2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案文新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案文新人教A版选修1-1教材分析《2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大（小）值与导数教案文新人教A版选修1-1》课程内容紧承前两节导数的概念和计算方法，将导数应用于实际问题中，特别是研究函数的最大值与最小值。本节课通过具体例题，使学生掌握利用导数研究函数极值的方法，理解极值与最值的区别和联系，深化对导数应用的理性认识。课程强调对函数图像的直观理解与导数符号变化的精确描述，结合实际案例，让学生在探究中发现并证明函数最大（小）值存在的条件，培养逻辑推理和解决实际问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。通过探究导数在研究函数最值中的应用，使学生能够从实际问题中抽象出数学模型，运用逻辑推理能力分析导数与函数图像之间的关系，掌握求函数极值的方法，并运用数学运算准确求解。同时，注重培养学生的问题发现与解决能力，激发学生的创新意识，使其在探索过程中形成严谨的科学态度和合作交流的能力，进而全面提升学生的数学学科核心素养。教学难点与重点1.教学重点

-函数极值的概念及其与导数的关系。

-求解函数极值的方法和步骤。

-函数最大（小）值的判定条件及其应用。

-利用导数求解实际问题的最值。

具体举例：

-通过图像直观展示，让学生理解函数在极值点处导数为零的性质。

-以典型函数为例，引导学生掌握求极值的具体计算方法，如导数符号变化法。

-通过例题讲解，强调在闭区间上连续函数的最大（小）值出现在端点或极值点。

-结合实际情境，如物理运动、经济优化等，让学生学会建立模型并求解最值。

2.教学难点

-理解导数与函数图像之间的内在联系，尤其是导数为零点与函数极值之间的关系。

-掌握导数的符号变化与函数单调性的关系，以及如何利用这一关系判断函数的极值类型。

-在实际问题中，如何准确建立数学模型，并运用导数知识求解最值。

具体举例：

-解释导数为零的点不一定是极值点，如函数的拐点，需结合二阶导数的符号进行判断。

-通过对比不同函数图像，让学生理解导数符号由正变负或由负变正时，函数单调性的变化，以及这种变化与极值的关系。

-针对实际问题，指导学生如何提取关键信息，简化问题，并转化为数学表达式，进而应用导数求解最优化问题。

-对于复杂的实际问题，引导学生学会分解问题，逐步求解，并强调在求解过程中检查每一步的正确性。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都准备了新人教A版选修1-1的数学教材，以便于跟随课堂进度学习第三章导数及其应用的相关内容。

-准备教材中3.3节的相关习题和例题，用于课堂讲解和课后作业。

2.辅助材料：

-准备函数图像的动态演示PPT或教学软件，以便于直观展示导数与函数极值的关系。

-收集与函数极值相关的实际案例图片、图表，如物理运动轨迹、经济生产图表等，增强学生对概念的理解。

-制作或收集有关导数应用的微视频，如解释导数在优化问题中的应用，用于课堂导入或巩固环节。

3.实验器材：

-如果条件允许，准备计算器、绘图仪等实验器材，让学生通过实际操作加深对导数和函数极值关系的理解。

-确保实验器材的安全性和易用性，提前进行测试，避免课堂使用时出现故障。

4.教室布置：

-将教室划分为讲解区、讨论区和实验操作区，为学生提供不同的学习空间。

-讲解区配备多媒体教学设备，便于展示教学内容。

-讨论区设置成小组形式，便于学生进行合作学习，鼓励交流与讨论。

-实验操作区应保证有足够的空间和设备，以便学生进行实际操作和观察。

5.其他准备：

-准备白板、记号笔等教具，用于板书和标注重点内容。

-整理相关教学资源，如教学大纲、学习指导手册等，以便学生预习和复习。

-确保教室网络连接畅通，以便于使用在线资源或实时查询资料。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校在线学习平台，上传预习PPT和导数与函数极值相关视频，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“导数与函数极值的关系”，设计问题如“导数为零的点一定是极值点吗？”引导学生自主思考。

-监控预习进度：通过学习平台，跟踪学生的预习完成情况，及时给予反馈。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照要求，阅读教材3.3节内容，初步理解导数在研究函数极值中的应用。

-思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解。

-提交预习成果：学生将预习笔记、疑问等提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：培养学生自主学习能力，为课堂学习打下基础。

-信息技术手段：利用在线平台，实现资源的共享和预习进度的监控。

作用与目的：

-帮助学生提前接触极值概念，为课堂学习做好准备。

-培养学生的独立思考和自主学习能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示物体抛物线运动的视频，引出函数极值的概念。

-讲解知识点：详细讲解导数与函数极值的关系，结合典型函数图像解释。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析具体函数的极值问题。

-解答疑问：针对学生疑问，进行个别或集体解答。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，思考导数与极值的关系。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，共同分析函数极值问题。

-提问与讨论：学生针对疑问大胆提问，参与班级讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，帮助学生深入理解导数与极值的关系。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中掌握求极值的方法。

-合作学习法：培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生理解导数在研究函数极值中的应用，掌握求解方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据课堂内容，布置相关的习题，巩固导数求极值的方法。

-提供拓展资源：推荐与导数应用相关的学术文章和在线教育资源。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化的反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂所学。

-拓展学习：利用提供的资源，进行深入学习，拓宽知识面。

-反思总结：对自己的学习过程进行反思，提出改进策略。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：帮助学生认识自己的学习成效，促进自我提升。

作用与目的：

-巩固课堂所学，提升解题能力。

-通过拓展学习，增加学生对导数应用的深度和广度。

-通过反思总结，培养学生自我评价和自我改进的能力。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-《导数与函数极值的应用》：深入探讨导数在求解函数极值中的应用，包括实际案例分析和高级求解技巧。

-《导数与最优化问题》：介绍导数在经济学、工程学等领域优化问题中的应用，探讨如何将实际问题转化为数学模型并求解。

-《函数图像的几何意义》：从几何角度分析函数图像，探讨导数与函数图像之间的关系，以及如何通过图像判断函数的极值和最值。

-《二阶导数与函数凹凸性》：介绍二阶导数在判断函数凹凸性中的应用，以及凹凸性与函数极值之间的关系。

2.课后自主学习和探究

-研究教材中提供的更多函数极值的例题，尝试独立解决，加强对求解方法的理解。

-探索导数在物理运动学中的应用，如速度、加速度与位移之间的关系，理解导数在描述物体运动状态中的作用。

-尝试阅读一些简单的科研论文或相关书籍，了解导数在科学研究中的最新应用和前沿问题。

-结合实际生活，发现身边的优化问题，如最短路径、最大利润等，尝试用导数知识建立数学模型并求解。

-参与在线数学社区，与其他学生或数学爱好者交流导数的学习心得和经验，拓展解题思路。内容逻辑关系①导数与函数极值的基本概念

-重点知识点：导数的定义，函数极值的定义，导数为零的点与函数极值的关系。

-关键词：导数，极值，单调性，拐点。

-板书设计：通过函数图像，直观展示导数与极值之间的关系，标注导数为零的点、拐点和极值点。

②导数在求解极值中的应用

-重点知识点：导数符号变化法，二阶导数的应用，闭区间上连续函数的最值定理。

-关键词：符号变化，二阶导数，最值定理。

-板书设计：以典型函数为例，逐步演示求解极值的过程，强调步骤和注意事项。

③实际问题中的导数应用

-重点知识点：如何将实际问题转化为数学模型，如何利用导数求解最优化问题。

-关键词：数学建模，最优化，实际案例。

-板书设计：通过具体实际案例，展示如何运用导数知识解决实际问题，突出建模和求解的步骤。

内容逻辑关系阐述：

①阐述导数与函数极值的基本概念，建立学生对导数和极值之间关系的初步理解。

②进一步讲解导数在求解极值中的具体应用，使学生掌握实用的求解方法和技巧。

③将理论应用于实际问题的解决中，强化学生对导数应用的深度理解，培养其解决实际问题的能力。通过这三个方面的内容逻辑关系，帮助学生构建完整的知识体系，并能够将所学知识灵活运用。课堂-通过提问和观察，了解学生对导数与函数极值基本概念的理解，以及在实际问题中的应用能力。

-设计课堂小测试，检验学生对导数符号变化法、最值定理等知识点的掌握程度。

-观察学生在小组讨论和实验操作中的表现，评估其合作学习和动手能力。

-及时发现学生在理解上的难点和误区，并给予针对性的指导和帮助。

2.作业评价

-对学生提交的作业进行认真批改，检查其对课堂所学知识点的掌握情况。

-点评作业中的亮点和不足，给予积极的反馈和建议，鼓励学生继续努力。

-通过作业反馈，了解学生对导数应用的深度和广度，为其提供进一步学习的指导和建议。

3.课后反思

-对课堂教学过程进行反思，总结经验和教训，不断优化教学方法和策略。

-分析学生的学习情况，评估教学目标的达成程度，为后续教学提供参考。

-关注学生的个性化需求，调整教学计划，确保每个学生都能在原有基础上得到提高。

4.阶段性评价

-定期进行阶段性测试，全面评估学生对导数知识点的掌握程度。

-根据测试结果，调整教学进度和难度，确保教学目标的实现。

-鼓励学生进行自我评价和反思，培养其自主学习的能力。

5.家长反馈

-定期与家长沟通，了解学生在家的学习情况，共同关注学生的学习进步。

-通过家长反馈，发现学生在学习态度、方法等方面的问题，家校共同促进学生的全面发展。课后作业-求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

-求函数f(x)=e^x*cos(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

-已知函数f(x)=ln(x^2+1)在区间[0,1]上单调递增，求其在该区间上的最大值和最小值。

-求函数f(x)=1/x^2-2x+3在区间(0,+∞)上的最大值和最小值。

-给定函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。

补充和说明举例题型：

1.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

-解答：首先求导得到f'(x)=3x^2-12x+9。

然后令导数等于零得到3x^2-12x+9=0，解得x=1。

检查端点值f(-1)=-1,f(3)=19。

计算极值点处的函数值f(1)=1。

所以最大值为19，最小值为-1。

2.求函数f(x)=e^x*cos(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

-解答：首先求导得到f'(x)=e^x*cos(x)-e^x*sin(x)。

然后令导数等于零得到e^x*cos(x)-e^x*sin(x)=0，解得x=π/4。

检查端点值f(0)=1,f(π)=-1。

计算极值点处的函数值f(π/4)=√2/2*e^(π/4)。

所以最大值为√2/2*e^(π/4)，最小值为-1。

3.已知函数f(x)=ln(x^2+1)在区间[0,1]上单调递增，求其在该区间上的最大值和最小值。

-解答：由于函数在该区间上单调递增，所以最大值出现在右端点x=1，最小值出现在左端点x=0。

计算得到f(1)=ln(2)，f(0)=ln(1)=0。

所以最大值为ln(2)，最小值为0。

4.求函数f(x)=1/x^2-2x+3在区间(0,+∞)上的最大值和最小值。

-解答：首先求导得到f'(x)=-2/x^3-2。

然后令导数等于零得到-