2022-2023学年人教版七年级下学期数学期末复习-平行线判定（压轴）

7下期末复习专题

平行线判定与性质(压轴模型)

@专题练习

解答题(共25小题)

1.(2023春•仓山区校级期中)如图，直线AC〃BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB

把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点P落在某个部分时，连接PA,PB,构成N

PAC,ZAPB,NPBD三个角.(规定：线上各点不属于任何部分且点P,A,B三点不

共线)

(1)当动点P落在第①部分时，求证：ZAPB=ZPAC+ZPBD；

(2)当动点P落在第②部分时，直接用等式表示/PAC,ZAPB,NPBD之间的数量关

系；

(3)当动点P落在第③部分时，用等式表示/PAC,ZAPB,/PBD之间的数量关系，

并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明.

③

gc③40③1c③1c

②〉P①②/①②/①②/①

B④DB④DB@DB@D

备用图

2.(2023春•宜都市期中)已知，直线AB〃CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点P

是直线AB与CD外一点，连接PE、PF.

(1)如图1,若/AEP=45°,ZDFP=105°,求/EPF的度数；

(2)如图2,过点E作/AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M,NDFP的角平分

线FN交EM的反向延长线交于点N,若NM与3NN互补，试探索直线EP与直线FN

的位置关系，并说明理由；

(3)若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作NDFP的角平分线FN交NAEP的

角平分线EM所在直线于点N,请直接写出/EPF与/ENF的数量关系.

A---------E---•-----B---

CFDCFD

图1图2备用图

3.（2023春•深圳期中）我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）观察与思考：如图1,若AB〃CD,点P在AB、CD内部，NBPD、ZB,ND之

间的数量关系为，不必说明理由；

（2）猜想与证明：如图2,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点

Q.利用（1）中的结论（可以直接套用）求/BPD、/B、/D、NBQD之间有何数量

关系？并证明你的结论；

（3）拓展与应用：如图3,设BF交AC于点M,AE交DF于点N,已知/AMB=140°,

ZANF=105°.利用（2）中的结论直接写出/B+NE+NF的度数为度，ZA

比NF大度.

4.（2022春•市南区校级期中）已知：直线a〃b，点A和点B是直线a上的点，点C和点

D是直线b上的点，连接AD,BC,设直线AD和BC交于点E.

③

(1)在如图1所示的情形下，若ADJ_BC,求/ABE+/CDE的度数；

(2)在如图2所示的情形下，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF与DF交于点

F,当NABC=64°,ZADC=72"时，求NBFD的度数；

（3）如图3,当点B在点A的右侧时，若BF平分NABC,DF平分/ADC,且BF,DF

交于点F,设NABC=a,/ADC=0,用含有a,。的代数式表示/BFD的补角.

5.（2022•南京模拟）如图1,AB,BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D

作DE〃AB,连接AE,ZB=ZE.

(1)求证：AE〃BC；

(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接DQ.若NE=65°,

①如图2,当DELDQ时，则NQ的度数是；

②在整个运动中，当/Q=2/EDQ时，求/Q的度数.

6.(2022春•江海区期中)如图，直线AB〃CD,直线MN与AB,CD分别交于点M,N,

ME,NE分别是NAMN与NCNM的平分线，NE交AB于点F,过点N作NG±EN交

AB于点G.

(1)若NAMN=70°,则NMNG=；

(2)求证：EM〃NG；

(3)连接EG,在GN上取一点H,使/HEG=NHGE,作NFEH的平分线EP交AB于

点P,求/PEG的度数.

7.(2022春•江夏区校级月考)如图，AB〃CD,点P为AB上方一点，E在直线AB上.

(1)如图1,求证：ZP-ZPEB-ZC；

(2)如图2,点F为直线CD上一点，NPEB、NCFP的角平分线所在直线交于点Q,

求NP与NQ的数量关系；

(3)如图3,N为AB、CD之间一点，且在NCPE内部，NEPN=nNCPN、ZDCN=

ZPCN,当2/CNP-NPEA=180°恒成立时，n=.

图1图2图3

8.(2022春•思明区校级期末)如图1,AB〃CD,E为AB上一点，点P在线段CE上，

且PD〃CF.

(1)求证：/AEC+/DCF=NDPE；

(2)如图2,在线段CF上取点H,使NHPF=NHFP,若CD平分NECF,PQ平分N

EPH,NHPQ+/AEC=90°,试判断PF与EF的大小关系.

图1F图2F

9.(2022春•房山区期末)如图，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像£,称为

形BAMCD”.

(1)如图1,£形8人1\4©口中，若AB〃CD,ZAMC=60°,则NA+NC=

(2)如图2,连接£形8人1\4©口中B,D两点，若NABD+NBDC=160°,ZAMC=a,

试猜想/BAM与/MCD的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中,

请直接写出/BAM与/MCD所有可能的数量关系.

10.(2022春•武昌区期末)如图1,AB〃CD,点E在AB上，点H在CD上，点F在直

线AB,CD之间，连接EF,FH,/BEF=a,ZFHD=0.

(1)直接写出/EFH的度数为；

(2)如图2,若HM平分/CHF,MN平分NBEF,证明：ZEFH+2ZM=180°；

(3)如图3,若NBEN=^NBEF,NMHC=L/FHC,则NM=.(用

含有n,a,B的式子表示)

11.（2022春•吉安期中）如图1,已知直线CD〃EF,点A、B分别在直线CD、直线EF

上，P为两平行线间一点.

图1图2图3

猜想

（1）猜想/DAP,NFBP,/APB之间有什么数量关系？并说明理由.

应用

（2）利用（1）的结论解答：

①如图2,APi、BPi分别平分NDAP、ZFBP,请你直接写出NP与/Pi的数量关系，

不需要说明理由；

②如图3,AP2、BP2分别平分/CAP、ZEBP,若NAPB=a,求/AP2B的大小（用含a

的代数式表示）.

12.(2022春•涪陵区校级期中)AB〃CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,点G在

CD上，点P在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG.

(1)如图1,求证：ZEPG=ZBEP+ZPGD；

(2)如图1,连接EG,若EG平分NPEF,ZBEP+ZPGE=110°,ZPGD=AzEFD,

2

NPGD=30°.求/BEP的度数；

(3)如图2,若EF平分NPEA,NPGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H,则

/EPG与/EHG之间的数量关系，并说明理由.

图1图2

13.（2022•天津模拟）如图，直线AB〃CD,直线EF与AB、CD分别交于点G、H,Z

EHD=a（00<a<90°）.小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使

点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，ZP=90°,NPMN=60°.

（1）填空：ZPNB+ZPMDZP（填“>”或“=”）；

（2）若/MNG的平分线NO交直线CD于点O,如图②.

①当NO〃EF,PM〃EF时，求a的度数；

②小安将三角板PMN保持PM〃EF并向左平移，在平移的过程中求/MON的度数（用

含a的式子表示）.

14.（2022春•朝阳区校级期中）如图1,AB〃CD,点E,F分别在直线CD,AB上，Z

BEC=2/BEF,过点A作AG_LBE的延长线交于点G,交CD于点N,AK平分NBAG,

交EF于点H,交BE于点M.

图1图2

(1)直接写出NAHE,ZFAH,/KEH之间的关系：.

(2)若/BEFT/BAK,求NAHE.

2

(3)如图2,在(2)的条件下，将aKHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋

转时间为t,当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当aKHE的其中一边与

△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值.

15.(2021秋•王益区期末)已知：ZAOB=a(0°<a<90°),一块三角板CDE中，Z

CED=90°,NCDE=30°,将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经

过点D作直线MN〃OB交OA边于点M,且点M在点D的左侧.

(1)如图，若CE〃OA,ZNDE=45°,贝Ua=°；

(2)若/MDC的平分线DF交OB边于点F,

①如图，当DF〃OA,且a=60°时，试说明：CE〃OA；

②如图，当CE〃OA保持不变时，试求出NOFD与a之间的数量关系.

16.(2022春•游仙区校级期末)如图1,E点在BC上，NA=ND,ZACB+ZBED=180°.

(1)求证：ABZ/CD；

(2)如图2,AB〃CD,BG平分/ABE,与NEDF的平分线交于H点，若/DEB比N

DHB大60°,求NDEB的度数.

(3)保持(2)中所求的/DEB的度数不变，如图3,BM平分NEBK,DN平分/CDE,

作BP〃DN,则NPBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由.

17.(2022春•沈丘县期末)如图1,将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中/ONM

=30°,ZOCD=45°

（1）观察猜想

将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与

MN相交于点E,则NCEN=°.

（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在/MON的内部，如图

3,且OD恰好平分NMON,CD与NM相交于点E,求NCEN的度数；

（3）深化拓展

将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋

转°时，边CD恰好与边MN平行.（直接写出结果）

18.（2022春♦广州期中）如图1,MN〃PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点

B在直线PQ上，过点B作BGLAD,垂足为点G.

（1）求证：ZMAG+ZPBG=90°；

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC,NMAG和/PBC的平分

线交于点H,请在图2中补全图形，猜想并证明/CBG与/AHB的数量关系：

（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不

成立，请直接写出/CBG与NAHB的数量关系.

19.（2022春•广陵区期中）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水

中射入空气中也会产生折射现象，如图1,光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气

中，形成光线b,根据光学知识有/1=/2,Z3=Z4,请判断光线a与光线b是否平行,

并说明理由；

（2）如图2,直线EF上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD.已知/BAF=150°,

NDCF=80°,射线AB、CD分别绕点A、点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转

动，设时间为t秒，当射线CD转动一周时，两条射线同时停止.则当直线CD与直线

AB互相垂直时，t=秒.

图1图2

20.(2022春•广陵区期中)已知，AB〃CD,点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若NEAF=30°,NEDG=40°,则NAED=°；

(2)如图2,当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H,则NAED、NEAF、

NEDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,DI平分NEDC,交AE于点K,交AI于点L且NEAI：ZBA1=1：2,Z

AED=22°,ZI=20°,求NEKD的度数.

21.(2022•天津模拟)已知，直线AB〃DC,点P为平面上一点，连接AP与CP.

(1)如图1,点P在直线AB、CD之间，当NBAP=60°,/DCP=20°时，求/APC.

(2)如图2,点P在直线AB、CD之间，NBAP与NDCP的角平分线相交于点K,写出

NAKC与/APC之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点P落在CD外，/BAP与NDCP的角平分线相交于点K,NAKC与N

APC有何数量关系？并说明理由.

22.(2022春•临淄区期末)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起

见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针

旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交

叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路

是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=°；

(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯

转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过

C作NACD交PQ于点D,且NACD=120°,则在转动过程中，请探究/BAC与NBCD

的数量关系是否发生变化？若不变,请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

23.(2022秋•鲤城区校级期末)如图,己知AB〃CD,NBAE=30°,ZDCE=60°,EF、

EG三等分NAEC(即/AEF=NFEG=NGEC).

(1)求NAEF的度数；

(2)EF〃AB吗？为什么？

D

24.(2020秋•市中区期末)“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋

转探照灯.如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从

BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每

秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且NBAM：

ZBAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=；

(2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯

转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C,则在灯B射线到达BQ

之前，A灯转动几秒时，NACB=120°.

图2

25.(2021春•滁州期末)已知AB〃CD,线段EF分别与AB,CD相交于点E,F.

图1图2图3

(1)请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1,当点P在线段EF上时，已知/A=35°,ZC=62°,求NAPC的度数；

解：过点P作直线PH〃AB,

所以NA=NAPH,依据是；

因为AB〃CD,PH〃AB,

所以PH〃CD,依据是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=ZA+ZC=97°.

(2)当点P,Q在线段EF上移动时(不包括E,F两点)：

①如图2,ZAPQ+ZPQC=ZA+ZC+180°成立吗？请说明理由；

②如图3,/APM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,NM+/MPQ+/PQM=180°,请直

接写出/M,NA与NC的数量关系.

I⑥知识集结

1.方向角

方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角

(1)方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向.

(2)用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边,

故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西.(注意几个方向的角平分线按日

常习惯，即东北，东南，西北，西南.)

(3)画方向角

以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线.

2.角的计算

①NAOB是NAOC和/BOC的和，记作：ZAOB=ZAOC+ZBOC./AOC是NAOB和

NBOC的差，记作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线OC是NAOB的三等分线，则/

AOB=3/BOC或/BOC=_1/AOB.

3

(2)度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加

减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60.

(3)度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：

度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

3.垂线

(1)垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

(2)垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以.

4.平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外).

(1)平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.

记作：a〃b；

读作：直线a平行于直线b.

(2)同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意:

①前提是在同一平面内：

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线.

5.平行线的判定

(1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成:

同位角相等，两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成:

内错角相等，两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说

成：同旁内角互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

6.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SA=工X底X高.

2

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

7.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系,

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

8.角平分线的定义

(1)角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

(2)性质：若OC是/AOB的平分线则NAOC=/BOC=L/AOB或NAOB=2/AOC=

2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.

9.余角和补角

(1)余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.叩其中一个角是

另一个角的余角.

(2)补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.即其中一个角

是另一个角的补角.

(3)性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

(4)余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意：余角(补角)与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足

了定义，则它们就具备相应的关系.

10.垂线

(1)垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

(2)垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以.

11.平行公理及推论

(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说，它是“能但只能画出

一条”的意思.

(3)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

(4)平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直

线平行时应用.

12.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相

等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

13.平行线的判定与性质

(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系

来寻找角的数量关系.

(2)应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

(3)平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.

(4)辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.

参考答案与试题解析

1.【考点】平行线的性质.

【专题】动点型；探究型；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】(1)如图1,延长BP交直线AC于点E,由AC〃BD,可知/PEA=/PBD.由

ZAPB=ZPAE+ZPEA,可知/APB=NPAC+NPBD；

(2)过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

(3)根据P的不同位置，分三种情况讨论.

【解答】解：(1)解法一：如图1延长BP交直线AC于点E.

VAC/7BD,

AZPEA=ZPBD.

ZAPB=ZPAE+ZPEA,

・•・NAPB=/PAC+NPBD；

图1图2图3

解法二：如图2,

过点P作FP〃AC,

.'.ZPAC=ZAPF.

VAC//BD,

・・・FP〃BD.

・・・NFPB=NPBD.

・•・NAPB=NAPF+NFPB.

=ZPAC+ZPBD；

解法三：如图3,

VACZ/BD,

.,.ZCAB+ZABD=180°,

NPAC+NPAB+NPBA+NPBD=180°.

又NAPB+NPBA+NPAB=180°,

JNAPB=NPAC+NPBD.

(2)不成立.

(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是：

ZPBD=ZPAC+ZAPB.

(b)当动点P在射线BA上，结论是：

或NPAC=NPBD+NAPB或NAPB=O°,

ZPAC=ZPBD(任写一个即可).

(c)当动点P在射线BA的左侧时，

结论是NPAC=NAPB+NPBD.

选择（a）,

证明：如图4,连接PA,连接PB交AC于M.

VAC/7BD,

，/PMC=NPBD.

又；NPMC=NPAM+NAPM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,

；./PBD=/PAC+NAPB.

选择（b）证明：如图5,

:点P在射线BA上，

...NAPB=O度.

；AC〃BD,

NPBD=NPAC.

.-.ZPBD=ZPAC+ZAPB,

或NPAC=NPBD+NAPB,

或NAPB=O°,NPAC=NPBD.

选择（c）,

证明：如图6,连接PA,连接PB交AC于F,

：AC〃BD,

.\ZPFA=ZPBD.

ZPAC=ZAPF+ZPFA,

NPAC=ZAPB+ZPBD.

【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分

析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况.认真做好（1）（2）小题，可以为

（3）小题提供思路.

2.【考点】平行线的性质；余角和补角.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】（1）过P作PQ〃AB,根据平行线的性质可得NEPF=120。；

（2）EP〃FN,根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得N4=2N1=/AEP,进而

可得结论；

（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可.

【解答】解：（1）如图，过P作PQ〃AB,

；AB〃CD,

；.PQ〃CD,

.-.ZQPE=ZAEP=45°,ZQPF=Z1800-ZDFP=180°-105°=75°,

...NEPF=NQPE+NDFP=45°+75°=120°.

故NEPF=120°；

(2)EP〃FN,如图，

理由：・.・EM平分NAEP,FN平分NMFD,

.\ZAEP=2Z1,NMFD=2N3,

由(1)得，ZM=Z1+ZCFM=Z1+(180°-2Z3)=Z1+(180°-2Z4),

VAB/7CD,

AZ3=Z4,

由三角形外角的性质可得，ZN=Z4-Z2=Z4-Zl,

•・・/1\4与32?4互补，

AZ1+(180°-2Z4)+3(Z4-Zl)=180°,

整理得，Z4=2Z1=ZAEP,

・・・EP〃FN；

(3)@ZEPF+2ZENF=180°.如图，

・・・NCFH=NEHF,ZEKF=ZDFK,

YFN平分NDFP,ME平分NAEP,

/.ZCFH=180°-2ZDFK,ZAEP=2ZAEM=2ZKEN,

由外角的性质得，NEPF=NEHF-NAEP=1800-2ZDFK-2ZAEM,ZENF=Z

EKF+ZKEN=ZDFK+ZAEM,

・・・NEPF=180°-2ZENF,

.".ZEPF+2ZENF=180°.

®ZEPF=2ZENF-180°・如图,

VAB/7CD,

NPKB=NPFD=2NDFN,

由外角的性质得，ZEPF=ZPKB-ZBEP=ZPKB-(180°-2NMEP)=2NDFN+2

ZAEM-180°,

由（1）得，ZENF=ZDFN+ZNEK=ZDFN+ZAEM,

2ZENF=2ZDFN+2ZAEM,

AZEPF=2ZENF-180°.

【点评】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根

据题意理清各角之间的关系是解题关键.

3.【考点】平行线的性质.

【分析】（1）过点P作PE〃AB,根据两直线平行，内错角相等可得NB=N1,ZD=

N2,再根据/BPD=/l+/2即可得解；

（2）连接QP并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；

（3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得.

【解答】解：（1）过点P作PE〃AB,

；AB〃CD,

；.AB〃EP〃CD,

=ND=/2,

.,.ZBPD=ZB+ZD；

（2）如图，连接QP并延长，

结论：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.

ZBPD=（ZBQP+ZB）+（ZDQP+ZD）=ZBQD+ZB+ZD.

（3）VZANF=105°,

；./ENF=/B+NE+/F=180°-105°=75°,

ZA=ZAMB-ZB-ZE,

NF=180°-ZANF-ZB-ZE,

AZA-ZF=ZAMB+ZANF-180°=65°.

故答案为：NBPD=NB+/D；75,65.

B_X

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.

4.【考点】平行线的性质；余角和补角；垂线.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】（1）过点E作EG〃AB,根据a〃b,可得EG〃CD,得/ABE+NCDE=NBED

=90。；

（2）过点F作FH〃AB,结合（1）的方法，根据BF平分NABC,DF平分NADC,即

可求/BFD的度数；

（3）过点F作FH〃AB,结合（1）的方法，根据BF平分NABC,DF平分NADC,设

NABC=a,NADC=0,即可用含有a,0的代数式表示NBFD的补角.

【解答】解：（1）过点E作EG〃AB,

ABa

①

•・・a〃b,

・・・EG〃CD,

・・・NABE=NBEG,ZCDE=ZDEG,

・•・NABE+NCDE=ZBEG+ZDEG=ZBED,

VAD±BC,

JNABE+NCDE=ZBED=90°；

(2)如图，过点F作FH〃AB,

图2

・・・FH〃CD,

/.ZABF=ZBFH,NCDF=NDFH,

JNBFD=ZABF+ZCDF=ZBFH+ZDFH,

YBF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=64°,ZADC=72°,

・・・NABF=-1/ABC=32°,ZCDF=-1/ADC=36°,

22

・・・NBFD=NABF+NCDF=68°；

(3)如图，过点F作FH〃AB,

图3

\・a〃b,

・・・FQ〃CD,

，NABF+NBFQ=180°,NCDF=NDFQ,

ZBFD=ZBFQ+ZDFQ=180°-ZABF+ZCDF

：BF平分/ABC,DF平分NADC,ZABC=a,ZADC=p,

.•.NABF”/ABC=La，NCDF=上/ADC=J-B,

2乙22A2P

...NBFD=180°-ZABF+ZCDF=180°R,

22P

；./BFD的补角=^aB.

22P

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握平行线的性

质.

5.【考点】平移的性质；平行线的判定与性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】(1)根据平行线的性质得到NBAE+/E=180°,利用等量代换得到/BAE+

ZB=180°,即可证出.

(2)①过点D作DM〃PQ,则DM〃AE,根据平行线的性质即可得到答案.

②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时;过点D作DF〃AE交AB于点F,

根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF〃AE

交AB于点F,根据平行线的性质即可得到答案.

【解答】(1)证明：VDE/7AB

AZBAE+ZE=180°

又；NB=/E

.,.ZBAE+ZB=180°

；.AE〃BC

(2)解：①如图，

过点D作DM〃PQ,贝ljDM〃AE,

；./E=NEDM,NQ=NMDQ,

AZE+ZQ=ZEDM+ZMDQ=90°,

而NE=65°,

ZQ=90°-65°=25°,

故答案为：25°.

②如图，当点P在线段AD上时，

过点D作DF//AE交AB于点F,

；PQ〃AE,

；.DF〃PQ,

.•.NQDF=180°-ZQ,

VZQ=2ZEDQ,

即NEDQ蒋NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF=180°-65°=115°,

・・・NQDF=1150卷NQ=1800-NG

如图，当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF〃AE交AB于点F,

,:PQ〃AE,

・・・DF〃PQ,

.•.ZQDF=180°-ZQ,

•••NQ=2NEDQ,即NEDQ=/NQ，

VZE=65°,

.\ZEDF'=180°-65°=115°,

1800-ZQ-^ZQ=115°-

.*./Q=130°,

综上所述：NQ的度数为国二或130°.

3

【点评】此题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识

并正确作出辅助线.

6.【考点】平行线的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；推理能力.

【分析】(1)根据平行线的性质求出/CNM=110°,由角平分线定义求出NENM的度

数，即可得到结论；

(2)根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出/MEN=90°,再根据NG_L

EN,即可得到/MEN+/ENH=180°,进而得到EM〃NG；

(3)先设NHEG=x,则/HGE=/MEG=x,/NEH=90°-2x,根据EP平分/FEH,

可得/FEH=2(ZPEG+x),再根据NFEH+NHEN=180°,可得方程2(NPEG+x)

+90°-2x=180°,进而解得/PEG.

【解答】解：(1)：AB〃CD,

.../AMN+NCNM=180°,

；NAMN=70°,

.•.NCNM=110°

INE平分NCNM,

•■•ZENM=yZCNM=55°'

VNG1EN,

AZENG=90°,

.•.NMNG=90°-NENM=35°,

故答案为：35°；

(2)VAB/7CD,

.,.ZAMN+ZCNM=180°,

VME,NE分别是/AMN与/CNM的平分线，

•*-ZEMN=yZAMN,ZENM-yZCNM'

•e-ZEMN+ZENM=y(ZAMN+ZCNM)=90°(即ZMEN=90°，

又：NG_LEN,

/.ZENG=90°,

AZMEN+ZENH=180°,

；.EM〃NG；

(3)设NHEG=x,则NHGE=NMEG=x,ZNEH=90°-2x,

；EP平分NFEH,

.,.ZFEH=2ZPEH=2(ZPEG+x),

又：/FEH+/HEN=180°,

：.1(ZPEG+x)+90°-2x=180°,

.'.ZPEG=45°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，内错角相等;

同旁内角互补，两直线平行.

7.【考点】平行线的性质；角平分线的定义.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力；模型思想.

【分析】(1)过点P作PQ〃AB,得AB〃CD〃EF,得NQPE=NPEB,NQPC=NC,

两式相减便可得出结论：

(2)由(1)中结论可得/P=NPEB-/PFD,ZQ=ZCFQ-ZAEQ,设NBEM=a,

NCFN=0,因为EM平分/BEP,FN平分NCFP,所以/PEM=a,/PFN=|J,即得N

P=2a+2p-180°,ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,即可得解；

(3)易得/CPE=(n+1)ZCPN,NPCD=(n+1)ZPCN,再结合(1)结论，具体

见解答过程.

【解答】(1)证明：过点P作PQ〃AB,如图，

0

：AB〃CD,

；.AB〃CD〃EF,

.•.ZQPE=ZPEB,ZQPC=ZC,

，ZQPE-/QPC=ZPEB-ZC,

即NCPE=NPEB-ZC；

(2)如图：

设/BEM=a,ZCFN=P，

：EM平分NBEP,FN平分NCFP,

；./PEM=a,NPFN=。，

由(1)中结论可得NP=NPEB-NPFD,

NQ=NCFQ-ZAEQ,

NP=NPEM+NBEM-(1800-ZCFN-ZPFN)

=a+a-(180°-p-p)=2a+2p-180°,

ZQ=180°-ZCFN-ZBEM=180°-p-a,

.•.2NQ+NP=360°-2p-2a+2a+2p-180°=180°,

HP2ZQ+ZP=180"；

(3)如图：

与(1)同理可得，ZCPE=ZPEB-ZPCD,

ZEPN=nZCPN,NEPN+/CPN=ZCPE,

AZCPE=(n+1)ZCPN,

：NDCN=nNPCN,/DCN+/PCN=/PCD,

AZPCD=(n+1)ZPCN,

(n+1)NPCN=/PEB-(n+1)ZCPN,

又•••/PEB=180°-ZPEA,

(n+1)(ZCPN+ZPCN)=180°-ZPEA,

又,.•/CPN+NPNC=180°-ZCNP,

(n+1)(180°-ZCNP)=180°-ZPEA,

又；2/CNP-NPEA=180°,

(n+1)(180°-ZCNP)+2ZCNP=360°,

(n+1)(180°-ZCNP)-2(180°-ZCNP)=0,

(n-1)(180°-ZCNP)=0,

，n-1=0或180°-ZCNP=0(不符合题意，舍法)

An-1=0,解得n=l,

故答案为：1.

【点评】本题考查平行线的性质、角平分线分得的角相等、模型思想，解题关键是熟练

掌握平行线性质，应用(1)所得结论解决(2)和(3)中问题，计算繁琐，难度较大，

易出错.

8.【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】(1)根据平行线的性质可得NAEC=/ECD,ZPDC=ZDCF,然后根据外角

的性质即可证得结论；

(2)设NECD=NFCD=a,则NECF=2a,设NHPF=NHFP=(3,根据平行线的性质

可推出/EPD=/ECF=2a,NFPD=NPFH=(3,NAEC=NECD=a,从而得出/EPH

=2a+2p,根据已知条件NHPQ+NAEC=90°,可得出2a+p=90°,进一步得出结果.

【解答】(1)证明：；AB〃CD,

.,.ZAEC=ZECD,

VPD/7CF,

NPDC=NDCF,

；NDPE=NECD+/PDC,

ZDPE=ZAEC+ZDCF；

(2)：CD平分/ECF,

ZECF=2ZECD=Z2FCD,

设NECD=/FCD=a,则/ECF=2a,

设NH