人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册综合检测

综合检测

一、单选题

1.已知等差数列｛斯｝中，02=1，。3+俏=4,则该数列公差为（）

2

A.2B.1C.2D.2

「（“）是/G）的导函数，则广⑵

2.已知/(x)=e"-e-”,

A.0B.e2+e-2

C.e2-e-2D.1

3.已知函数/（%）=1+犬+1）/,则“X）在◎了⑼）处的切线方程为（）

Ax+j+l=0Bx-y+l=0

C2x+y+l=0口2x—y+1=0

5_工务

4.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”且。1+的=4,。2+。4=2，则包=（）

J_9

A.2B.8C.2D.9

5.若数列Pa”1｝是等差数列，其公差。=1,且%=5,则%）=（）

1Z19

A.18B.2c.2D.12

6.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，

上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（）

2_1618

A.11B.Hc.nD.TT

7.若函数/（力=流2工+（。—2）e「X,«>0,若/（无）有两个零点，则a的取值范围为

（）

A（。，1）B（刈CHe]DRe]

」Le_

Z./\3•/\+

j(x)=x+smx,(g(x)-<2

若关于的方程加=°有

8.已知函数ln(x+1),>0；x/(g(%))+

两个不等实根/马,且西＜尤2,则％-看的最小值是（）

A.2B.3-ln2c.4-21n2D.3-21n2

二、多选题

9.已知｛4｝为等比数列，下列结论正确的是（）

A,若的=-2,则①+%28Ba；+N2a；

c若。3=%,则%=%

10.设等比数列｛4｝的公比为q,其前n项和为S”，前〃项积为,，并满足条件

%019-1<Q

a

\〉L^2019^2020>1“2020—,下列结论正确的是（）

A.S2019Vs2020B〃2019〃2021—1<0

72020是数列｛北｝中的最大值D.数列｛＜｝无最大值

C.

11.给定函数=(%+l)e”.下列说法正确的有（）

函数/（无）在区间（）上单调递减，在区间（一）上单调递增

A.-8,-22,0

函数/（无）的图象与X轴有两个交点

B.

当一±＜。＜0时，方程/（"）="有两个不同的的解

C.

e

D.若方程只有一个解，则

定义在R上的函数/⑴，其导函数/a）满足r（x）＞/（x）,则下列不等关系正确的

12.

是（）

A.ef(-2)</(-1)B./dn2)>2/(0)

3

C.ef(l)>/(2)D.ef

三、填空题

13.等比数列｛"/的各项为正数，且I,%=1°,则想。1+3。2+坨。3+坨。4+坨。5=.

14.在数列MJ中，若4=1,42,2=J_+—L（〃eN*）,则该数列的通项为

an+\anan+2

15.若函数/（x）=Y—3/在区间（"2,a+l）内存在极大值，则。的取值范围是.

16.设函数/（b=1+（。+3）/+奴，若,（X）为奇函数，则曲线,=/（无）在点（°，°）处

的切线方程为;函数的极大值点为.

四、解答题

S9

17.已知等差数列｛%｝满足%=2,前3项和=3~2.

（1）求｛""｝的通项公式；

（2）设等比数列｛“｝满足a=4,々=45,求色｝的前几项和5

18.求下列各函数的导数.

(1)y=(2/+3)(31)；

y=InxH-----Vx

(2)%；

(3)y=xcos(2x)

19.已知数列的前〃项和为S”,且/=±a“+j=2±L'（〃eN*）.

22n

（i）证明［“J是等比数列，并求｛"J的通项公式；

(2)求3.

20.在①4+%=&,②瓦2=也,③％+%=-4这三个条件中任选两个，补充在下面

的问题中.若问题中的机存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

设等差数列｛4｝的前“项和为S",也"｝是各项均为正数的等比数列，设前“项和为I,

若,,且伪=2,n=55.是否存在大于2的正整数加，使得

451，邑,鼠成等比数列？

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

已知/(x)=lnx—mx2_(2m_l)x(mGR)

21g(x)=，x2_l.

(1)讨论单调性;

(2)当机＞。时，若对于任意%总存在/目-2,—1],使得〃为)＜g(%),求加的

取值范围.

22.已知函数/(x)=e*—三+①xeR的图象在点％=0处的切线为＞=法.

(1)求函数/(可的K解析》式；

(2)设g(x)=〃x)+x2—%,求证：g(H"

参*考*答*案

一、单选题

1.K答案》A

K解析U••,等差数列｛斯｝中，。2=1，。3+。5=4,

a[+d=1]]

「2%+6d=4,解得〃=

,该数列公差为2.

故选：A.

2.K答案XB

K解析H函数的导数为/''(%)=e'+e-,则/<2)=e2+e-2.

故选：B.

3.K答案1D

K解析「."(％)=(k+X+1)],

求导得：/'(%)=(2%+1”+(九2+%+1忖=(九2+3%+2忖，，/'(。)=2,

又"(。)=1,."(%)在(0,/(°))处的切线方程为户2工+1,即2x—y+l=0

故选：D.

4.R答案』D

工解析H设等比数列｛斯｝的公比为4,由题意可知，qWL

5%(i-q6)

_a,+a4_2—皿_=匕丈

=5=2区一(1-力

4,则83=If=i+g』[+8=9.

故选：D.

5.K答案XB

k解析厂..数列｛24+1｝是等差数列，其公差d=l,且%=5,

.,.%+1=(2%+1)+2=11,解得q=4.

_n

:.2al0+l=(2tZ1+1)+9=18解得2

故选：B.

6.［［答案］］C

［解析工将等差数列记为{%},其中第〃节的容积为a“(l«〃W9,〃eN*),

8

CL——

]11

S4=444+6d=4

<<d=z

因为〔四+为+%=6,所以［《+7d=2,所以11

…1616

4=1+4d=—厂TT

所以一11,所以第5节的容积为11.

故选：C.

7.K答案』A

［解析？由题意，函数/■(力=茂2”(。—2)e—x,

可得(=2a^x+(a—2)e*—1=(2ex-l)(aex-1),

当aW。时，/'(x)<°,函数/(x)在R上单调递减，

此时函数,(龙)最多有一个零点，不满足题意，舍去；

当。>0,令/'(x)=°,即(2e，—l)(aex—1)=0,可得e'=L解得％=一足。，

a

所以当1e(—8,—Ina)时，/"(力<0,函数“力在(—oo,—Ina)上单调递减；

当xe(Tna,+8)时，/(无)>0,函数/(无)在(Tna,+co)上单调递增，

所以当x=—Ina时，函数/(龙)取得极小值，

r(\/(-Intz)=6ZX-^-+(6?-2)X—+ln<2=1--+ln6Z<0

因为JI叼有两个零点，所以aaa

u(a\=1--+ln<7,JiA-n/(〃)=±+!>0

令a，"⑴-U,则一成。，

所以函数"(x)在(0,+8)上单调递增，所以

又由x->_oo时，X.+JO时，/(%)->4W

所以满足函数）（x）有两个零点，所以实数。的取值范围是（°，1）.

故选：A.

8.K答案》D

（解析》由函数/（力的定义域为R,且/（一%）=-（1+sinx）=-/（x）,

所以函数为奇函数.

考虑函数"力在％e。+°°）上的单调性，由于/'（X）=3%2+8SX,

当xe[0,l）时,cosx>0,可得/'（%）=3r+cosx>0；

当xe[l,+oo）时，3d>3,-1<COSX<1,所以/'（%）=3f+cosx〉0,

即当xw[0，+。。）时，总有第x）>。,

故函数/（*）在[°，+°。）上单调递增，而函数）（X）为奇函数，即函数/（X）在R上递增,

令'=g（x）,作出函数kg（x）的图象，如图所示：

-2-1

由图以及题意可知，/"）=一”仅在。D上有一解，即,e[0,l）,

由"g（x）,解得七=2"1）,%2=人1,即有无2-玉=£-2/+1

设0(/)=e'-2/+Ue[O,l),可得夕'(/)=e'_2,

当,e[0,ln2）时，。⑺<0,函数。⑺单调递减;

当,e（ln2,l）时，。⑺>0,函数单调递减增,

所以。⑺.=的112)=3—21n2

故选：D.

二、多选题

9.K答案』ABD

1解析XA.因为d+片22a2&=2抬=8,取等号时々=%=±2,故正确；

B.因为d+d'2%%=2a：,取等号时。3=%,故正确；

2_%_I

q———1

C.设等比数列的公比为9,因为%=%,所以4,所以q=±l,当4=T时,

4=一出，故错误；

D.设等比数列的公比为好因为%>4且q?所以”5・寸>%p2,所以%>为,

故正确；

故选：ABD.

10.K答案XAB

K解析R当4<0时，为019。2020=%）/^<°,不成立；

〃2019-1<Q

当时，〃20192I“2020>1,。202。—1不成立.

故0<夕<1,且〃2019>I0<〃2020<1,故邑020>Szoig,A正确；

a2019a2021—1="2020-1<°,故R正确.

（。19是数列｛北｝中的最大值，CD错误；

故选：AB.

11.K答案』ACD

A

K解析》f'（x）=（x+2）e,

x<—2时，/'（%）<°,A©递减，x>—2时，/'（x）>°,递增，A正确；

f（x）min=/（-2）=-e-2<0,/（°）=1〉0，X<-2时，/（尤）<0,

因此了（尤）只在（一2,0）上有一个零点，它与X只有一个交点，B错；

2

由上面讨论知为<—2时，/（X）递减，f（x）e（-e-,0）,芯仪―2,0）时，/（x）递增，

/（x）e（-e-2,l）,作出V=/（x）图象和直线丁=0,如图，

知当—,<。<0时，方程/（"）="有两个不同的的解，c正确；

e

由图可知当。20时，方程只有一个解，D正确.

故选：ACD.

12.K答案』ABD

K解析I令F(x)=，则尸(x)==/⑴-"X)>o,

e*(打e

•.•/'(x)—/(x)>0,...尸(x)>°在R上恒成立，...E(x)在R上单调递增，

对A,—2<—1nF(-2)<F(-l)n以胆<勺Dne-/(-2)</(-l)，故A正确;

ee

对B,0<In2F(0)<F(ln2)<^^n2)/(In2)>2/(0),故B正确；

ee11

对C,•.•l<2nF(l)<22)n斗⑴<八2),故C错误；

ee

故选：ABD.

三、填空题

2

13.K答案12

［解析》由等比数列｛4｝的各项为正数，且《T%=10,

所以。］•%=。2•。4=。；=1°,故。3=,

所以Igq+lga2+lga3+lga4+lg«5=lg(6•4•生，的，%)

5

=lg(a3)=51ga3=51gVld=|

5_

故K答案』为：2.

1

an=~

14.（答案Hn

2ii｛与

1解析》V——=一+—（"eN*）,.•.数列%是等差数列，

a

4+1n%+2

-----=1—=1—=l+（n-l）=na_J_

又出4且囚，:.%，故"〃.

1

an=一

故1答案』为：n.

15.K答案》（T2）

K解析』依题意得：/口）=3/—6x,由/'（光）=°得产0,尸2,

x<0或x>2时，/'（的>°,0<x<2时，

所以0是/（x）的极大值点，2是段）的极小值点，

因函数小）=丁-3/在区间5―2,a+l）内存在极大值，

所以Oe（a-2,。+1）,即

故K答案］为：（T'2）

16.K答案X3x+y=0-1

K解析】因为函数小）=^+（。+3）/+内是奇函数，

所以/（一%）=一/（%）,从而得到。+3=0,即a=—3,所以/（x）=d_3x,

因为尸（x）=3f-3,所以尸（0）=-3,

所以曲线y=/（%）在点（°，°）处的切线方程为y=-3%,

/（x）=3%2—3<0,则_1<X<1,所以函数在（T，l）上是减函数,

在（-8,-1）,（1,七，。）是增函数，所以函数的极大值点是-1

故［答案』为：3%+丁=°；-1.

四、解答题

17.」解H(1)设｛4｝的公差为d,

°3x2)9

r\1_oH----------Cl——

则由已知条件得4+〃=2,22,

3,,1

a.+aJ=—俑=1,d=-

化简得4+2d-2,2,解得2,

11z(、〃+1

an=1+—(n-l)=----

故通项公式为22.

(2)由(1)得々=L"=阳=8,

q3=—=8

设色｝的公比为则瓦，得q=2,

北上(1一01x0-2")二,J

故色｝的前"项和"i-qi—2

18K解H(1)~4x(3%—1)+(2X2+3)x3=18x2—4-x+9

,111

~y-------------—

(2)%/2«；

(3)V=cos(2x)-xsin(2x)x2=cos2x-2xsin2x

19.K解X(l)证明：设c“="("eN*),则由已知得

n

〃+1

nx---a1

Cn+1_n+1_二+i=2〃〃二1

%一3一("+l)a”(n+l)a“2

所以n为常数，

11

q=--

所...以..数..列.(trgJ1是以2为首项以2为公比的等比数列,

贝a二歹所以为号.

S.」+4+=+...+£w/+，=+…+3

⑵由⑴知"222232",2"2223242"+1,

—S=—+—+—+L+——

两式相减得，2“222232〃

n+2

S“=2-

所以

20.K解R设｛“"｝的公差为d,｛2｝的公比为虱夕>°）,

'==5%=5伪（1-，）

由题意知4*1,所以4J"2i-q,

整理得l+q2=5,因为q>°,所以q=2,所以2=2".

<1）当选取的条件为①②时，

I+。3=82%+2d-8%=12

有［4+85=-16,所以0+2d=—4,解得jd=—8

所以""=一8〃+20,S〃=-4〃2+16〃

所以H=12,邑=12,5帆=-4m~+16m

若4席邑,S„,成等比数列，则枭=4SR,,

JTI-2i---

所以4"-16m+3=0,解得2,

因为加为正整数，所以不符合题意，此时加不存在.

（2）当选取的条件为①③时，

4+4=82q+2d=8q=6

有jq+%=~4,所以j2q+8d=~4,解得［d=—2

所以"〃=—2〃+&S〃--疗+7〃

2

所以y=6,S3=n,Sm=-m+7m

若4sl,S3,与成等比数列，则邑2=4s区,

所以加2—7根+6=°,解得机=6或%=1（舍去）

此时存在正整数机=6满足题意.

（3）当选取的条件为②③时，

〃]+%=-42q+8d=—4q——6

<

4+$5=-16,所以4+2d=—4,解得m=i

有

_7/-13n

an―〃-7,S“--

所以2

，一_6,怎——15,5^--

所以2

若4S],§3,鼠成等比数列，则s；=4slsm,即225=-24Sm

13±^/94

m二--------

所以4疗-52〃?+75