单调递减，所以当时，，因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，所以实数的最大值为3，故选：D12．已知函数，若有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由题意，当时，，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以且，当时，可得，所以函数的图象如图所示，又由有三个不同的零点，即函数和的图象有三个公共点，结合图象，可得实数的取值范围.故选：C.13．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，令，则，当时，即递增；当时，即递减；所以，故.故选：B14．若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（

）A． B． C． D．【解析】设，令，解得或，则随的变化如下表02+0-0+则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，又当时，，当时，，所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选:B.15．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，，，而，当时，，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，当时，由得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，令，，令，则，即在上单调递增，，即，在上单调递增，则有当时，，，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D16．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】，因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得.因为不等式恒成立，所以恒成立.，设，，故在上单调递增，故，所以.因此实数t的取值范围是.故选：A17．已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或2【解析】设是函数图象的切点，则，∴（1）又（2），将（1）代入（2）消去整理得：，∴，设是函数的切点，据题意，又故，令，，∴，故，在定义域上为增函数，又，故，故，∴，在上是增函数当时，；当时，；由零点存在性定理可得，g(x)存在唯一一个函数零点个数是1，故选：B．18．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】依题意，，，令，求导得：，时，，即在上单调递增，当时，，，若，有，于是得，，令，求导得，则在上单调递增，，，因此，，当时，，，符合题意，则，所以a的取值范围是.故选：A19．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由题设，且，由有两个极值点，∴令，则在上有两个不等的实根，，∴，，且，得.又，且，∴，，即，∴，令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，∴，即递增，故，∴.故选：B20．设k>0，若不等式≤0在x>0时恒成立，则k的最大值为（）A．e B．eln3 C．log3e D．3【解析】由题意，对恒成立.容易判断，函数互为反函数，且均在上单调递增.因为与的图象关于直线对称，所以问题等价于对恒成立，即.记，，则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以.于是，，即k的最大值为.故选：B.21．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当时，不等式在上恒成立不会成立，故，当时，，此时不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，设，当时，，故是增函数，则即，故，设，当时，，递增，当时，，递减，故，则，综合以上，实数的取值范围是，故选：B22．已知向量，函数．若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得，则，当时，恒成立，所以在上为增函数，不妨设，则，因为，所以等价于，即，令，，所以可知在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上为减函数，所以，所以，故选：B23．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】①当时，，，令，则，故为增函数，故，故，即当时，为增函数.②当时，，，令，则为减函数，故，即，为减函数.综上有在上单调递减，在上单调递增.且当趋近于和正无穷大时，趋近于正无穷大.故要函数有两个零点，则只需满足，解得.故选：A24．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】等价于．令函数，则，故是增函数．等价于，即．令函数，则．当时，，单调递增：当时，，单调递减．.故实数a的取值范围为．故选：C.25．已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【解析】由，得，，因为与关于直线对称，在同一坐标系下，画出，，，的图象，如图所示：则，，，关于对称.所以，，故B错误.因为，，，所以，故A错误.因为，，在上为增函数，，，所以.又因为点在直线上，且，所以.，故C正确.因为，所以，设，，在为增函数.所以，即，，故D错误.故选：C26．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】令，由，可得，则问题转化为直线与曲线有三个交点.当时，，则，则函数在上单调递减，当时，，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.作出直线与函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线有三个交点.故选：B.二、多选题27．已知函数，，则（

）A．1是函数的极值点 B．当时，函数取得最小值C．当时，函数存在2个零点 D．当时，函数存在2个零点【解析】，令可得，当时，；当时，，故为的极大值点，故A正确.又在上为增函数，在上为减函数，故当时，函数取得最大值，故B错误.当时，，又，而，故且，令，则，故在上为减函数，故，由零点存在定理及的单调性可得有两个不同的零点，故D正确.而当时，当时，恒成立，故在最多有一个零点，故C错误.故选：AD28．已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（

）A．函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减B．函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2C．若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为D．若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则【解析】设，则，所以在上递增，又，又，则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；有，即，所以当时，，当时，，所以，又，则，故B正确；易知与关于对称，且与切于，与切于，所以|PQ|的最小值为，故C正确；若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则，即对恒成立，即令，则在上递增，则，，所以令，则，当时，，当时，，所以，所以，故D正确；故选：BCD.29．已知a，，满足，则（

）A． B． C． D．【解析】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；B：由，则且，令且，则，递减，所以，，即成立，正确；C：当时，，错误；D：由，当且仅当时等号成立，正确.故选：ABD30．已知函数，，则（

）A．函数在上无极值点B．函数在上存在唯一极值点C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为D．若，则的最大值为【解析】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.故选：AD.三、填空题31．已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________.【解析】函数,求导得,设切点为，可得切线方程为，又切线过点P(0，a)代入得，即，由题意可得此方程有三个根，令，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，可得函数的极大值为，极小值为，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，只需满足，即，故答案为：.32．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________．【解析】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图故答案为：33．已知不等式对任意恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是___________.【解析】由题意知，所以，则且，令，，由，可知，函数在上单调递增，在上单调递减，可求得，同理可得，所以恒成立，即.故答案为：34．实数x，y满足，则的值为______．【解析】因为，所以．显然，令，则，且，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对，，即，当且仅当时等号成立．综上，当且仅当时，成立，此时，解得．故答案为：35．已知函数有三个零点，且有，则的值为________.【解析】若，则，即当时，可得，不成立，故等式两边同除以，得即令，则方程有两个不等的实根，，令，则，令，当时，，当或时，即函数在上单调递减，在，上单调递增，如下图所示函数有三个零点，由图可知，故答案为：36．当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．【解析】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合或者在的零点左侧，如图所示：故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，即满足恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，即时，取得最小值.故答案为：.37．已知函数有两个极值点，若存在最小值，且满足不等式，则的取值范围为_______．【解析】由题，，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实数根，所以，．不妨设，易知为极大值点，为极小值点，若存在最小值，则，即，因为，所以．所以，因为，所以，所以，所以，所以．所以的取值范围为．故答案为：．38．已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________．【解析】当时，，显然成立，符合题意；当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.故答案为：.四、解答题39．已知函数（其中为参数）.(1)求函数的单调区间：(2)若对任意都有成立，求实数的取值集合.【解析】(1)由题意得：定义域为，；当时，，则的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，解得：；当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.(2)当时，，不合题意；当时，由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，；若对任意都有成立，则；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，的解集为，实数的取值集合为.40．已知函数.（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.【解析】（Ⅰ）依题意，，.当时，.所以当时，，当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.当时，令，解得或.若，则，所以函数在上